专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类(98题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类(98题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1三角函数的定义域问题 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 （二）换元法求值域或最大(小)值 （三）分式型求值域或最大(小)值 （四）根据三角函数的值域求参数 考点3三角函数的周期问题 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 （二）求三角函数的单调区间 考点5根据三角函数单调性求参数 考点6比较三角函数值的大小 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 （二）根据三角函数的奇偶性求值 （三）根据三角函数的奇偶性求参数 考点8三角函数的对称性 考点9正余弦函数综合应用 知识点1：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 注：定义是对D中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 三角函数中的周期一般都指最小正周期. 知识点2：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点3：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点4：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 解题策略 1、三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)． (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 2、求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 3、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 4、三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个． 5、求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上． 6、比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 7、已知单调性求参数的范围 子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 8、正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养． 考点1三角函数的定义域问题 1．（2024·山东·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B．， C．， D． 3．（2024·高一课时练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高三对口高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽芜湖·高一芜湖市繁昌区第一中学校考开学考试）函数定义域为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·浙江杭州·高一统考期末）函数的定义域是 A． B． C． D． 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 7．（2024·北京·高一北京四中校考期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏泰州·高一统考期末）函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 9.（2023·全国·高一专题练习）函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． （二）换元法求值域或最大(小)值 10．（2024·吉林长春·高一长春市第八中学校考期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 12.（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 13.（2023·全国·高一课堂例题）求函数，的最大值． 14．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 . （三）分式型求值域或最大(小)值 15．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值是 ，最小值是 . 16.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 17.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 ． （四）根据三角函数的值域求参数 18．（2024·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 19．（2024·高一单元测试）已知函数在上的值域为，则a＋b的值为 ． 20.（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数（）的定义域为，且函数的最大值为3，最小值为1，求a，b的值． 考点3三角函数的周期问题 21．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 23.（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·江苏·高一专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（　　） A．①③ B．①④ C．③④ D．②③ 25．（2024·广东茂名·高一统考期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 26.（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期． (1)； (2). 27．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的周期： (1)，； (2)，； (3)，． 28．（2024·高一课时练习）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 29．（2024·广东佛山·高一校考阶段练习）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 30．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（    ） A．在上单调递增，在上单调递减 B．在上单调递增，在上单调递减 C．在及上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在及上单调递减 31．（2024·上海长宁·高一统考期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． （二）求三角函数的单调区间 32．（2024·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 34.（2023·高一单元测试）函数单调减区间为 35．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·高一课时练习）函数 的单调递减区间为 . 37.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 38．（2024·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为 . 39．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的严格减区间是 ． 考点5根据三角函数单调性求参数 40．（2024·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 41.【多选】（2023春·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 42.（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 43．（2024·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·浙江杭州·高二校联考期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D． 45．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．3 B． C． D． 46.（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 47．（2024·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48.（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点6比较三角函数值的大小 50.（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 51.（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)cos 1与sin 2. 52.（2023·全国·高一课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 53．（2024·贵州·高一校联考阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 54．（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 55．（2024·山东临沂·高一沂水县第一中学校考期末）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 56．（2024·浙江·高一校联考期中）已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 57．（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 58．（2024·北京海淀·高三专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 59．（2024·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 60．（2024·陕西咸阳·高一统考期中）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 61.【多选】（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（    ） A． B． C． D． （二）根据三角函数的奇偶性求值 62．（2024·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知，且，（    ） A． B． C． D． 63．（2024·高一课时练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．4 （三）根据三角函数的奇偶性求参数 64.【多选】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 65．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 66.【多选】（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数是偶函数，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 67．（2024·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 68．（2024·高一课时练习）使函数为偶函数的最小正数φ＝（　　） A． B． C． D． 69．（2024·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 70．（2024·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 71.（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为 . 72.（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为 ． 73.（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为 . 考点8三角函数的对称性 74．（2024·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数的图像关于（    ） A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称 75．（2024·北京朝阳·高三统考期中）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 76.（2023·全国·高一假期作业）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 77.（2023·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 . 78．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 79.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A．3 B．3或7 C．5 D．7 80．（2024·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 81．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）若函数对任意实数都有，那么的值等于（    ） A． B． C． D．不能确定 82.（2023春·北京·高一校考期中）设函数，若的图象关于点对称，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值即可） 83.（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 84．（2024·甘肃天水·高一统考期中）若函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 考点9正余弦函数综合应用 85．（2024·上海虹口·高一校考期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 86．（2024·江西·高一校考阶段练习）下列关于函数的说法中，错误的是 . ①函数的图象关于直线对称； ②函数的图象关于点对称； ③函数在区间上单调递增； ④函数是一个偶函数，则，. 87.（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 . ①；②；③在上单调递增. 88.（2023·高一课时练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（    ） A． B． C． D． 89．（2024·河南周口·高一校联考期末）函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则 . 90．（2024·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 . 91.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是上的奇函数，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 92.（2023·全国·高一专题练习）已知，且的最小正周期为2.若存在，使得对于任意，都有，则为（    ） A． B． C． D． 93.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A．3 B．3或7 C．5 D．7 94．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 95．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数，最小正周期为 (1)求的值及的的取值集合； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围 96．（2024·四川遂宁·高一校联考期末）已知函数（，，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若函数的零点为，求. 97．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围． 98．（2024·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题27 正弦函数、余弦函数的性质9种常见考法归类(98题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1三角函数的定义域问题 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 （二）换元法求值域或最大(小)值 （三）分式型求值域或最大(小)值 （四）根据三角函数的值域求参数 考点3三角函数的周期问题 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 （二）求三角函数的单调区间 考点5根据三角函数单调性求参数 考点6比较三角函数值的大小 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 （二）根据三角函数的奇偶性求值 （三）根据三角函数的奇偶性求参数 考点8三角函数的对称性 考点9正余弦函数综合应用 知识点1：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 注：定义是对D中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 三角函数中的周期一般都指最小正周期. 知识点2：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点3：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点4：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 解题策略 1、三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论． (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)． (3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定． 2、求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 3、判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(－x)的关系． (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． 4、三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个． 5、求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上． 6、比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小． 7、已知单调性求参数的范围 子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解 反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解 周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 8、正弦函数、余弦函数的对称性 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题，培养直观想象的核心素养． 考点1三角函数的定义域问题 1．（2024·山东·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可得出函数的定义域. 【详解】由，可得. 解得. 故的定义域为. 故选：C. 2．（2024·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】由题可得，再利用正弦函数性质即解. 【详解】由题得， ∴. 故选：C. 3．（2024·高一课时练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由且可求出函数的定义域 【详解】由题意得且， 由，得， 由，得， 所以或， 所以函数的定义域为， 故选：D 4．（2024·全国·高三对口高考）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可. 【详解】有意义满足，即，， 解得， 故选：D 5．（2024·安徽芜湖·高一芜湖市繁昌区第一中学校考开学考试）函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 6．（2024·浙江杭州·高一统考期末）函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得出，然后利用余弦函数的图象解此不等式即可. 【详解】由题意可得， 解得. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数定义域的求解，解题时要熟悉三角函数图象，考查计算能力，属于中等题. 考点2三角函数的值域（最值）问题 （一）利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值 7．（2024·北京·高一北京四中校考期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 又当时，，当时，， 所以函数的最小值为， 所以函数，的值域是. 故选：D. 8．（2024·江苏泰州·高一统考期末）函数在上的最小值为（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案. 【详解】当时，， 则当时，， 故选：B. 9.（2023·全国·高一专题练习）函数y=2cos(2x+)，x[-，]的值域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为x[-，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是． 故选：A． （二）换元法求值域或最大(小)值 10．（2024·吉林长春·高一长春市第八中学校考期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方后利用正弦函数的值域和二次函数知识可求出结果. 【详解】函数， ∵， ∴当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为2， 故函数的值域为， 故选：A． 11．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由， 因为， 所以当时，取得最大值. 故选：D. 12.（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 故当时，函数取最大值，且. 故选：A. 13.（2023·全国·高一课堂例题）求函数，的最大值． 【答案】答案见解析 【详解】． ①若，则当时，取得最大值，； ②若，则当时，取得最大值，； ③若，则当时，取得最大值，． 14．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】令,，将不等式转化成关于的一元二次不等式，根据一元二次函数性质即可求出结果. 【详解】因为， 所以，即， 令，，有 令，，要使不等式对于任意恒成立， 只需满足，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，即，得或，有最小值， ，得，所以实数的最大值为. 故答案为：. （三）分式型求值域或最大(小)值 15．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值是 ，最小值是 . 【答案】 6 【分析】化简函数解析式，根据反比例函数及正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，. 因此原函数的最大值是6，最小值是. 故答案为：； 16.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 . 【答案】 【详解】， ，则，，故. 故答案为： 17.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. （四）根据三角函数的值域求参数 18．（2024·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果. 【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即函数的值域为， 所以. 故答案为： 19．（2024·高一单元测试）已知函数在上的值域为，则a＋b的值为 ． 【答案】或 【分析】利用的范围可求出，由函数解析式讨论的正负，从而可求得最大值、最小值，列出方程即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 因为函数在上的值域为， 当时，，所以解得 当时，，所以解得 所以或，所以或. 故答案为：或. 20.（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数（）的定义域为，且函数的最大值为3，最小值为1，求a，b的值． 【答案】或 【详解】由，可得， 令，则 可令，， 当时，，这与题意不符； 当时，抛物线开口向上，对称轴， 当时，；当时，， 即，解之得 当时，抛物线开口向下，对称轴， 当时，；当时，， 即，解之得 综上，或 考点3三角函数的周期问题 21．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次计算4个选项的周期即可. 【详解】对于A，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，错误； 对于B，的最小正周期为，错误； 对于C，的最小正周期为，错误； 对于D，为把轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，故D正确； 故选：D. 22．（2024·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 23.（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 24．（2024·江苏·高一专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（　　） A．①③ B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得. 【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为； ②由翻折变换可知，函数的图象如图： 由图知的最小值周期为； ③由周期公式得，所以的最小值周期为； ④的最小值周期为. 故选：D 25．（2024·广东茂名·高一统考期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过函数得出，即可求出函数的最小正周期. 【详解】由题意， 在中，， ∴， 故选：D. 26.（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期． (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为， 所以自变量至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以函数的最小正周期是. （2）因为的最小正周期为π，且函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到轴上方， 并且保留在轴上方图象而得到的． 由此可知所求函数的最小正周期为. 27．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的周期： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），（2）中利用三角函数周期可求解，（3）根据周期函数定义结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：，所以：的周期为：， 故所求周期为：. （2）由题意知：，所以：的周期为：， 故所求周期为：. （3）由题意可得：， 根据函数周期的定义可得：的周期为. 又的图象可以看成将在轴下方的图象翻折到轴上方得到的， 故其最小正周期为，故所求周期为：. 28．（2024·高一课时练习）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答. 【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且， 所以. 故选：A 29．（2024·广东佛山·高一校考阶段练习）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据最值点可得出函数的周期，再求出即可. 【详解】因为，是函数两个相邻的最值点， 所以，， 故选：A 考点4三角函数的单调性 （一）判断三角函数的单调性 30．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（    ） A．在上单调递增，在上单调递减 B．在上单调递增，在上单调递减 C．在及上单调递增，在上单调递减 D．在上单调递增，在及上单调递减 【答案】C 【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可. 【详解】解：， 当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增． 故只有C正确． 故选： 31．（2024·上海长宁·高一统考期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B （二）求三角函数的单调区间 32．（2024·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质，列式求解. 【详解】令，， 解得：， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C 33．（2024·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 34.（2023·高一单元测试）函数单调减区间为 【答案】 【详解】正弦函数的单调递减区间为， 由，得， 记，则， 故答案为：. 35．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期求得参数，可得函数解析式，结合正弦函数的单调性解不等式，即可求得的单调递增区间. 【详解】由题意可知的最小正周期为， 故，则， 令， 则， 即的单调递增区间为， 故选：B 36．（2024·高一课时练习）函数 的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】转化为求的单调递增区间即可. 【详解】因为， 所以 的单调递增区间就是的单调递减区间． 令， 解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 37.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 38．（2024·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以由得，，， 即所求单调递减区间为. 故答案为：. 39．（2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）函数的严格减区间是 ． 【答案】． 【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，则为增函数， 欲求的减区间，则求的减区间 由题意得定义域为，解得 所以的减区间为 所以函数的严格减区间是. 故答案为：. 考点5根据三角函数单调性求参数 40．（2024·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的单调性可得，，求出的范围，再根据题意即可得到关于和的方程组，进而求解即可． 【详解】依题意可得，， 得，， 则，解得， 又，当时，得；当时，，矛盾， 所以的取值范围是． 故选：A． 41.【多选】（2023春·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】AB 【详解】，， 由于函数在上单调递减， ，，解得，， 时，，     的值可以是． 故选：AB． 42.（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意有, 可得, 又由，在上为减函数，故必有, 可得. 故实数的取值范围为. 故答案为： 43．（2024·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围. 【详解】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A 44．（2024·浙江杭州·高二校联考期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解. 【详解】当时，， 由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 当时，由，得， 因为函数在区间单调递减，且最小值为负值， 所以，解得， 综上所述. 故选：A. 45．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可. 【详解】由题意知， 函数的单调递减区间为， 则或， 由，解得， 而，故需满足，即，此时不存在； 由，解得， 则需满足，即，即， 故，即， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可. 46.（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在时取得最大值，即，可得， 所以， 因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况， 又因为在上单调递增，所以，解得， 当时，，所以的最大值为， 故选：C. 47．（2024·四川泸州·统考一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合整体法结合三角函数图象性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值， 则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 所以，． 因此的取值范围是． 故选：D． 48.（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对于，，可得在时取得最大值， 即，可得，所以， 又因为在上单调递增，所以且，解得， 当时，，所以的最大值为. 故选：C. 49．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可. 【详解】已知， 令，解得 则函数对称轴方程为 函数在区间不单调， ，解得， 又由，且，得， 故仅当时，满足题意. 故选：C. 考点6比较三角函数值的大小 50.（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于在上递增， 所以，A选项错误. 由于在上递减， 所以，B选项错误. ， ， 所以，C选项正确. 在上递增， 所以，D选项错误. 故选：C 51.（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)cos 1与sin 2. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 因为在上单调递减，且， 所以，所以， （2）因为，且在上递减，， 所以，所以. 52.（2023·全国·高一课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由于，且在区间上单调递增， 所以． （2）由于，且在区间上单调递增， 所以． 53．（2024·贵州·高一校联考阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数与指数函数、正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以. 故选：D. 54．（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦函数在上的单调性可得大小关系. 【详解】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即. 故选：D. 55．（2024·山东临沂·高一沂水县第一中学校考期末）定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由时，则，得到，从而函数在上是增函数，在上是减函数，且为偶函数逐项判断. 【详解】解：当时，则，于是， 函数在上是增函数，在上是减函数，且为偶函数， ∵，∴，故A错误； ∵，∴，故B正确． ∵，∴，∴，故C错误； ∵，∴，∴，故D错误． 故选：B 56．（2024·浙江·高一校联考期中）已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，结合函数的单调性和，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 又因为当 时，单调递减，且， 所以，即，所以. 故选：B. 考点7三角函数的奇偶性 （一）判断三角函数的奇偶性 57．（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】A选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，A错误； B选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，B错误； C选项，的定义域为R， 且，故为偶函数，C正确； D选项，的定义域为R， 且，故不是偶函数，D错误. 故选：C 58．（2024·北京海淀·高三专题练习）函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 59．（2024·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 60．（2024·陕西咸阳·高一统考期中）函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再根据定义式判断与的关系即可得出结论. 【详解】函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称， 又，，， 所以函数为奇函数，函数不是偶函数， 故选：A. 61.【多选】（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，函数满足， 且的定义域为关于原点对称，即是奇函数， 且注意到其周期为，故A正确； 对于B：函数满足， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，不是奇函数，故B错误； 对于C：， 由A选项分析易知是奇函数， 同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确； 对于D：函数满足， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，不是奇函数，故D错误． 故选：AC． （二）根据三角函数的奇偶性求值 62．（2024·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知，且，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，判断函数为奇函数，得到，代入数据结合奇函数性质得到答案. 【详解】设，， 则，故为奇函数， ，，， . 故选：D 63．（2024·高一课时练习）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据函数解析式及函数值求得另一个函数值即可. 【详解】由题知，，则 则 故选：B （三）根据三角函数的奇偶性求参数 64.【多选】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】为偶函数，因此或．所以，故正确， 故选：. 65．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的奇偶性列出关于的方程，从而得解. 【详解】因为是偶函数， 所以，即， 又，所以. 故选：C. 66.【多选】（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数是偶函数，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由函数是偶函数，可得，即， 则，解得， 当时，可得，无论取何值，都不可能等于或或． 故选：ABD． 67．（2024·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】由为偶函数，可得，代入利用诱导公式化简求解即可. 【详解】解：因为为偶函数，所以， 解得， 所以， ． 故选：D. 68．（2024·高一课时练习）使函数为偶函数的最小正数φ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数，得，由此能求出使函数为偶函数的最小正数φ的值． 【详解】∵函数为偶函数， ∴， ∴使函数为偶函数的最小正数． 故选：B 69．（2024·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先代入，化简出，由函数奇偶性定义得到此时为奇函数，充分性成立，再求出必要性不成立，得到答案. 【详解】时，可得，定义域为R， 此时， 故为奇函数，故充分性成立， 而当为奇函数时，得，故不一定为，故必要性不成立， 是为奇函数的充分不必要条件. 故选：B 70．（2024·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数）是奇函数，由求解. 【详解】解：因为函数）是奇函数， 所以 ， 解得， 所以的最小值为， 故选：A 71.（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为函数为R上的奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以的最小值为. 故答案为： 72.（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】∵为偶函数，所以，为奇函数， ∴，， ∵，∴． 故答案为： 73.（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为 . 【答案】/ 【详解】函数的定义域为，为偶函数， 则，即， 则，即是偶函数， 可知，，即，，故取最小正值为. 故答案为：. 考点8三角函数的对称性 74．（2024·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数的图像关于（    ） A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据题意，分别将与代入检验，即可得到结果. 【详解】令，可得，所以图像关于点对称，故A正确，C错误； 令，可得，所以图像不关于点对称， 也不关于直线对称，故BD错误； 故选：A 75．（2024·北京朝阳·高三统考期中）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可. 【详解】时，不是对称轴； 时，不是对称轴； 时，是对称轴； 时，不是对称轴； 故选：C 76.（2023·全国·高一假期作业）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为， 所以， 所以， 令，， 解得， 所以的对称轴为直线， 当时，，其它各项均不符合， 所以是函数的对称轴， 故选：A． 77.（2023·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 . 【答案】/ 【详解】因为函数的最小正周期为，所以； 又因为函数图象关于直线对称，可得， 可得，且，所以，所以， 所以． 故答案为：. 78．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有两条对称轴， 所以，解得. 故选：B 79.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A．3 B．3或7 C．5 D．7 【答案】D 【详解】由题意，函数满足，可得是函数的一条对称轴， 所以，即， 即，所以 又由，可得或，即或， 因为，可得，所以， 当时，可得，即，（不符合题意，舍去）； 当时，可得，即，解得， 如：时，可得，解得，符合题意， 所以. 故选：D. 80．（2024·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体结合正弦型函数的性质求出结果. 【详解】因为，且，则， 若函数的图象关于直线对称， 则，解得. 故选：C. 81．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）若函数对任意实数都有，那么的值等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由得函数图象的对称轴为，即得的值. 【详解】由得函数图象的对称轴为， 因为余弦函数在对称轴取到函数的最值， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查余弦函数的对称轴和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 82.（2023春·北京·高一校考期中）设函数，若的图象关于点对称，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为函数，且的图象关于点对称， 所以，， 解得，， 所以的值可以是，，，，，（写出一个即可）． 故答案为：（答案不唯一）． 83.（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 84．（2024·甘肃天水·高一统考期中）若函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据余弦型函数图像及性质判断各选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，把代入，则，所以关于直线对称，故B正确； 对于C，，把代入，则，故C正确； 对于D，由，，当时，即，单调递增，故D错误. 故选：D. 考点9正余弦函数综合应用 85．（2024·上海虹口·高一校考期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 86．（2024·江西·高一校考阶段练习）下列关于函数的说法中，错误的是 . ①函数的图象关于直线对称； ②函数的图象关于点对称； ③函数在区间上单调递增； ④函数是一个偶函数，则，. 【答案】②③ 【分析】根据函数的图象和性质对四个选项逐一判断，对于①②根据函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得0即可作出判断，对于③，，当时，，函数单调递减，即可作出判断；对于④，可根据为偶函数，，（）计算作出判断. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，， 当时，，函数单调递减，故③错误； 对于④，， 函数是偶函数，所以，， 即，，故④正确. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题考查函数的图象和性质，解题关键是将看成一个整体，从而利用正弦函数的图象和性质计算判断. 87.（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 . ①；②；③在上单调递增. 【答案】（答案不唯一，满足条件即可） 【详解】解：由①可知，函数图像关于直线对称； 由②可知函数图像关于点对称； 所以，，即， 所以，即函数的周期为， 故考虑余弦型函数，不妨令， 所以，，即，满足性质①②， 由③在上单调递增可得， 故不妨取，即，此时满足已知三个条件. 故答案为： 88.（2023·高一课时练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是上的奇函数，则， 所以，， 因为的图象关于直线对称，则，可得， 当时，， 因为函数在区间内是单调函数，则，解得， 所以，，，故，因此，. 故选：A. 89．（2024·河南周口·高一校联考期末）函数满足，且恒成立，若在区间上有最小值而无最大值，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得为函数的对称中心，为函数的对称轴，再结合在区间上有最小值而无最大值，可得，即可得解. 【详解】因为，所以为函数的对称中心， 因为恒成立，所以， 所以为函数的对称轴， 又因为在区间上有最小值而无最大值， 所以，解得， 所以. 故答案为： 90．（2024·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以； 又因为函数图象关于直线对称，可得， 可得，且，所以，所以， 所以． 故答案为：. 91.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是上的奇函数，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】函数是上的奇函数， 则，所以，，又，所以， 则，当，则， 又在区间上是单调函数，所以，解得，又， 所以则的最大值为. 故选：C. 92.（2023·全国·高一专题练习）已知，且的最小正周期为2.若存在，使得对于任意，都有，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知条件可得的最小正周期为4，所以. 由,得， 因为存在，使得对于任意，都有，所以， 所以，得到函数关于直线对称， 故， 又，所以. 故选:A. 93.（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（    ） A．3 B．3或7 C．5 D．7 【答案】D 【详解】由题意，函数满足，可得是函数的一条对称轴， 所以，即， 即，所以 又由，可得或，即或， 因为，可得，所以， 当时，可得，即，（不符合题意，舍去）； 当时，可得，即，解得， 如：时，可得，解得，符合题意， 所以. 故选：D. 94．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的周期计算公式以及复合函数的单调区间求法，可得答案； （2）利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）的最小正周期为，令， 因为的单调递减区间是， 且由，解得，. 所以函数的单调递减区间为，. （2）因为，所以， 所以当，即，时，， 当，即，时，. 95．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数，最小正周期为 (1)求的值及的的取值集合； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)2，； (2). 【分析】（1）利用给定的周期求出，再解正弦函数不等式即得. （2）根据给定条件，求出的取值集合，再换元并借助二次函数列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得， 于是，由，得， 因此，解得， 所以，的取值集合是. （2）由（1）知，， 由，得， 于是，则， 令，，不等式恒成立，即恒成立， 设， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 96．（2024·四川遂宁·高一校联考期末）已知函数（，，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若函数的零点为，求. 【答案】(1)； (2)最大值为2，最小值为； (3). 【分析】（1）根据对称轴可得周期，由最大值可得，再将点代入解析式，结合即可解出； （2）根据正弦函数的图象与性质即可求最值； （3）由题意可得，根据，结合诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴的距离是，所以的最小正周期为， 所以. 因为在时取得最大值2，所以，且, 可得. 因为，所以. 所以. （2）时，， 所以，当，即时，； 当，即时，. 所以函数在区间的最大值为2，最小值为. （3）因为函数的零点为， 所以，即. 因为， 所以. 97．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由周期公式计算周期即可，整体代入法解表达式即可求得单调递减区间. （2）先求复合函数的值域，然后将问题转化为存在性问题即可，结合余弦函数单调性即可得解. 【详解】（1）函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）， 由于，所以， 故原题等价于对任意的，存在，使得， 由题意首先，当时，， 而，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 综上所述，实数b的取值范围为. 98．（2024·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值. 【答案】(1)的最小正周期为，单调递增区间 (2)当时，取最小值 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案； （2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案. 【详解】（1）因为，故的最小正周期为； 由，得：， 故的单调递增区间为：. （2）因为，故，则， 故当，即时，取最小值. $$