精品解析：2024年河南省商丘市夏邑县第二初级中学教育集团中考二模数学试题

2024年中考九年级第二次模拟考试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 成人的头发直径约为米，用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“”所在面相对的面上的字是（ ） A 中 B. 考 C. 必 D. 胜 4. 如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 四边形为菱形 D. 7. 读万卷书，行万里路，研学是校园的一部分，某校计划暑假开展研学活动，现有红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆三个地方供大家选择，每位同学任意选取其中一个地方研学，则小明和小红选取同一个地方的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 有两个相等的实数根 9. 如图，是直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__________． 12. 不等式组的解集为_________． 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为__． 14. 如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为_______． 15. 如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下： 组别 成绩x分 频数(人数) 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ （4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 18. 如图，，平分交于点E． （1）【实践与操作】过点B作的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）【猜想与证明】设（1）中的垂线交于点F，连接，试猜想四边形的形状，并证明． 19. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 20. 如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 随着电动车的普及，电动车的安全充电问题越来越受重视，各个小区内的充电棚随处可见．小明调查了自己小区内的充电模式，分为两种，已知不办某充电会员，充电费用 (元)与充电时间x(小时)之间的关系如图所示；办理该会员，需要首先支付办理会员的费用10元，充电费用(元)与充电时间x(小时)之间的关系如图所示．如果不办会员充电2小时和先办理会员再充电4小时共需12元；不办会员充电4小时和先办理会员再充电6 小时共需13.5 元． （1）设不办会员的充电单价为a元，办理会员后的充电单价为b元 请求出a，b的值，并分别写出关于x的解析式； （2）一个电动车每年充电时长为1200小时，请问选哪种充电方式更划算，能省多少钱？ （3）求充电时长为多少时，两种充电模式的费用相差5元． 22. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 23. 某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系． （1）如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为 ； （2）如图2，把图1 中正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由； （3）如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考九年级第二次模拟考试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：有理数的相反数是， 故选A 【点睛】本题考查的是相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记定义是解本题的关键． 2. 成人的头发直径约为米，用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“”所在面相对的面上的字是（ ） A. 中 B. 考 C. 必 D. 胜 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知， “”的对面是“必”， 故选：． 4. 如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求角度，涉及平角定义、平行线性质等知识，先由已知角及平角定义得到，再由平行线性质即可得到答案，熟记两直线平行同位角相等是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，根据平方差公式，合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方运算即可，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键， 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，的对角线相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 四边形为菱形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点E为边的中点， ， 又， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即，故选项A正确； 在中，，， ， 和中， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故选项C正确； ， 在中，， ， ，故选项B正确； 在中，， 又点E为边的中点， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 7. 读万卷书，行万里路，研学是校园的一部分，某校计划暑假开展研学活动，现有红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆三个地方供大家选择，每位同学任意选取其中一个地方研学，则小明和小红选取同一个地方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比； 画表格，共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，再由概率公式求解即可； 【详解】设红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆分别为．由题意，列表如下． 由表格，知共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，所以(小明和小红选取同一个地方)， 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式， 首先根据二次函数的图象得到，，然后判断一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零， ∴， ∴ ∴方程的判别式 ∴关于x的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选：C． 9. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂径定理，可知的长度，根据圆周角定理，可以知道的度数，从而推出，再利用求得半径． 【详解】是的直径，弦，垂足为点E， 则的半径为4． 故选：B． 10. 某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 由题意，得，， ∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式-n，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：-m2n+6mn-9n =-n(m2-6m+9) =-n(m-3)2 故答案为：-n(m-3)2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法分解因式的综合运用．熟练掌握提公因式法与公式法分解因式的的方法是解题的关键． 12. 不等式组的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为． 13. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，每人出八钱，会多三钱得到总钱数为，每人出七钱，又差四钱得到总钱数为，根据总钱数相等建立方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，连接， 过点A作轴于点B， 轴， ， 故答案为：4． 15. 如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图：连接，交于G点，先证明可得，再证，再根据平行线分线段成比例定理可得，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，交于G点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴,即, ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，求算术平方根，余弦，零指数幂，然后进行加减运算即可； （2）先通分，利用完全平方公式进行因式分解，然后进行除法运算，可得化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了化简绝对值，算术平方根，余弦，零指数幂，分式的化简等知识．熟练掌握化简绝对值，算术平方根，余弦，零指数幂，分式的化简是解题的关键． 17. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下： 组别 成绩x分 频数(人数) 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试优秀率是多少？ （4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 【答案】（1）12 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用参加汉字听写的50名同学的人数减去各组的频数即可得出第四组的频数a的值； （2）由于频数代表长方形的高，由第四组的频数a的值，即可补全频数分布直方图； （3）用听写得分不低于40分的人数除以参加这次听写的总人数即可得出本次测试的优秀率； （4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画出树状图，共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，根据概率公式就可得出小宇与小强两名男同学分在同一组的概率． 【小问1详解】 解：表中a的值是：； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 【小问3详解】 解：本次测试的优秀率是； 【小问4详解】 解：用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下： 共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是． 【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图和利用树状图求概率．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图．解题的关键是熟知统计调查的知识及树状图的画法． 18. 如图，，平分交于点E． （1）【实践与操作】过点B作的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）【猜想与证明】设（1）中的垂线交于点F，连接，试猜想四边形的形状，并证明． 【答案】（1）图见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据题意证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，然后结合，即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 如图，是所求作的垂线． 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下： 平分， ． 又 ， 而， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 【答案】如意雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 延长交于，延长交于， 根据矩形的性质得到米，米，，米， 解直角三角形即可得到结论. 【详解】延长交于，延长交于， 则米，米，， ∴米， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴(米)， ∴(米)， 答：如意雕塑的高度约为米. 20. 如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交边于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）75 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可知，即可证，得出，再结合等腰三角形的性质，即可求出，即平分； （2）连接，由，，可得出，结合勾股定理可求出． 又易证，得出，代入数据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是的切线，是的半径，D是切点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∴． ∵是直径， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查切线性质，角平分线的定义，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识．正确连接辅助线是解题关键． 21. 随着电动车的普及，电动车的安全充电问题越来越受重视，各个小区内的充电棚随处可见．小明调查了自己小区内的充电模式，分为两种，已知不办某充电会员，充电费用 (元)与充电时间x(小时)之间的关系如图所示；办理该会员，需要首先支付办理会员的费用10元，充电费用(元)与充电时间x(小时)之间的关系如图所示．如果不办会员充电2小时和先办理会员再充电4小时共需12元；不办会员充电4小时和先办理会员再充电6 小时共需13.5 元． （1）设不办会员的充电单价为a元，办理会员后的充电单价为b元 请求出a，b的值，并分别写出关于x的解析式； （2）一个电动车每年充电时长为1200小时，请问选哪种充电方式更划算，能省多少钱？ （3）求充电时长为多少时，两种充电模式的费用相差5元． 【答案】（1）；，； （2）办理该会员更划算，可节约元 （3）充电时长为或小时，两种充电模式的费用相差5元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出两种充电方式的关系是解题的关键． （1）根据列一元二次方程即可解答，再写出表达式即可； （2）把分别代入两个解析式，对比即可； （3）根据题意列方程，即可解得． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， 故可得， ； 【小问2详解】 解：把代入可得； 把代入可得， ， 办理该会员更划算， 元， 答：办理该会员更划算，可节约元； 【小问3详解】 解：由题意可得， 解得，， 答：充电时长为或小时，两种充电模式的费用相差5元． 22. 已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【小问1详解】 解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； 【小问3详解】 如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 23. 某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系． （1）如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为 ； （2）如图2，把图1 中的正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由； （3）如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，利用勾股定理求得，即可解答； （2）连接，延长交于点，利用勾股定理求得，即可解答； （3）连接，证明为，在利用解直角三角形求得，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， 分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， 在直角三角形中，， 是的中点， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， 同上述理由可得； 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形和四边形为菱形，且为对角线的交点， ，， ， 即， 两个新组成的菱形中较小的内角为α， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$