专题07 二次函数65道压轴题型专训（13大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题07 二次函数65道压轴题型专训（13大题型） 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 压轴题型十三 二次函数的新定义问题 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江丽水·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 3．（2024·浙江宁波·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 5．（23-24九年级上·浙江舟山·期中）抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B． (1)求k的值； (2)轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积； (3)在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若．比较的大小关系，并说明理由； (2)点在抛物线上，若，求及的取值范围． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，则_______； (2)当，时，都有，求的取值范围． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，将向左上方平移，得到且点落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中，若，则n的值为 ． 3．（2023·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)若点的横坐标为，且，求的长； (3)若，设，求关于的函数表达式． 4．（2024·河南·二模）如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且． (1)求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标； (2)点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的值； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下： 步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，； 步骤二：绘制函数； 步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化． 问题：如图2，将点移动到点的位置． (1)若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴； (2)在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和. (1)求，满足的关系式； (2)当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元/千克）关于的函数关系式为，销售量y（千克）与之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式为 ； （2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 ．（销售额=销售量×销售价格） 3．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 4．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 5．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（    ） A．7 B．9 C．10 D．8 2．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点处，面对高度为的足球球门，守门员位于点处，的延长线与球门线交于点，足球飞行路线可看成抛物线，点，均在抛物线下方．已知，，足球飞行的水平速度为．水平距离（）与离地高度（）的数据如下表： （） （） (1)求关于的函数解析式，不需要写自变量取值范围； (2)在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； (3)守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于视为防守成功，已知守门员运动速度为，问守门员能否成功防守？请说明理由． 4．（2024·河南南阳·三模）如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． (1)求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? (3)实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 5．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式； ②求出改造前大棚的最大高度； (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24九年级上·北京西城·期中）下表记录了二次函数中两个变量与的3组对应值： … 3 7 … … … 点，在该函数图象上．若当时，，给出下列四个结论：①；②；③；④若当时，存在直线与抛物线有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 4．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，已知抛物线：与y轴相交于点C，顶点为D． (1)填空：点C的坐标是______；点D的坐标是______；直线CD的解析式______． (2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川遂宁·二模）如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2023·山东济南·三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（2024·四川成都·二模）新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点D，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点A、B的横坐标分别为s、t，若，求的值； (3)设抛物线的顶点为P，当时，求m的值． 4．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 5．（2024·湖南娄底·一模）如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求直线对应的函数解析式． (2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标． (3)设线段的长为． ①求关于的函数解析式； ②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围． 4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 5．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过两点的抛物线交轴于另一点． (1)求抛物线解析式； (2)将轴下方的抛物线沿轴翻折（如图2），将线段沿射线方向平移，设平移后的的解析式为，试讨论平移后的线段与翻折后的函数图象的交点个数与对应的的值或取值范围（可以直接写出结果）； (3)如图3，直线交抛物线于两点，若，试求的值． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，D是边上一动点，以为边作正，则最大 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 5．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？ 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】 1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D．n ≥ 2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．    (1)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ； (2)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由： (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数65道压轴题型专训（13大题型） 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 压轴题型十三 二次函数的新定义问题 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为，，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）．若恒成立，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，得出，再结合图象，得出若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即可联立不等式组，解出即可得出结论． 【详解】解：如图， 由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限， ∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方， ∵抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限， ∴， 结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值， 即，解得：， 又∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解恒成立是解本题的关键． 2．（2024·浙江丽水·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 3．（2024·浙江宁波·一模）已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． (1)用含k的代数式表示b； (2)求证：； (3)在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)是，2． 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【详解】（1）令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； （2）由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数图象可得如下结论． 如果抛物线与x轴有公共点的横坐标是，那么当x＝时，函数值是0，因此是方程的一个根． 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题 (1)若二次函数（m为常数）与x轴两交点的横坐标为，，，求二次函数的解析式； (2)不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标； (3)在（1）的条件下，当，时，对应的函数值为N，Q，若求证： 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】 （1）由根与系数的关系得，求出，即可求解； （2）原函数解析式可化为，由不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点得，即可求解； （3）将，代入可求得，，①当时，可得，将其代入化成关于的二次函数，化成顶点式，由的性质即可求证；②当时，可得，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， 解得：， ， 二次函数的解析式为； （2）解： ， 不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点， 不含项， ， 解得 ， 当时， ； 该函数图象始终过定点； （3）证明：当，时， ， ， ， ， ①当时， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根于系数的关系，待定系数法，函数图象过定点，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质，根于系数的关系，能将函数图象过顶点转化为多项式不含某一项是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江舟山·期中）抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B． (1)求k的值； (2)轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积； (3)在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）先根据二次函数求出点P的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可； （2）根据三角形的面积与反比例函数的比例系数k的关系解题即可； （3）过点E作轴于H，过点A作轴于M，设，利用中位线的性质可以表示和长，进而表示A点坐标，然后把点A和点E的坐标代入解题即可． 【详解】（1）抛物线的顶点 ∵双曲线经过点P， ∴， ∴ （2）∵点B在双曲线上，设， ∵轴，轴 ∴ ∴是矩形, ∴，, ∴； （3）过点E作轴于H，过点A作轴于M． 设， 在中，A为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴ ∴ 把和代入双曲线 中得， ∴， ， ，解得 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，待定系数法，比例系数k的几何意义，三角形的中位线，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点（，和，之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，， ∴根据左同右异，， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线的对称轴， ∴抛物线与轴的另一个交点在点（，）和（，）之间， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，可得正确结论的序号是：②③． 故选∶C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，于是可对①进行判断；由于抛物线过点和，且，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到，变形可得，则可对②进行判断；利用点和点到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得，，两式相减得，然后把等式左边分解后即可得到，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到，变形得到，则可对⑤进行判断． 【详解】解：如图， 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①的结论正确； 抛物线过点和，且， ， ， ，所以②的结论正确； 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ，所以③的结论错误； 抛物线过点，， ，， ， ， ，所以④的结论正确； ， 而， ， ，所以⑤的结论错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数中． (1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． (2)若点在抛物线上，令，求证：． (3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． （3），都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若 当 时，函数最小值为 ，求t的值； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)的值为3或 (3)的取值范围为 【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）分三种情况：，即时，随增大而减小，当时，则时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，分别列方程求解即可； （3）根据题意判断出点的位置，利用待定系数法确定的范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：若，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，随增大而减小， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的值为， 当时，则时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大， 由题意得：， 解得：（舍去），， 的值为3， 综上所述，的值为3或； （3）解：抛物线的对称轴是：直线，顶点坐标为， 如图所示，抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有10个整点， 点在与之间， 当抛物线经过点时，，， 当抛物线经过点时，，， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，抛物线与轴的交点，把二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线， (1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解； （2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是． （2）解：设抛物线的对称轴为， 由题知， 在的右侧，在的左侧， ∵，存在， ∴点到大于 点到的距离， ∴到的距离为：，点到的距离为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都在函数的左侧， ∴， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小， ∵， ∴． 【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（2024·山东淄博·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②和3是关于的方程的两个根； ③，其中正确的结论个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据得出对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，则，，即可判断①；根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为，即可判断②；根据对称轴可得，根据当时，与其对应的函数值，得出，进而可得，根据对称性可得二次函数的图象过点，，得出，当时，得出，结合，即可判断③． 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数的图象过点，， 对称轴为直线，， 当时，与其对应的函数值， ，， 函数图象的顶点在第四象限内；故①正确： ②根据二次函数的对称性可知：关于对称轴的对称点为， 即和3是关于的方程的两个根， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， 当时，与其对应的函数值， ，即， ． 对称轴为直线，二次函数的图象过点，， ，当时，， ， ． ， ③错误． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数的图像过点和． （1）若此抛物线的对称轴是直线，点C与点P关于直线对称，则点P的坐标是 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用了二次函数的对称性，二次函数图象与系数关系； （1）根据抛物线的对称性可得点P的坐标与点C的纵坐标相等，再根据对称的性质求出横坐标即可； （2）把点A、C的坐标代入函数解析式并用a表示出b，令，表示出t，再根据顶点在第一象限求出a的范围，即可求得t的范围． 【详解】解：（1）∵点C与点P关于直线对称， ∴点P的纵坐标为1； 设点P的横坐标为x，则， ∴， 即点P的坐标为； 故答案为：； （2）∵二次函数的图像过点和， ∴， 则， 即； 上式中，令，则； ∵抛物线的顶点在第一象限， ∴，， 由后一式得，则， ∴由前一式得， ∴， 即， 故答案为：． 3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线（，，为常数，） (1)若，，求此抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)17． 【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标； （2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S与点 Q关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可． 【详解】（1）对称轴为， ，即， ， 将代入得， ，即 顶点坐标为； （2）由（1）可知的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ， 抛物线与轴交于点，顶点坐标为， 因为为正整数，那么 当时，抛物线表达式为， 当时，，解得， 此时抛物线与轴的交点有2个，其中， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个， 但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个； 当时，抛物线的表达式为， 当时，，解得，，，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个； 当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个； 当时，抛物线与轴交点为0个； 综上所述，； 由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：， 点与点 关于对称， ， 将代入代数式 则 故代数式的值为 17． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若．比较的大小关系，并说明理由； (2)点在抛物线上，若，求及的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 （1）根据二次函数的增减性，利用对称轴与点横坐标进行比较即可判断大小关系． （2）由题意得，将，两点代入解析式，进而结合，即可求出的取值范围，又根据、关于对称轴对称，借助的范围即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵，即， ∴对称轴为：， 故 ∵，故离对称轴越远的点纵坐标越大， ， ∴， 当，， ∵故 （2）解：由题意，由抛物线的对称轴为，得， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点与是对称点， ∴． ∴， ∴． 综上可得， ，． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，则_______； (2)当，时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据，， ，进行讨论求解即可 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为：直线， ∴， 故答案为：5． （2）①当时，， ∵， ∴，， ∵， ∴． ②当时，则与条件矛盾， ③当时，与条件矛盾， 综上，当，时，都有，的取值范围． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，将向左上方平移，得到且点落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，抛物线的平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，先利用二次函数解析式求得的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出，则，把代入抛物线解析式求得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式，根据题意求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，∵抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点， 令，得， 解得或， ∴， 令，得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的横坐标为， 设，则， ∵点落在抛物线上， ∴， 解得， ∴，， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 故选：． 2．（22-23九年级上·湖北孝感·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中，若，则n的值为 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， 把代入得：， 解得：，， ， ， 抛物线与抛物线中的二次项系数相同， （两个函数可以通过平移得到）， 又， 如下图所示，点在点左侧，点在点左侧， ，即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ， 符合题意； 当时，，解得：， ， 不符合题意，舍去； 综上分析可知，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键． 3．（2023·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)若点的横坐标为，且，求的长； (3)若，设，求关于的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)表达式为 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数图象及性质，两点间距离等，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化成顶点式即可得到； （2）由题意得点在抛物线对称轴左侧，再将点的坐标，点的坐标表示出即可得到； （3）设为，设平移后的解析式为，再将点代入整理，再将顶点代入即可得到． 【详解】（1）解：， 点的坐标为； （2）已知二次函数的对称轴为， ， 点在抛物线对称轴左侧， 点的坐标为， 点的坐标为， ． （3）点的横坐标为，由（2）可得点的坐标为． ， ， ， 的对称轴为， 平移后的抛物线顶点在直线上． 设为， 设平移后的解析式为． 将点代入得， 即． 点的坐标为， 表达式为． 4．（2024·河南·二模）如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）把代入解方程即可； （2）先求直线表达式，再与二次函数解析式联立，求出交点坐标，再根据函数图像确定的解集； （3）找到两个临界状态，经过点C时，代入点C坐标，求出此时的m值，随着m的增大，当经过点B时，代入点B坐标，求出此时的m值即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：或， 由题意得，对称轴在y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； ②将，代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立，可得， 解得：， ∴的解集为：或； （2）解：， ∴抛物线开口方向不变，且顶点在直线上运动， 而对称轴为直线，随着m的增大，当抛物线经过点C时， 代入点得：， 解得：或（舍），此时， ∴此时抛物线与边有两个交点， 当抛物线经过点B时，代入点得：， 解得：或（舍）， ∴当时，矩形的边与抛物线恰好有2个交点． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，矩形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且． (1)求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标； (2)点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）分别求出、、三点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设平移后的函数解析式为，根据平移后的图象经过点，可得方程，再由与全等，可知或或，再分别求出函数经过点时对应的、值即可确定函数的平移过程． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ， ， 当时，， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； ， ； （2）点是点关于该抛物线对称轴对称， ， 设平移后的函数解析式为， 平移后的图象经过点， ， 与全等， 点与点关于直线对称时，， 当点与点关于直线对称时，， 当点关于直线对称时，， 当时，， 联立得，，， 抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； 当时，， 联立得，，，此时与抛物线重合，不符合题意； 当时，， 联立得，，， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； 综上所述：抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，， ，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ， ， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的值； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解． （1）①由，可得抛物线解析式，令求解． ②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出时的值，进而求解． （2）由抛物线恒在轴下方可得，由符合条件的整数只有三个可得的取值范围，进而求解． （3）由点坐标求出的值为1，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，两种情况，列不等式组求解． 【详解】（1）当，时， ， 令，则， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为，； （2）， 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入得， 抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过， 时，随增大而减小，时，随增大而增大，且， 或． （3）点的坐标是， ， ， 时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， ①当时，抛物线顶点在轴上，满足题意， 解得（舍或． ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方满足题意， 则， 解得， ③当时，若在轴上方，点在轴下方满足题意， ， 解得． 综上所述，或或． 4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下： 步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，； 步骤二：绘制函数； 步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化． 问题：如图2，将点移动到点的位置． (1)若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴； (2)在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，B或或或 【分析】(1)根据题意，确定a，b的值，结合对称轴为直线计算即可． (2)根据题意，确定，结合抛物线与x轴只有一个交点，得到，分点B、C在点A同侧和异侧两种情形求解即可． 【详解】（1）由题意知，， ∴对称轴为直线． （2）∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， ∵， ∴， 当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时， 则， ∴ 解得或， ∴B点坐标为或 ②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点， 则，， ∴ 解得或， ∴B点坐标为或． 综上， B或或或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与x轴交点，根的判别式是解题的关键． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和. (1)求，满足的关系式； (2)当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系； （2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围； （3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解． 【详解】（1）把和分别代入函数式， 得方程组. 由这个方程组得. 所以，满足的关系式为. （2）∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且， ∴. ∵， ∴，解得. 所以的取值范围是. （3）由（1）得，， 又∵函数图象与轴无交点， ∴，解得. ∵， ∴当时，的最小值为，当时，. ∴的取值范围是 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的对称轴公式，顶点公式，会根据抛物线和x轴交点的情况求解． 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元/千克）关于的函数关系式为，销售量y（千克）与之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式为 ； （2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是 ．（销售额=销售量×销售价格） 【答案】 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴此时与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴此时与的函数关系式为， 综上可知，与的函数关系式为． 故答案为：； （2）设当月第天的销售额为元， 当时，， 当时，取得最大值，此时； 当时，， 当时，取得最大值，此时． 综上可知，当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式． 3．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 4．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 【答案】(1)， (2)的值为20或21 (3)第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 【分析】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题． （1）由已知直接可得，设，用待定系数法可得的函数关系式； （2）求出前9天的总供应量为个，前10天的供应量为个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为（个，可列出不等式组，而为正整数，即可解得的值； （3）最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为，销售额为20900元． 【详解】（1）根据题意得：， 设，将，，代入得： ， 解得， ； （2）前9天的总供应量为个， 前10天的供应量为个， 在中，令得， 前9天的总需求量为2136个， 前10天的总需求量为（个， 前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量， ， 解得， 为正整数， 的值为20或21； （3）由（2）知，最小值为20， 第4天的销售量即供应量为， 第4天的销售额为（元， 而第12天的销售量即需求量为， 第12天的销售额为（元， 答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 5．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 【答案】(1)（）； (2)①；②；③最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； (3)5 【分析】 （1）设q与x的函数关系式为：，将表格中数据代入，即可求解； （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有，得出不等式，解不等式，即可求解；②由①可知，当时，，当时，，即可求解；③分别求出当，时的最值，进行比较，取最大值，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：由表格的数据，设q与x的函数关系式为：， 根据表格的数据得：， 解得：， ∴q与x的函数关系式为：（）； （2）解：①当每天的半成品食材能全部售出时，有， ， 解得：， ， ； ②由①可知，当时， ； 当时， ； ； ③当时， 的对称轴为 直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值， 最大值为， 当时， ， ，， 当时，y取最大值，最大值为， ∵， 厂家每天获得的最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； （3）解：要使每天的利润不低于24百元， 当时，由（2）知y最大为20，故不存在这种情况； 令，解得：， 由于函数图象开口向下， ∴当时，每天的利润不低于24（百元）， ∴当时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了二次函数在销售问题中的应用，二次函数与不等式，待定系数法，能根据等量关系式及不等关系式列出函数及不等式，再根据二次函数的性质求解是解题的关键． 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（    ） A．7 B．9 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， ∴对称轴为：， ∵点的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为，， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B，满足， 故选：D． 2．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正比例函数在实际生活中的综合应用，关键是求出、、、、、、、点的坐标，表示出、、、的长度，均用含的代数式表示，进而求比即可．根据已知条件抛物线过原点及，利用交点式写出抛物线的解析式，易得顶点，，由于轴且、、、皆在上，故他们纵坐标相同；根据，，且为对称轴，轴，得横坐标为，进而推出、、点横坐标分别为、、，因为且在抛物线上，可得，、，，再根据直线过原点，求得解析式为，由于在上，可求得纵坐标，则、、纵坐标均为，表示出、、、的长度，进而求比值即可． 【详解】解：根据题意，可知二次函数图象过，，故设抛物线为， ∵为抛物线顶点； ∴，， ∵轴， ∴点横坐标为， ∵轴， ∴、、、纵坐标相同， ∵轴，， ∴，，,，,； ∵轴， ∴，， 同理可得，， 设直线：， 则， 解得： ， ∵，，三点共线， ∴，即， ∴，，，， ∴， ， ； ∵，，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点处，面对高度为的足球球门，守门员位于点处，的延长线与球门线交于点，足球飞行路线可看成抛物线，点，均在抛物线下方．已知，，足球飞行的水平速度为．水平距离（）与离地高度（）的数据如下表： （） （） (1)求关于的函数解析式，不需要写自变量取值范围； (2)在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； (3)守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于视为防守成功，已知守门员运动速度为，问守门员能否成功防守？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能把球踢进，理由见解析； (3)不会防守成功，理由见解析． 【分析】（）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，用顶点式假设出抛物线的解析式，再把代入计算即可求解； （）能把球踢进．求出时的值，与比较即可求解； （）不会防守成功．设守门员后退到足球正下方所需时间为秒，根据，求得，可得守门员后退到足球正下方距离原点为，求出时的值，与最大防守高度为比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：能把球踢进，理由如下： 当时，， ∴在守门员不防守的情况下，进攻球员能把球踢进； （3）解：不会防守成功，理由如下： 设守门员后退到足球正下方所需时间为秒，则， 解得， ∴守门员后退到足球正下方距离原点为， 当时，， ∵最大防守高度为，. ∴这次守门员不会防守成功． 4．（2024·河南南阳·三模）如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． (1)求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? (3)实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)； (2)； (3)米． 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； （）设改进后的抛物线解析式为，把代入可得，进而得到，即可得到米，即得调整后水管的最大长度米； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，有， 解得：，(不合，舍去)， ∴点坐标为， ∴， 此时有， 答：圆形水池的直径不能小于； （3）解：设改进后的抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴改进后的抛物线解析式为， ∴点的坐标为， 即米， ∴调整后水管的最大长度为米． 5．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根． 为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式； ②求出改造前大棚的最大高度； (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；② (2)最大值是2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，一元一次函数的增减性，是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；②把得到函数的解析式配方，即可得到结论； （2）求出，设改造后抛物线解析式为，根据对称轴，得到，根据时，求出 ，得到．同理时，得到 ， 根据经费预算为40000元，得到，解得，根据随a的增大而减小，得到时， ． 【详解】（1）①设改造前的抛物线解析式为， 由题意可知，，，在抛物线上， ∴， 解得，， ∴． ②∵，，， ∴时， ． （2）中，当时，， ∴， 设改造后抛物线解析式为， ∵对称轴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵经费预算为40000元， ∴， 解得，， ∵， ∴随a的增大而减小， ∴时，最大，． 答：最大值是2米． 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口方向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的符号，从而可判断①错误；由图象过 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大，可判断③正确；根据函数开口向上，在对称轴处有最小值，即可判断④正确；由M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，即，得可判断⑤正确． 【详解】解：∵函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵顶点坐标为，即对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 由图可知，当时，， ，即，故②正确； 抛物线开口向上， ∴离对称轴距离越大，y越大， 又∵，，， ∴；故③正确； ∵函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， ∴，即故④正确； 由题意可知：M，N到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到x轴的距离刚好等于时，此时顶点与M、N两个点恰好构成等腰直角三角形， ∴当抛物线的顶点到x轴的距离大于等于时在x轴下方的抛物线上存在点P，使得， ∴， 把代入解析式得， ∴， ， ， 解得：，故⑤正确； 故选：B． 2．（23-24九年级上·北京西城·期中）下表记录了二次函数中两个变量与的3组对应值： … 3 7 … … … 点，在该函数图象上．若当时，，给出下列四个结论：①；②；③；④若当时，存在直线与抛物线有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】由表格数据可知，该二次函数对称轴为：，当时，由，得，则，可判断①，由且，可判断②；将代入得，得，可判断③；当时，存在直线与抛物线有两个交点，则，可判断④． 【详解】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为：， 若时，如图，    ∵， ∴，则与条件矛盾， ∴，故①正确， 如图：    ∵， ∴且 ∴故②正确； 将代入得， 此时， ∴，故③正确； 当时，存在直线与抛物线有两个交点，则，故④错误． 综上①②③正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据题意画出图象，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，最大，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数综合问题；待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，过点作轴交于．过点作分别交直线，于、，求得直线的解析式为．得出点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解； （3）设，进而勾股定理求得，根据等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）把，代入抛物线解析 式中得：， 抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，，过点作轴交于． 过点作分别交直线，于、 设直线的解析式为， 直线过点，． ， 直线的解析式为． 直线与直线平行， ， 点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大， 则最大，即要使最大， ， 当最大时，最大，即此时的面积最大， 是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为． ，， ， 当时，最大，即此时的面积最大；    （3）设 ， ∵是以为底的等腰三角形 解得：， 或 4．（2024·江西吉安·模拟预测）如图，已知抛物线：与y轴相交于点C，顶点为D． (1)填空：点C的坐标是______；点D的坐标是______；直线CD的解析式______． (2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使的周长最小，求点G的坐标； (3)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，，或或或 【分析】（1）将抛物线化成顶点式得，据此可求出的坐标，当时，可求出的坐标，用待定系数法，即可求解； （2）设，则，，抛物线顶点式的性质得当时，取最大值，此时可求，当取最小值时，的值最小，作关于直线的对称点，连接交直线于，此时最小，，即可求解； （3）由抛物线的平移得：，待定系数法同理可求直线的解析式为，①当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，设，由勾股定理得，，由菱形的性质得，，，由，可求，， 舍去，可求，由待定系数法可求直线的解析式为，直线的解析式为，则有，直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，同理可求；③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时，同理可求：或（ⅰ）当时，同理可求；（ⅱ）如图，当时，同理可求． 【详解】（1）解： ， 当时，， ，， 设直线的解析式，则有 ， 解得：， 直线的解析式； 故答案：，，； （2）解：如图， 设， 则， ， ， 当时，取最大值， 当时， ，     ， ， ， 当取最小值时，的值最小， 如上图，作关于直线的对称点，连接交直线于， 此时最小， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式； 当时，， ； （3）解：存在； 抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线得， ， ， 解得：， ， ， 待定系数法同理可求直线的解析式为， ①如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 设， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 在直线上， 舍去， ， 同理可求直线的解析式为， 可设直线的解析式为，则有， ， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， 联立得， 解得， ； ②如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 设， 同理①可求： ， ， 解得：， ， 同理①可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ； ③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形时， 同理可求： ， 解得：，， 或 （ⅰ）如图，当时， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式可得： ； （ⅱ）如图，当时， 同理可求： 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式可得： ； 综上所述：的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，二次函数在线段最值中的应用，线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，菱形的性质等，掌握取得最值的条件，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 5．（2024·四川遂宁·二模）如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)或 (3)存在，当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）把，两点代入，可求解； （2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点D坐标，可求，设点，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点， 设直线解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得：，， ∴点， ∴， 设点， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， ∴或3， ∴点或； （3）当为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴，而，，， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； 当为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点P坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2023·山东济南·三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解． 【详解】∵抛物线与线段有公共点， ∴抛物线与平行于x轴的线段相切或者相交． 代入中， 即关于x的二次方程有两个相等或者不等的实数根． 整理上述关于x的二次方程得，．① ∴对于①式，， 即，．      将①式整理成关于m的二次方程： ，则关于m的判别式： ，解得：． 结合x的已知取值范围得出： 线段与抛物线有公共点的取值范围为：． 观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是． 把代入方程①式：， 可求得，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置． 因此，m的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键． 2．（2024·四川成都·二模）新定义：对于三个数a、b、c，我们用表示这三个数中最大的数，如：．若直线与函数的图象有且只有2个交点，则b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在新定义下直线与抛物线相交的问题，根据题意得知是直线与抛物线相交是解决本题的前提，分类讨论思想的运用是解题的关键．求得、点的坐标，根据题意，分三种情况说明从而求解． 【详解】解：如图，    ①直线经过得，则， ②解得或， ， 代入得，， 解得， ③直线与抛物线相切时，则，即， 则 ， 解得：． 故答案为：或． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点D，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点A、B的横坐标分别为s、t，若，求的值； (3)设抛物线的顶点为P，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出点A、B的坐标，再求出直线解析式，求出D点坐标即可求出比值； （3）求出顶点坐标，再根据构建全等三角形，设点的坐标，列出方程，求出解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线． ∴，； ∵抛物线与y轴交于点C， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点A、B的横坐标分别为s、t，若， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得， ∴， 直线解析式为， 直线与抛物线的对称轴交于点D，则D点坐标为， ， ． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 则抛物线顶点坐标为， 作交于F，作交于G，过点A作y轴的平行线l，过点F、P作直线l的垂线，垂足分别为E、D，交抛物线对称轴于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，代入得，， 把代入得，， ，， ， 则点C纵坐标为， 所以点C是直线与对称轴交点， 所以即， 解得，（舍去）， 把代入得，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合与全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是恰当构建全等三角形，利用点的坐标解决问题． 4．（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ∴，即， 把代入得， ∴， ∴ 抛物线的表达式为． （2）解：①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得： ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 5．（2024·湖南娄底·一模）如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求直线对应的函数解析式． (2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标． (3)设线段的长为． ①求关于的函数解析式； ②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【分析】（1）令，解关于的一元二次方程求出点的坐标，再把代入抛物线求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，然后求出点的坐标，得到的长度，再根据矩形的对边相等求出点的纵坐标然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得解； （3）①分点在线段上和在线段上两种情况，用点的纵坐标和点的纵坐标表示出的长度，列式整理即可；②分别求出二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数的增减性解答． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， 点的坐标为， 点的横坐标为2， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 时，， ， 四边形为矩形， ，即点的纵坐标为5， ， 整理得，， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：①点的横坐标为，轴交抛物线于点， 点，点， 当点在线段上时，线段的长为， 即； 当点在线段上时，线段的长为， 即， 与的关系式为； ②当点在线段上时，函数的对称轴为直线， ， 时，随着的增大而减小， 点在线段上， ， 当点在线段上时，函数的对称轴为直线， ， 时，随着的增大而减小， 点在线段上， ， 综上所述，随着的增大而减小时，的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求一次函数解析式，垂直于坐标轴的两点间的距离的表示，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点的位置分情况讨论． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少． 【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形． 由图象可得：当时， ∴当取的最小值时，最小，即 ②当时，对称轴在轴的右侧． 当时，． 当时， 图象的最高点为顶点． ． 或不合题意，舍去． 取得最小值时，的值为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    【答案】①③④ 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故④正确． 【详解】图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即， 故正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， 故错误； ， ， ， 故正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键． （1）①先根据二次函数为，得到对称轴为直线，把代入解析式求得或，根据题意点在对称轴右侧，即，则，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点，当时，函数取得最大值3，当时，函数取得最小值，在范围内，解得； （2）令，得，解得，与，根据题意得到①，②且，即可求得的取值范围是或． 【详解】（1）解：①二次函数为 对称轴为直线， 令，有，解得或 为该二次函数图象与轴靠右侧的交点， 点在对称轴右侧． ，故． 二次函数解析式为 ②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线， 时，函数值随的增大而减小； 当时，函数取得最大值3； 当时，函数取得最小值 在范围内，解得； （2）解：令，得，解得 将函数图象在轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为： 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 因此，若当时，随的增大而增大，结合图象有： ①，即时符合题意； ②且，即时符合题意． 综上，的取值范围是或． 4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)不存在“倍值点”，理由见解析；的图象上存在两个“倍值点”或； (2)的值为或6； (3)当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“倍值点”的定义求出函数的图象上有两个“倍值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“倍值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“倍值点”； 在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为2， ， （舍去），， 的面积为2， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的值为或6； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“倍值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“倍值点”， △， ， ， ②当时，有3个“倍值点”， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“倍值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． 5．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过两点的抛物线交轴于另一点． (1)求抛物线解析式； (2)将轴下方的抛物线沿轴翻折（如图2），将线段沿射线方向平移，设平移后的的解析式为，试讨论平移后的线段与翻折后的函数图象的交点个数与对应的的值或取值范围（可以直接写出结果）； (3)如图3，直线交抛物线于两点，若，试求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）易得，，设抛物线解析式为，再将代入抛物线解析式，求出的值即可得出答案； （2）分情况讨论，求出对应的的值，结合函数图象即可得出答案； （3）过点作轴于点，过点作轴，过点作轴于点，则，设，，证明得出，从而得出，联立方程得出，结合一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，故， 当时，，解得，故， ∵， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①当时，线段与翻折后的函数图象有一个交点； ②当线段平移至点与点重合时，与翻折后的函数图象有两个交点，将代入得：，此时； ③当线段与抛物线相切时，与点右侧的抛物线有一个交点，因此，此时线段与翻折后的函数图象共有两个交点， 由得， 化简整理的， 令， 解得，， 即当时线段与翻折后的函数图象共有两个交点； ④当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有3个交点； ⑤当线段平移至点落在点右侧的抛物线上时， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设此时点的对应点为，则点的对应点为， ∴， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴的解析式为， 此时时，平移后的线段与翻折后的函数图象有最后的一个交点， 即当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有一个交点． 综上所述，当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象没有交点； 当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象有一个交点； 当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象有两个交点: 当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有3个交点； （3）解：过点作轴于点，过点作轴，过点作轴于点，则， 设，， ∴，，，， ∵，，，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得，， 由得，， 则，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、相似三角形的判定与性质、一次函数与二次函数的交点问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题． 【详解】设，则高为，设面积为S ， 的面积最大， ， 即， 过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小， ， ， ， 的周长最小值为：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，D是边上一动点，以为边作正，则最大 ． 【答案】 【分析】过点E作交于点F，在取点G，使，连接，设，则，证明，可得，从而得到，然后三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，在上取点G，使，连接， 设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得到是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在，最大值为12 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去 ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，矩形的周长 当m＝时，此时矩形的周长L有最大值为12； （3）∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 【答案】(1)②； (2)①或；② 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求解即可． 【详解】（1）对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：②； （2）①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴， 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，或． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 5．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)10 (3)时，的面积最小，最小面积是8 【分析】（1）由题意得点的坐标为，根据，得出点A的坐标为，把点A的坐标代入抛物线的解析式即可得出答案； （2）当时，直线的函数表达式为，设直线与轴交于点，求出点的坐标为，得出，令，解得，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）令，解得，得出，表示出与之间的函数关系式为：，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得点的坐标为， ， ∴点A的坐标为， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． （2）解：抛物线的函数表达式为， 当时，直线的函数表达式为， 设直线与轴交于点，把代入得：， ∴点的坐标为， ， 由，得， ． （3）解：同（2）可得，当时， 即， 解得， ， 与之间的函数关系式为：． 当时，有最小值为8． 故时，的面积最小，最小面积是8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足：，（k为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ． （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线 与直线的交点就是好点，再计算即可． 【详解】解：（1）由好点”定义可得：， ∴， 整理得：， ∴或5， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为，， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点A时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ∴， 解得：， ∴c的取值范围为： ． 故答案为：． 3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数，且）经过点，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． (1)求出二次函数的表达式． (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点，若，直接写出的取值范围． (3)当，，时，对应的函数值分别为，，．求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）把点代入，即可解答； （2）先求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的另一个交点，得出和，再根据n的范围即可得出答案； （3）分别表示出，，，再相加化简即可． 【详解】（1）由题意得，抛物线（m是常数，且）经过点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由题意得：垂直于y轴的直线l与抛物线交于点和，与直线交于点， ，即与抛物线交于P、Q，与直线交于N， 对于二次函数，令，则， ， 又对称轴是直线， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与抛物线的另一个交点满足 ， 解得：（舍去），或， 另一个交点为， 直线与的交点在之间， ， 又P、Q两点为直线与抛物线的交点， ，即， ， 又在直线上， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， 当，，时，， ， ， ． ， ． 4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，完全平方公式的变形求值，矩形的性质，勾股定理： （1）根据矩形对角线中点坐标相同进行求解即可； （2）连接，在中，由勾股定理得，进而得到，解得； （3）先得到，，则，即，由勾股定理可得，设，进而可得，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴由矩形对角线中点坐标相等可得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点，为抛物线第一象限内的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴矩形的面积为． 5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； （2）如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】 1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D．n ≥ 【答案】C 【分析】本题是新定义的阅读理解问题，考查二次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，根据新定义可知与构成等腰直角三角形且的点一定在直线和上，然后求出解析式，利用函数的交点与一元二次方程的联系解题即可． 【详解】如图，∵ 是抛物线的T型点， ∴， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ， 解得， ∴解析式为， ∴抛物线必与直线有交点， 故有实数根，即有实数根， ， 解得， 故选C 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点， （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于m的绝对值方程，解方程即可； 明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，若，则， ∴， ∴或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或； ②存在，m的值为0或或． 如图，设与对称轴的交点为H． 由（2）知，， ， ∴， ∴抛物线的极限分割线：， ∵直线垂直平分， ∴直线：， ∴点B到直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线：， ∵， ∴点P到直线的距离为|， ∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或或． 4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．    (1)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ； (2)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由： (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，二次函数的性质等等： （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出时，自变量的值即可得到答案； （2）先求出时的自变量的值，进而求出点A和点B的坐标，再把解析式化为顶点式得到点C的坐标，最后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明即可得到结论； （3）把解析式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为，分以下几种情况：当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”；当时，直线与抛物线在范围内不存在交点；当抛物线恰好经过原点时，则，解得或，当时，联立解得或，符合题意；当时，此时二次函数与在范围内不存在交点；当时，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的，求出当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1，则当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为，则，解得，据此结合图象可得答案． 【详解】（1）解：∵是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则，解得， ∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是； （2）解：是直角三角形，理由如下： 当时，解得， ∴不妨设； ∵， ∴顶点C的坐标为， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”； ∵抛物线开口向上， ∴当时，直线与抛物线在范围内不存在交点； 当时，联立解得或 当时，由于抛物线的顶点坐标在直线， ∴当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的， 当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，即当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1， ∴当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为， ∴， 解得，    综上所述，． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了一次函、反比例函数，二次函数的性质，勾股定理； （1）根据新定义联立，解方程，即可求解； （2）根据新定义得出函数的图象的“3系关联点”为，，函数的图象的“6系关联点”为，勾股定理表示出两点距离，根据等腰三角形的定义，分类讨论，解方程，即可求解； （3）根据函数的图象存在唯一的“m系关联点”得出，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，“2系关联点”即 ∴“2系关联点”在上， ①无解， ②，解得，则②的图象上存在“2系关联点” ③消去得，， ， 则③的图象上存在“2系关联点” 故答案为：②③． （2）解： 解得：或 ∴函数的图象的“3系关联点”为，， 解得： ∴函数的图象的“6系关联点”为， 设 ∴，， 当是等腰三角形时， ①当时，，此方程无解 ②当时，，此方程无解 ③当时， 解得： （3）解： 消去得， 解得：（为正整数，舍去）或 所以抛物线为 ∵当时，函数的最小值为， 对称轴为直线， ①当时，即，随的增大而减小，则最小值为 解得：，此时最小值为， ②当时，，此方程无解， ③当时，最小值为，则（舍去） 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $$