精品解析：江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

2023~2024学年度第二学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来，我国新生儿数量逐年减少引起广泛关注．根据国家统计局2024年1月公布数据，2023年全年出生人口为902万人，其中“902万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 6. 点在正比例函数的图象上，若，则的值是（ ） A. 15 B. 8 C. D. 7. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式的结果是_______． 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 11. 已知一组数据方差计算公式为：，则这组数据的值为_______． 12. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是_______． 13. 反比例函数的图象在第_______象限． 14. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是_______． 15. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 16. 如图，在中，，其中，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接，则面积的最大值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了______名学生； （2）表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为________°； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数． 21. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 22. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形周长． 23. 在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈） 24. 山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元． （1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A，B两种图书分别购买了多少本？ （2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求面积． 26. 【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】 （2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求长； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； （3）如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中学业水平质量监测 九年级数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 所以4的相反数-4． 故选B． 考点：相反数． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：A．，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项正确，符合题意； C．，故该项不正确，不符合题意； D、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 近年来，我国新生儿数量逐年减少引起广泛关注．根据国家统计局2024年1月公布的数据，2023年全年出生人口为902万人，其中“902万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，是比原整数位数少1的数． 【详解】解：902万． 故选：C． 4. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得：． 故选：D． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：A 6. 点在正比例函数的图象上，若，则的值是（ ） A. 15 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 利用正比例函数图象上点的坐标特征可得出，结合即可求出的值． 【详解】解：∵在正比例函数的图象上， ， 又， ， 故选：A． 7. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可； 【详解】由题意可列出方程， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 8. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据三角形面积公式求出，，两式相减求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式进行分解即可解答． 详解】解：， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 11. 已知一组数据的方差计算公式为：，则这组数据的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查方差，平均数，解题的关键是掌握相关运算． 根据题意可得平均数的定义可得答案． 【详解】解：平均数为：， 故答案为：8． 12. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，理解题意是解题的关键． 先估算的取值范围，即可得出的取值范围，从而求出的值，继而求出的值，从而得出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 13. 反比例函数的图象在第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 根据反比例函数确定图象分布在第二、四象限，再根据确定图象在第二象限即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限， 故答案为：二． 14. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的正切值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 由勾股定理得，， ． 在中，． 故答案为：3． 15. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 16. 如图，在中，，其中，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接，则面积的最大值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为1， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再算乘法，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 先去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴原不等式的解集为：． 在数轴上表示为： 20. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了______名学生； （2）表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为________°； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数． 【答案】（1）50名 （2）108 （3）见详解 （4）120名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择的人数，即可计算出表示“书法展示”的扇形圆心角的度数； （3）根据（2）中的结果，将条形统计图补充完整即可； （4）根据样本估计总体即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数是(名)； 故答案为：50； 【小问2详解】 选择的有：(人)， ∴表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：108； 【小问3详解】 补全的条形统计图如图所示； 【小问4详解】 (人)， 答：估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数有120人． 21. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率． 【小问1详解】 解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为； 【小问2详解】 如图，画树状图如下： 所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个， ∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：． 【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 22. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【答案】（1）图见详解 （2）①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为 【解析】 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解； （2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； ②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 解：所作线段的垂直平分线如图所示： 【小问2详解】 解：①四边形是菱形，理由如下：如图， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形，， ∴， 由①可设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 23. 在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈） 【答案】（1）12；（2）32米． 【解析】 【分析】（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由∠ADE=45°可得AE=DE，设AF=a,则AE＝（a﹣3），BF=21+(a-3)，根据∠ABF的正切值可求出a的值，即可得答案；（2）根据∠ABF的正弦值求出AB的长即可. 【详解】解：（1）如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E， 由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， 设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米， ∵tan∠B＝， ∴tan22°＝， 即， 解得，a＝12， 答：城门大楼的高度是12米； （2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝， ∴sin22°＝， ∴AB≈12÷=32， 即A，B之间所挂彩旗的长度是32米． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 24. 山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元． （1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A，B两种图书分别购买了多少本？ （2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用． 【答案】（1）购买了A种图书100本，B种图书200本； （2）当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元． 【解析】 【分析】（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意列方程求解即可． （2）设购买A种图书a本，则购买B种图书本，先求得a的范围，再设购买总费用为w，列出w关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意，得： ， 解得， 答：购买了A种图书100本，B种图书200本； 【小问2详解】 解：设购买A种图书a本，则购买B种图书本， 根据题意，得， 解得， ∴，且a为整数， 设购买两种图书的总费用为w元， 则， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为7500元，此时 答：当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，将点代入，得，由此可得一次函数的表达式；再求出点（0，2)，则，证得，进而得点，将点代入反比例函数得，由此可得反比例函数的表达式； （2）由（1）可知点，点，则，再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如下图所示： ∵一次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 对于，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∴， 即， ， 即点的纵坐标为3， 对于，当时，， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 由（1）可知：点，点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 26. 【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】 （2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答经； （2）过点作于点，先证得，可求得，再证得，即可求得答案； （3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，再证得，可得，则，再证得，可得，再运用三角形面积公式可求得：，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答答为：； （2）如图2，过点作于点， 则， 在中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图3，设与交于点，过点作交于点， 由对称性可知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 设， 则， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； （3）如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据平行四边形的性质由，即可求解； （3）设的圆心为T，当圆T和抛物线对称轴相切时，最大，再根据半径处处相等列方程即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， 得，解得：， 所以抛物线函数表达式为：； 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）令，则，可得， 图1 ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得：， 直线的表达式为， 又过点作轴交抛物线于另一个点，且抛物线对称轴为， ， 联立直线和抛物线解析式可得，即， 解得（不符合题意，舍去）； 当为时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图1， 在对称轴上取异于点的任意一点，连接交圆于点，连接， 则， 而， 即， 故当经过点的圆与对称轴相切于点时，最大． 当的外接圆与对称轴相切时，切点即为使最大的点，如图2，点是外接圆圆心，即对称轴，设的坐标为，则， 令，则，解得， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、平行四边形的性质等，熟悉圆切线的性质是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$