专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取浙江地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 2．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（    ） x 0 3 y n 3 3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；其中正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，如果你不知道下列结论：①，②，③，④中，哪些是正确结论，那么你从中随机选择一个结论是正确的概率是（　　） A．1 B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 10．（2024·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）设二次函数，已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n p … 若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 12．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　）    A． B．当时，y的值随x值的增大而减小 C． D．函数值有最小值 15．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图已知二次函数的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线，顶点坐标．则下列结论中： ①；②；③；④当时，方程有两个不相等的实数根． 正确的结论有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，则由抛物线的特征判断以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 20．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（2023九年级上·浙江杭州·专题练习）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 25．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号） 27．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（为常数）的开口向下且过点，．有以下结论：①，②，③④若方程有两个小相等的实数根，则．其中正确的结论是 （填入序号）． 28．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 29．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）． 30．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知点，，，在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点． （1）若，则的值是 ． （2）若，则的取值范围是 ． 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数图象如图，下列结论中：；；；正确的有 填序号    32．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的 33．（23-24九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论正确的是 ．（填序号）    ①；②；③；④． 34．（22-23九年级上·浙江·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是 ． 35．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 36．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为 ． 37．（22-23九年级上·浙江金华·期中）下表中所列的，的7对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标，其中． … … … 7 0 0 7 … 根据表中所提供的信息，有以下4个论断： ①；②；③该函数图象的顶点坐标为； ④，是方程的两个实数根.其中正确论断的序号有 ． 38．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）．其中正确的结论是 ．（填序号） 39．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数的图象如图所示，比较下列各式与0的大小． ①abc 0；② 0；③ 0 40．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 41．（23-24九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 42．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有 ． 43．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有 ． 44．（17-18九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是 ． 45．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【选取浙江地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 2．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意； B、由图象可知，图象开口向下， ∴， 由离对称轴越近的值越大， ∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵抛物线对称轴为直线，且过点， ∴与的另一个交点为， ∴，故选项不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，且经过点，， ∴代入抛物线得：，则， ，则， 由得：，故选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下， ， 当时，，由图象可知交轴正半轴一点， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， ， 即，，， ①正确； ②图象过点， 将代入中有， 时，， ， ， ， ， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， ， ③错误； ④，， ，即， ， 时，， ， ，， ， ， ， ④正确； 即①②④正确，共个． 故选：C． 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，故正确； ∵图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，则，而， ∴， ∴， ∴，故正确； 由题意得，， ∴， ∴，故正确； 综上正确的有，共个正确， 故选：． 5．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（    ） x 0 3 y n 3 3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由，，得出，把代入，得出，即可判断④． 【详解】解：由表格可知过，点， ∴对称轴为直线， ， ，故④正确； ， 函数图象开口向下，当时，y随x的增大而增大， ， ， ，故①正确； ， ∴当时y随x的增大而减小，故②错误； ，， ，代入得： ， ∴，故③正确． 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；其中正确的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数图象系数的关系，二次函数的对称性，数形结合是解题的关键．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可得，， ， ， ，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ，即，故②正确； ③由图可知时，， ， ，故③正确； ④图象过点对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点为， 由图可知：当时，的取值范围是，故④正确； 故选：A 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到，与轴交于负半轴，得到， ∵对称轴在轴右侧，且，即， ∴与异号，即， ∴，选项正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴，即，选项错误； ∵原点与对称轴的对应点为， ∴时，，即，选项错误； ∵时，， ∴， 把代入得：，选项正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 8．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，如果你不知道下列结论：①，②，③，④中，哪些是正确结论，那么你从中随机选择一个结论是正确的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①；与轴的交点个数，判断②；对称轴判断③；对称轴加特殊点判断④，即可得出结论． 【详解】解：由二次函数图象开口向下，， 函数与轴交于正半轴， 对称轴，故，同号，，故，故①正确； 二次函数与轴有两个交点，故，故②正确； ∵对称轴为直线：， ∴ 故，故③正确； ∵，当时，， ∴ 故，故④错误； 综上：正确的有个， ∴从中随机选择一个结论是正确的概率是； 故选：B． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图像得出，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为，进而得出，当时，，则，推出，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故③不正确，即可判断③；④由图可知，顶点在第二象限，则即可判断④；⑤根据二次函数与x轴交点坐标为，，得出，结合图象得出当时，对应x的值在左侧，右侧，即可判断⑤． 【详解】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵对称轴为直线，x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴，当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④由图可知，顶点在第二象限， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑤， 故选：D． 10．（2024·浙江丽水·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③，关于的对称点为，， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）设二次函数，已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n p … 若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据表格中的数据得出对称轴为，坐标为，则，n为该二次函数最大值，根据，得出，再把和代入列出不等式，即可求解． 【详解】解：由表可知，当和时，函数值相等，都得， ∴该二次函数的对称轴为， 则，整理得：， ∴由表可知，当时，， ∴该二次函数顶点坐标为， ∵， ∴n为该二次函数最大值， ∵， ∴， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴a的取值范围为． 故选：C． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】题目主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，中有1个值为0即可，选项A错误，不符合题意； 当时，即时，，选项B错误，不符合题意； 当时，异号， ∴， ∴，选项C错误，不符合题意； 当时，， ∴，选项D正确，符合题意； 故选：D． 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）抛物线的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项A错误，不符合题意； 由图象得：，， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， 即，故C结论正确，符合题意； 当时，，故D结论错误，不符合题意； 故选：C． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（　　）    A． B．当时，y的值随x值的增大而减小 C． D．函数值有最小值 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，会利用对称轴的范围求与的关系，根的判别式的熟练运用．采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题． 【详解】解：抛物线的开口方向下， ．故A错误； 二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限， 对称轴，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 故B正确； 的图象与轴有两个交点， ，故C错误； ，对称轴， 时，函数值有最大值， 故D错误； 故选：B． 15．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴没有交点， ∴，故②错误； 由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为， ∵过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵抛物线的最低点是， ∴若点在该抛物线上，则，故④正确． 故选：C． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图已知二次函数的图象与y轴正半轴相交，对称轴为直线，顶点坐标．则下列结论中： ①；②；③；④当时，方程有两个不相等的实数根． 正确的结论有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口向下得，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可对②进行判断；由顶点P的坐标为得到，即，然后把代入得到，则可对③进行判断；根据二次函数的最大值为4，即，则当时，有两个自变量的值满足，于是可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的顶点P的坐标为， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数顶点坐标为， ∴二次函数的最大值为4，即， ∴当时，有两个自变量的值满足， 即方程有两个不相等的实数根，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，a决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②b和a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有；正确的是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点（，和，之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，， ∴根据左同右异，， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵方程没有实数根，抛物线的顶点为， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线的对称轴， ∴抛物线与轴的另一个交点在点（，）和（，）之间， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为， ∴在的右侧， 当时， 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，可得正确结论的序号是：②③． 故选∶C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 18．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，则由抛物线的特征判断以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ）    A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据函数图象得，，即可判断①；根据函数图象得函数有两个不相等的实数根，得，即可判断②；根据函数图象得，当时，，即可判断③；根据函数的图象得，根据，得，当时，，即可判断④；即可得． 【详解】解：根据函数图象得， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， 故①正确； 根据函数图象得函数有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故②错误； 根据函数图象得，当时，， 故③正确； 根据函数的图象得， ∵， ∴， 当时，， ， 故④正确； 综上，①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 19．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ，故①正确，符合题意； 抛物线经过点， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， ， 故③不正确，不符合题意； 当时，， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 20．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向及与轴交点的位置，即可得出、，进而可得出，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当时，随的增大而增大，结论②错误；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交点，可得出，结论④错误；由当时，可得出，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ∴， ∴，结论①错误； ∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，结论②错误； 抛物线对称轴为直线1， ∴， ∴， ∴，结论③正确； ∵函数图像与x轴有两个交点， ∴，结论④错误； ∵当时，， ∴，结论⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 21．（2023·浙江·模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点，可得，，，，故②③正确；从而得到，故①正确；再由当时，，可得，故④正确；然后根据二次函数图像的对称性可得当时，，从而得到，故⑤错误，即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线，与x轴有2个交点， ∴，，，，故②③正确； ∴，故①正确； 当时，， ∴，故④正确； ∵当时，，且对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知二次函数的图像如图，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确； 由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 则，，，故，故①错误； 当时，，即，当时，，即，故②错误； 当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键． 23．（2023九年级上·浙江杭州·专题练习）抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ， ， 当时，， ， ∴该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 也符合题意与矛盾， 故此项错误． ④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， 是方程的两个根， 是抛物线与直线交点的横坐标， ， ， 故此项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 24．（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定，对称轴及确定，函数图像与轴交点的确定，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于、、代数式的正负即可． 【详解】解：抛物线与轴有个交点， ， ，故①正确； 当时，， ，故②错误； 抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ， 抛物线的对称轴为直线 ，故③正确； 当时，，即， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的系数、、与抛物线图像的位置关系是解题的关键，熟记一些特殊的自变量值所对应的代数式，如本题出现的时，，再结合图像确定函数的取值范围，能较快的解决问题． 25．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由所给抛物线可知，，，， ∴，故错误； ∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴在直线和直线之间， ∴点离对称轴的距离比点远， 又抛物线开口向下， ∴，故正确． 将点代入二次函数表达式得，， 又， 两式相加得，， 又， ∴，故错误， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由得到，由抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对②进行判断；利用时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对④进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为，即， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①错误； ， ，所以②正确； 时，函数值最大， ，即，所以③正确； 抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于1， 抛物线与轴的一个交点在点与之间， 抛物线与轴的另一个交点在点与之间， 时，， ，所以④错误； 当，则， 和所对应的函数值相等， ， ，所以⑤正确； 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 27．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（为常数）的开口向下且过点，．有以下结论：①，②，③④若方程有两个小相等的实数根，则．其中正确的结论是 （填入序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①；根据当时，，可判断②；由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵二次函数过点， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； 抛物线开口向下， ， ，，且当时，， ，故③正确． 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于1， 即， ，故④错误． 故答案为：①②③． 28．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确． 【详解】解：观察图象可知， ，故①错误， 时， ， ，故②正确， 对称轴 ， ，故③正确, 点和关于对称轴对称， ，故④正确， 故答案为：②③④ 29．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等等，根据二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为直线，得到，由此可判断①；当时，，则，由此即可判断②；当时，，则，由此即可判断③；由，，得到，由此即可判断④；抛物线开口向下，则当时，y有最大值，则，由此即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故②错误； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有③和④， 故答案为：③④． 30．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知点，，，在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点． （1）若，则的值是 ． （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线顶点为最低点可得抛物线开口向上，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 故答案为：； （2）点为抛物线顶点，，抛物线开口向上，顶点为最低点， ， 抛物线对称轴为直线， 当点，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， ， ， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数图象如图，下列结论中：；；；正确的有 填序号    【答案】 【分析】根据二次函数与轴的交点可对结论进行判定；根据二次函数的开口方向、对称轴及与轴的交点可对，，的符号进行判定，进而可对结论进行判定；根据二次函数的对称轴及二次函数图象与轴交点的坐标可对结论进行判断；根据二次函数的对称轴及与轴交点的情况可判断当时，，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：二次函数图象与轴有两个交点， 判别式， ，故结论正确； 二次函数图象得开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ， ， 二次函数图象与轴交于正半轴， ， ，故结论不正确； ， ∴， ，， ∴，， ∴， ∴，故结论不正确； 设二次函数图象于的交点横坐标分别为，， 二次函数的对称轴为，且， ∴， 当时，，故结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解答此题的关键． 32．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论中，；；；④若，则； ；正确的 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①因为抛物线开口向上，可知，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此，所以，故①符合题意； ②抛物线和x轴有两个交点，故，故②正确，符合题意； ③当时，，故③错误，不符合题意； ④因为对称轴介于与0之间，因此，得，而，∴，因此④正确，符合题意； ⑤当时，，又∵，∴，∴，故⑤正确，符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握函数的图象与系数的关系、二次函数与方程之间的转换，根的判别式是解题的关键． 33．（23-24九年级上·浙江宁波·课后作业）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论正确的是 ．（填序号）    ①；②；③；④． 【答案】②④/④② 【分析】利用抛物线的开口方向及对称轴和与y轴的交点可判断①；由图象得抛物线的对称轴，化简即可判断②；抛物线的对称轴：，则可得，当时，即可判断③；将点带入得，利用即可判断④． 【详解】解：抛物线的开口向上，且与y轴的交点小于0， ，， 由图可得， ， ，故 ①错误； 由图象得：，即：，故②正确； 由图可得，抛物线的对称轴：， ， 当时，，即：，故③错误； 将点带入得：，即：， 又，则：，故④正确， 结论正确的是：②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 34．（22-23九年级上·浙江·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线经过点、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即，本小题结论正确； ②∵，， ∴， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小，本小题结论错误； ③∵， ∴， 对于方程，， ∴方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 35．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）二次函数的图象如图所示，有以下结论:①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确． 【详解】解：观察图象可知， ,故①错误, 时, , ,故②正确, 对称轴 ，故③正确, 点和关于对称轴对称, ,故④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 36．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到，利用c的取值范围可以求得a的取值范围． 【详解】∵抛物线与轴交于点，对称轴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标分别是， ∴， ∴，则． ∵轴的交点在之间 （包含端点）， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点坐标与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 37．（22-23九年级上·浙江金华·期中）下表中所列的，的7对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标，其中． … … … 7 0 0 7 … 根据表中所提供的信息，有以下4个论断： ①；②；③该函数图象的顶点坐标为； ④，是方程的两个实数根.其中正确论断的序号有 ． 【答案】②④ 【分析】首先根据，其对应的函数值是先减小后增大，可得抛物线开口向上，所以；根据，可得二次函数有最小值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可，根据抛物线与轴的交点即可得出，是方程的两个实数根． 【详解】解：，其对应的函数值是先减小后增大， 抛物线开口向上， ，①不符合题意； ，， ， ，②符合题意． 根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意； 抛物线过点，，，， ，是方程的两个实数根，④符合题意． 综上，可得判断正确的是：②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 38．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象与该图象相交于两个不同的点、点，设，的平均数为，点也是二次函数的图象上一点，现有下列结论：（1）；（2）点可能是二次函数的图象顶点；（3）；（4）．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①抛物线的开口向上，；②利用抛物线的对称性，进行判断；③利用，的平均数为，利用，，表示，求出的符号，进行判断即可；④利用，的平均数为，利用，，表示，求出，进行判断即可． 【详解】解：①抛物线的开口向上，，故①正确； ②∵，的平均数为， ∴， 当点、点，关于对称轴对称时， 为抛物线的对称轴， 此时点为抛物线的顶点；故②正确； ③， ∵， ∴ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴；故③正确； ④∵， ∴ ， ∵， ∴；故④正确； 综上，正确的是：①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查根据二次函数图象，判断二次函数的系数，以及式子之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 39．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数的图象如图所示，比较下列各式与0的大小． ①abc 0；② 0；③ 0 【答案】 ； ； 【分析】①抛物线开口向下得到，对称轴在轴的左侧，与同号，得到，抛物线与轴的交点在轴的下方得到，于是； ②抛物线与轴有2个交点，所以△； ③取，观察图象得到图象在轴下方，则，；取，观察图象得到图象在轴下方，则，．所以可以推知③的符号． 【详解】解：①抛物线开口向下，则，对称轴在轴的左侧，则，则，抛物线与轴的交点在轴的上方，则， ． 故答案为：； ②抛物线与轴有2个交点，所以△． 故答案为：； ③当自变量为1时，图象在轴下方，则时，； 当自变量为时，图象在轴上方，则时，． 则③． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，对于二次函数的图象： ①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口； ②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右（简称：左同右异）； ③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． ④抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 40．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），即可判断①；由抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，即可判断④，由抛物线开口向下，得到a<0，再由当x=-1时，，即可判断③． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3）， ∴c=3，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵当x=-1时，， ∴即，故③错误， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 41．（23-24九年级上·浙江·期末）抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和；且，当时，y随着x的增大而减小．下列结论：①；②③若点，点都在抛物线上，则；④；⑤若，则．其中结论正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，于是可对①进行判断；由于抛物线过点和，且，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到，变形可得，则可对②进行判断；利用点和点到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得，，两式相减得，然后把等式左边分解后即可得到，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到，变形得到，则可对⑤进行判断． 【详解】解：如图， 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①的结论正确； 抛物线过点和，且， ， ， ，所以②的结论正确； 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ，所以③的结论错误； 抛物线过点，， ，， ， ， ，所以④的结论正确； ， 而， ， ，所以⑤的结论错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 42．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＜－1时，y＜0；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】由二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，由图像可得开口向下，则有，，对称轴为直线，即，由此可进行求解问题． 【详解】解：由二次函数二次函数的图像与x轴交于点A（3，0）对称轴为直线x＝1，可得抛物线与x的另一个交点坐标为，开口向下，即，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y＜0，故正确； ∵对称轴为直线，即，， ∴，故②错误； 设抛物线的解析式为，则， 令x=0时，则有y=-3a， ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点）， ∴， 解得：，故③正确； ∵，， 由得， ∵， ∴， ∴， ∴，与矛盾，故④错误； 所以正确的结论有①③； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 43．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0， 对称轴为x=＜1， ∵a＜0， ∴2a+b＜0， 而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0， 当x=2时，y=4a+2b+c＜0， 当x=1时，a+b+c=2． ∵＞2， ∴4ac-b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac， ∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4， ②4a+2b+c＜0， ③a-b+c＜0． 由①，③得到2a+2c＜2， 由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8， 上面两个相加得到6a＜-6， ∴a＜-1． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等． 44．（17-18九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是 ． 【答案】①④⑤． 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． ∴x＝ ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0）， 即，4a+b＝0，故①正确； 当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确； 当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确； 抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确； 当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0， 当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0， ∴25a+7b+2c＞0， 又∵a＜0， ∴8a+7b+c＞0，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①④⑤， 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质. 45．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    【答案】①③ 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】解： 由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③符合题意； ∵，， ∴， 又， ∴，故④不符合题意； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤不符合题意． 故答案为：①③． 学科网（北京）股份有限公司 $$