第一章 二次函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第一章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，在二次函数的图象上，且当和时，函数值相等，则下列说法不可能成立的是（　　） A． B． C． D．该函数对称轴为 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．7 D．10 5．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（    ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时， D．若，是图象上两点，则 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，是常数，且，当时，或．若该函数图象过点和，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线 ． 13．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 ． 16．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 18．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 19．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 20．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 21．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 22．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 23．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 24．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式是， ∴它的顶点坐标是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知点，，在二次函数的图象上，且当和时，函数值相等，则下列说法不可能成立的是（　　） A． B． C． D．该函数对称轴为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式． 由二次函数，当和时，函数值相等，得到对称轴为直线，然后根据开口方向，判断，，的大小关系． 【详解】解：∵二次函数，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线，D成立， 当时，抛物线开口向上，且， ∴，A有可能成立； 当时，抛物线开口向下，且， ∴，B有可能成立． 故选：C． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，用m表示出二次函数的对称轴，然后根据题意列出m的一元一次方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴， ∵当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时，当时的函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数， 当时，，即此时是一个开口向下的二次函数， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 6．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（    ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时， D．若，是图象上两点，则 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴是直线，即可判断B，利用当时，即可判断A；由表格可得：当时，即可判断C，由，是图象上两点，则即可判断D． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 当时，， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 由表格可得：当时，，故C正确，不符合题意； 若，是图象上两点，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，是常数，且，当时，或．若该函数图象过点和，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，能够根据变量的变化范围确定抛物线的开口方向和对称轴是解题的关键． 根据的变化范围可得抛物线的开口向上，对称轴为直线，进而可以确定离对称轴越近的点的纵坐标越小，据此求解即可． 【详解】解：二次函数，，是常数，且，当时，或， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 该函数图象过点和，且， ， 故选：D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设的面积为， 由题意得：，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当为时，的面积最小，且最小值为． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【答案】 【分析】 此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称轴．根据二次函数图象的对称轴的公式，直接代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 13．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为：， ∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴当时，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 15．（2024·浙江杭州·模拟预测）把一块含角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，直角三角形的性质．分四种情况讨论，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， 若点A在x轴负半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴此时该抛物线的解析式为； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与关于x轴对称， ∴此时该抛物线的解析式为； 若点A在x轴正半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： 同理， 设该抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴此时该抛物线的解析式为； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与关于x轴对称， ∴此时该抛物线的解析式为； 综上所述，该抛物线的解析式为或或或． 故答案为：或或或 16．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的图象与y轴交于点A， ， 直线经过点A， ， ， 点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合， ， 整理得， 即，， 时，总有， 时，总有， ， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 19．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上． (1)若时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若时，求a的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把代入 得出 则对称轴， 把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上 ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴该函数的对称轴为， 则把代入， 得出， ∴的最小值为． 20．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 21．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 【答案】思考1：4000元；思考2：不能实现保底利润；思考3：经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 【分析】本体考查二次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系，利用函数的性质求解． 思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，再按优惠条件计算即可； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，列出函数关系，根据函数的性质即可求解； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，分三种情况，当，则，当，即时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件， 则元， 即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件， 则公司可获利 ， 当时，， ∵， ∴，则随增大而减小，即获利小于3200元， ∴不能实现保底利润； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件， ①当，则， 由题意可得：公司可获利 当时，， ∵，则随增大而增大， ∴当时，能实现保底利润； ②当，即时， 由题意可得：公司可获利 当时，（不符题意，舍去）， ∵，则当时，随增大而减小， ∴当时，能实现保底利润； ③当时，由思考2可知，不能实现保底利润； 综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 22．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）设，由抛物线过可得，即，然后分和分两种情况分别运用二次函数的性质进行解答即可； （3）分和分两种情况分别运用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得：，解得：， ∴； （2）解：设， ∵经过， ∴， ∴， ∴， ①若时，当时，， ，解得：， ②若时，当时，， ，解得， ∴综上所述：或； （3）解：若时，当时，， ∴， ∴， 若时，当时，；当时，， ∵表格中当时，， ∴不符合题意； ∴综上所述：． 23．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 24．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； （2）如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$