培优训练(3) (范围：2.1～2.3）（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

培优训练（三） 答案见Pm (范围：2.1~2.3) 基础训练川 7.过直线2x十y十2=0与直线2x-y-1=0的交 一、选择题 点，且垂直于直线3.x一y十3=0的直线方程为 1.直线3.x-y十5=0与直线6.x-2y十10=0的位 置关系是 8.在函数y=4x2的图象上求一点P,使P到直线 A.相交但不垂直 B.平行 y=4x一5的距离最短，则点P的坐标为 C.重合 D.垂直 三、解答题 2.经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是 9.已知直角坐标平面xOy内的两点A(5,一3)， B1,1). ( (1)求线段AB的中垂线所在直线的方程； A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 (2)一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 点B,求反射光线所在的直线方程. 3.(多选)直线1过点P(1,2)且斜率为k,若与连接 两点A(一1，一3)，B(3,-2)的线段有公共点，则 k的取值可以为 A.-2 B.1 C.2 D.4 4.已知A(一2,0)，B(4,a)两点到直线1：3x一4y十1=0 的距离相等，则a ( A.2 R号 C.2或-8 n2或号 5.已知点A(1,0),B(3,1),C为直线1：x-2y十4= 0上一动点，则△ABC的面积为 A.5 B.√5 c n号 10.已知两条直线4：m.x十8y十n=0和：2x十my- 二，填空题 1=0,试分别确定m,n的值，使： 6.直线1：x十my十1=0，m∈[-1,3]，则直线1的 (1),与12相交于点P(3,1): 倾斜角的取值范围为 (2)l1∥l: ·147· (3)l⊥12且1在y轴上的截距为一L. 面积为1这三个条件中选择一个补充在下面的 问题中，并作答。 若a=0,直线l与l2垂直，且 ,求直线1 的方程. 拓展探究 15.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置 I能力提升川 规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五 11.已知直线4：x-my十1=0过定点A,直线l2: 角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点. mx+y-m十3=0过定点B,l,与相交于点 有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便 P,则IPA2+|PB2= 于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直 A.10 B.13 C.16 D.20 角坐标系，Q),OO2,O),OO分别是大星中心 12.(多选)已知直线l4:mx一y一3=0，直线：4x 点与四颗小星中心点的连接线，a≈16°，则第三 my十6=0，则下列命题正确的有 颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为 A.直线1恒过点(0，一3) () B.直线(2的斜率一定存在 C.若1∥l2,则m=2或m=一2 D.存在实数m使得l1⊥2 13.设m∈R,过定点A的动直线x十my=0和过定 点B的动直线mx一y一m十3=0相交于点P A.0 B.1° C.29 D.3 (P与A,B不重合)，则△PAB面积的最大值是 16.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几 何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依 14.已知两条直线41：a.r+y+a十1=0，l2:2.x+(a 次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重 1)y+3=0. 心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三 (1)证明：直线过定点，并求出该定点的坐标： 角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(4,0), (2)若，l2不重合，且垂直于同一条直线，求a B(0,2),C(0,一3)，则△ABC欧拉线的方程为 的值； () (3)从①直线1过坐标原点，②直线1在y轴上 A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 的截距为2，③直线1与坐标轴形成的三角形的 C.x-2y-3=0 D.2.x-y-3=0 ·148✉15.D解析如图，设B(4,4)关于直线x一y十1=0对称的点 a+4_+4+1=0 7,解析由方程组 210得交点坐标为(-子，) 12x+y+2=0. 2 为C(a,b),则有 b-4 a-4=-1, 可释公可得 因为所求直线垂直于直线3x一y十3=0，故所求直线的斜率 k=一 C(3,5),依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC,此 ，由点斜式得所求直线方程为y十是=一(x十 时|AC1=√/(1-3)十(1-5)下=25.故选D项. }）,即4x+12+19=0, 答案4x+12y十19=0 8.解析设点P的坐标为(t,4),则点P到直线y=4x一5的距 离为d=4-4r-5 -4(号)-44(-)广+4 17 17 17 16.解扬(1D点A到直线CD的距离d=12+2-1=3⑤ 5 当=之时d取最小值，因北，点P的坐标为合小 W4+1 (2)依题意，点A关于直线CD的对称，点A'在BC边上，设 率(21 A'(%), 2.西1+也+2-1=0， 7 9.解析(1)因为A(5,一3).B(1,1),所以中点为(3，一1)，且 2 2 o- 5 则 解得 4 k=3=一1.所以线段AB的中垂线的斜率为1，所以 5-1 由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程 即A(一号号).所以直线C的方程为8r+2+l1=0 为y-(-1)=x-3,即x-y-4=0. 联立直线？与D的方程，解得点C的坐标为（一吕，）。 (2)因为A(5,一3)关于y轴的对称点为A'(-5,-3),所以 培优训练（三） k=号号所以直线AB的方程为y-1=号 1),即反射光线所在的直线方程为2x一3y十1=0. 1.C解析直线6x一2y十10=0可化为3x一y十5=0，所以直 线3.x-y十5=0与直线6.x一2y十10=0的位置关系是重合. 10.解析(1)因为4与12相交于点P(3,1), 故选C项 (3m十十8=0， 2.A解析因为直线的方向向量为(1,2)，所以直线的斜率k一 所以 解得m=一5，n=7. m+6-1=0, 2,所以直线的方程为y一1=2(x一1)，即2x一y一1=0.故选 (2)因为1∥，所以m一2×8=0，解得m=士4，经过检验 A项. 3.AD解相要使直线I与线段AB有公共点，则需k≥k或 可得，当m=4,1≠一2时，两条直线平行或当m=一4≠2 m而a=子昌吾：m=写学=-2所以2 时，两条直线平行。 (3)当m=0时，两条直线分别化为8y十1=0,2x一1=0，此 号或长一2，所以k的取值可以为一2或4故选AD项。 时两条直线相互垂直，且此时以=8：当m0时，=一号， 4.D解析若点A,B在1：3x一4y十1=0的同侧，则ks=k= 是，所以号=是，即a=号：若A,B在1：3一4叶1=0的异 k=一品此时无=号≠-1，两直线不可能套直所以 侧，则A(-2.0),B(4,a)的中点(1，号)在直线1：3缸-4y+ m=0,n=8. 11,B解粉因为1×十（一m)×1=0,所以直线14与直线： 1=0上，所以4-2u=0,解得a=2.故选D项. 互相垂直且垂足为点P,又因为直线h:x一y十1=0过定 5D照团因为直线AB的方程为骨-号片即x一2 点A(-1,0),直线4：mx十y一m十3=0，即m(x-1)十y十 1=0,则l∥AB,所以△ABC的边AB上的高为两平行线之 3=0过定点B(1,-3),所以在R1△APB中，PAP+ 间的距离d=4+1 √+(-2)7 =V5. PB=AB=[1-(-1)]2+(-3-0)2=13.故选B项. 又因为|AB引=√(1-3)+(0-1)=√5，所以S= 12.AD解折将点(0，一3)代入直线1：mx-y一3=0中可得 2ABXd=号.故选D项。 m×0-(一3)一3=0成立，所以直线14恒过点(0，一3)，故 A项正确：当m=0时，直线4的斜率不存在，故B项错误； 6.照团m=0时，直线斜率不存在，倾斜角为受：0<m≤5时， 当4∥l4时，m×(一m)=一1×4，解得m=2或m=一2，当 m=-2时，直线4：一2x-y-3=0,即2x十y十3=0与直线 k- ∈(-，一]领斜角的取值范是（受晋]： l:4x+2y十6=0重合，故m≠一2，所以m=2,故C项错 1≤m<0时，k= 品[1，十四小，领针角的取值范国是 误：当m=0时，：y--34=一号，此时山，故D项 [子，受)，综上，领斜角的取值范周是[平，] 正确.故选AD项. 图[] 13.解析由题意直线x十my=0过定点A(0,0),直线mx一y一 m十3=0可变为m(x一1)一y十3=0，所以该直线过定点 ·249· B(1,3),所以AB2=12十32=10，又1Xm十m×(一1)=0， 的方程为y一0=2(：-昌），所以△ABC欧拉线的方程为 所以直线x十my=0与直线m.x一y一m十3=0互相垂直， 所以PA+|PB12=AB=10,所以10=|PA2+ 2x-y一3=0.故选D项. PB>≥2PA·PB,即PA·|PB≤5，当且仅当PA|= 课时作业（十八） 1PB一5时，等号成立，所以Su=PA1·PB<号， 1.C解析由(2+3)十(-3-1)2=41>4，得点(2，一3)在圆 即△PAB面积的最大值是受， (x十3)2+(y一1)2=4外.故选C项. 2.A解析设圆心为(0，b),则圆的方程为x2+(y一b)2=1,又 圈 点(1,2)在圆上，所以1十(2-b)=1,解得6=2，故国的标准 14.解析(1)因为a.x十y+a+1=0变形为y=一a(.x十1)一1， 方程是x2+(y-2)2=1.故选A项. 所以直线1过定点，定点的坐标为（一1，一1）. 3.AD解析由题意可知圆心在直线x十y=0上，设圆心坐标 (2)因为1，l2不重合，且垂直于同一条直线，所以∥12， 为(a,一a),则(2-a)”十(1十a)2=5,解得a=0或a=1,所 所以au-)=2X1,所以a=-1 以所求圆的方程为(x一1)2+(y十1)2=5或x2+y=5.故选 a×3≠2×(a+1). AD项. (3)方案一：选条件①. 4.D解析圆的圆心为（一a,一b).因为直线经过第一，二、四 因为a=0,所以直线l2:2x一3y十3=0，其斜率为2，又直线1 象限，所以a<0,b>0,即一a>0,一<0，所以圈心位于第四 与：垂直，所以直线1的针率为一 象限.故选D项 5.B解析结合圆的性质可知，原点在圆上，且圆的半径r= 因为直线1过坐标原点，所以直线1的方程为y=一2工，即 √(2一0)+（一3-0）乎=√3.故所求圈的标准方程为(x一2)2+ x+2y=0. (y十3)2=13.故选B项. 方案二：选条件②. 6.解析与点(1,0)关于直线y=x对称的点为(0,1)，故间C的 由题意设直线1的方程为x十2y十c=0, 圆心为(0,1)，半径为1，其标准方程为x十(y一1)=1 令x=0,则y=一分，则-=2，即c=一4 俗累x+(y-1)=1 所以直线1的方程为x十2y一4=0. 7.解损由仁一y十2=0， 12.x+y-8=0 可得即国心为(2,4，又国过 方策三：选条件③. 原点，所以圆的半径r=√/(2-0)2+(4-0)严=25，故圆的 由题意设直线l的方程为x十2y十c=0, 标准方程是(x一2)2十(y一4)2=20. 令x=0,则y=- 乞，令y=0,则x=-c, 答率(x-2)2+(y-4)2=20 所以号×一×-=1，解得=士2， 8.解扬圆(x-1)+(y-1)2=1的圆心为C(1,1),则圆心到 直线工一y=2的距离山=川1一2L=2,故圆上的，点到 所以直线1的方程为x+2y士2=0. √+(-1) 15.C解析因为O,O都为五角星的中心，点，所以OO平分 直线x一y=2的距离的最大值为V2十1. 第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°知∠BAO= 答率2+1 18°，过O作x轴的平行线O,E,如下图，则∠OOE=a≈ 16°，所以直线AB的倾斜角为18°-16°=2°.故选C项. 9.解析设所求圆的圆心为(a,),标准方程为(r一a)严+(y一b)= 2(>0). ((2-a)2+(2-b)2=广， a=4, 则有(5-a)2十(3-b)2=产，解得b=1, (3-a)2+(-1-b)2=2, 2=5, 所以△ABC的外接圆的标准方程为(x一4)十(y一1)”=5. 10.解析由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3). (1)因为A(一1,2)，B(3,4), 16D醒翻由题可得△ABC的重心为G(告，一子），直线 4-2=1 所以直线AB的斜单k=3-(-2 AB的斜率为号=一日，所以AB边上的高的斜率为2， 因为直线l垂直于直线AB, 则AB边上的高的方程为y十3=2(x-0),即2x-y一3= 所以直线1的斜率k,=一1=一2. 0,直线AC的针单为-子，所以AC边上的高的针率 所以直线1的方程为y-3=一2(x一1)，即2x+y-5=0. 为-青，则AC边上的高的方粒为y一2=一青（一0，即 (2)因为A(-1,2),B(3.4), 所以AB引=√(3+1)+(4-2)F=√20=25， 4x+3y一6=0，联立 /2.x-y-3=0, 14x+3y-6=0, 可得垂心坐标为 所以以线段AB为直径的圆的半径r=号|AB=5. H号0则直线GH的斜率为g白 又圆心为C(1,3),所以所求圆的标准方程为(x一1)2十 -=2,则直线GH (y-3)2=5. 3 11.BC解析因为圆过点A(1,一1)与B(一1,1)，所以圆心在 ·250