江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023—2024学年第二学期期末试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z＝3＋i(i为虚数单位)，则复数的虚部是 A． B． i C． D．i 2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A．若m∥α，n，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥β，n∥β，且m，n，则α∥β D．若α⊥β，β＝m，m⊥n，则n⊥β 3．已知数据x1，x2，x3， …xn的平均数为10，方差为5，数据3x1－1，3x2－1，3x3－1， …3xn－1的平均数为，方差为s2，则 A．=10，s2=14 B．=9，s2=44 C．=29，s2=45 D．=29，s2=44 4．向量与不共线， ＝＋ k，＝ m－(k，m∈R)，若与共线，则k，m应满足 A．k＋m＝0 B．k-m＝0 C．km＋1＝0 D．km－1＝0 5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A． A与C互斥 B． A与C相互独立 C． B与D互斥 D． B与D相互独立 6． 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若2bcos C＝2a－c，A＝ ，b＝3，则实数a的值为 A． 6 B． 3 C． D． 7． 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD 为正方形，PA＝4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且 tanθ＝，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为 A． 26π B． 28π C． 34π D． 14π 8．已知sin2θ＝，θ∈(0，) ，若cos(－θ)＝mcos(＋θ)，则实数m的值 A．－3 B．3 C．2 D．－2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i＋3i2(i为虚数单位)，则下列结论正确的是 A． z的共轭复数为－3－i B．z·i=1－3i C． z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z＋2|＝ 10．已知△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是 A．若sin A＞sin B，则A＞B B．若a cos B=b cos A，则△ABC为等腰三角形 C．若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 D．若a＝1.5，b＝2，A＝30°的三角形有两解 11．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点，则 A．M，N，B，A1四点共面 B．若a＝2，则异面直线PD1与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若a＝1，则三棱锥P－MD1B的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ▲ . 13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝ ▲ . 14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且，则a＋c的最大值为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15． (13分)已知sin α＝－，α∈(π，)，sin(α+β)＝，β∈(，π)． （1）求tan2α的值； （2）求sinβ的值． 16． (15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。 （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在[90,100]的为A等级，[70，90）的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数. ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率。（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 17．(15分)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P．E为CD中点， （1）若·=32，求AP的长； （2）设||＝，||＝，cos∠BAC＝－， ＝x＋y，求xy的值． 18．(17分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，M在棱PD上且AM⊥侧面， PO⊥AD，垂足为O. （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）若平面AMB与直线PC交于点Q，证明：MQ//AB； （3）侧面PAD为等边三角形时，求二面角P－BD－A的平面角的正切值． 19．(17分)已知函数f(x)＝sin x＋m cos x （1）若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值． （2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长； （ii）求·+·+·的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学参考答案 一、选择题： 1－4： CBCC 5－8： CCCB 二、选择题： 9． ACD 10． ABD 11． AD 三、填空题： 12． 13． 1 14． 4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．(1)∵sinα＝－，α∈(π，) ∴cosα＝－＝－ 2分 ∴tanα＝＝ 4分 ∴tan2α＝＝ 6分 (2)∵α∈(π，)，β∈(，π) ∴α＋β∈(， ) 7分 ∴cos(α＋β)＝＝ 9分 ∴sinβ＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα 11分 ＝()×(－)－×(－)＝ 13分 16．(1)由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1 ∴m＝0.012 2分 易知[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4 5分 （2） ①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人 B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人 C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人 ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人 9分 ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 11分 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784 15分 17．(1)∵AP⊥BC ∴是在方向上的投影向量 2分 ∴·＝2＝||2 ＝32 ∴AP＝4 5分 法二：∵AP⊥BC ∴·＝||·||cos∠PAC 2分 =||·||=||2 ＝32 ∴AP＝4 5分 (2)在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC ＝2＋5－2×××(－)＝9， ∴BC＝3 cosB＝＝＝，B∈(0，π)， 所以B＝，AP＝AB sin B＝1，BP＝AB cos B＝1，PC＝BC－PB＝2 7分 以P为坐标原点，PC，PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图 易知P(0，0)，A(0，1)，C(2，0)，D(3，1)，因为E为CD中点， 所以E(2.5，0.5)， ＝(0，－1)，＝(2.5，－0.5)，＝(2，－1) 9分 ∵＝x＋y ∴(0，－1)＝x(2.5，－0.5)＋y(2，－1) 11分 13分 解得x＝－ ，y＝ 所以x y＝－ 15分 法二： (2)在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC ＝2＋5－2×××(－)＝9， ∴BC＝3 cosB＝＝＝，B∈(0，π)， 所以B＝，AP＝AB sin B＝1，BP＝AB cos B＝1，PC＝BC－PB＝2 7分 所以＝＋ 9分 又∵＝x＋y＝x(＋)＋ y＝ x(－)＋ y＝－＋(x＋y) 11分 由平面向量基本定理得： 13分 解得x＝－ ，y＝ 所以x y＝－ 15分 18．(1) 因为AM⊥侧面PCD，DC面PCD，所以DC⊥AM， 1分 又因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥AD， 又AM∩AD＝A， 所以CD⊥面PAD 3分 因为PO侧面PAD，所以PO⊥CD ， 因为PO⊥AD，且AD∩CD＝D， 所以PO⊥面ABCD 5分 (2) 因为底面ABCD为正方形，所以AB//CD 又因为AB平面PCD，CD平面PCD 所以AB//平面PCD 8分 又AB面ABQM，面ABQM∩平面PCD＝MQ 所以 MQ//AB 10分 (3) 由题△PAD为等边△，PO⊥AD， 故O为AD中点， 在线段BD上取点N，使得DN＝BD， 因为ABCD是正方形，所以ON//AC， 又AC⊥BD， 所以ON⊥BD， 12分 又因为PO⊥底面，BD 底面ABCD，所以PO⊥BD， 又PO，ON平面PON，PO∩ON＝O，所以BD⊥平面PON， 又PN平面PON，所以BD⊥PN， 所以∠PNO即为二面角P－BD－A的平面角， 14分 设∠PNO＝θ， 不妨设等边三角形PAD的边长为2， 则PO＝，ON＝AC＝， 所以在直角三角形PON中，tanθ＝＝ 17分 19．(1)因为f(x)图象关于直线x＝轴对称，所以f(0)＝f() 1分 所以sin 0＋mcos 0＝sin＋mcos 解得：m＝3 3分 经检验：此时f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋)满足f(＋x)＝f(－x) 即m＝3时f(x)图象关于直线x＝ 轴对称 4分 法二：因为f(x)图象关于直线x＝轴对称，所以f(＋x)＝f(－x)对任意x∈R都成立， 1分 即sin(＋x)＋mcos(＋x)＝ sin(－x)＋mcos(－x) 化简得：3sinx＝msinx对任意x∈R都成立， 3分 所以m＝3 4分 (2)由正弦定理得：sinA＋cosA＝， ∴sinAsinC＋cosAsinC＝sinB＋sinA＝sin(A＋C)＋sinA＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinA ∴sinAsinC ＝sinAcosC＋sinA ∵A∈(0，)，∴sinA≠0 ∴sinC＝cosC＋1， ∴ sinC－cosC＝2sin(C－)＝1，即sin(C－)＝ 而C∈(0，)，C－∈(－，)，∴C－＝，解得：C＝ 6分 因为CD是∠BCA的角平分线，所以∠DCA＝∠DCB＝30° ∴ab＝a＋b 8分 ∴(2ab＋1)(ab－1)＝0， ∴ab＝1，a＋b＝ 所以△ABC的周长＝a＋b＝c＝＋ 10分 （3） 12分 由正弦定理得：，，， 14分 ，，， ，，即 ， 即的取值范围为 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学参考答案 一、选择题： 1-4:CBCC 5-8: CCCB 二、选择题： 9.ACD10. ABD 11.AD 三、填空题： 12. 13.114.4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 B5.(1)'sine(. ,∴.c0s=- VI-sina-_2V5 5 …2分 ..tana= sina I cosa2 …4分 ∴.tan2a= 2tana 4 1-tan2a3 …6分 (2)rae(π， ,B∈G, a+Be受 …7分 “cosa+m=V-sna+A-号 …9分 ∴.sinf=sin(a+B-a) =sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina- 1分 =扇x-9×(-5震 13分 16.(1)由频率直方图知(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1 .m=0.012 -2分 易知[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]相应的频率分别为 0.04,0.22,0.30,028,0.12,0.04 ∴.100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45+0.22×55+0.30×65+0.28×75+0.12×85+0.04×95=68.4 一5分 (2)①由(1)知4等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04=4人 B等级的频率为(0.28+0.12)=0.4，B等级的人数为100×0.4=40人 C等级的频率为0.04+0.22+0.30)=0.56，C等级的人数为100×0.56=56人 40 二抽取25人中B等级中的人数为25×4+40+5610人 -9分 ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 41分 抽取三次都没有抽中B等级的概率=(1-0.4)=0.216 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率=1一0.216=0.784 15分 17.(1).AP⊥BC .P是AC在AP方向上的投影向量 -2分 Ap4C=Ap21A驴12=32 ∴AP=42 …5分 法二：：AP⊥BC :AAC=Ap1 AClcos∠PAC -2分 =AP1PP2=32 ∴AP=4V2 、 -5分 (2)在△ABC中，BC=AB2+AC-2 4BXACXcos.∠BAC =2+5-2x5x5x-=9. ∴.BC=3 cosB= BC+AB2-AC2+9-5_2 24BxBC=2X3XV5F号，B∈(0，. 所以B=年AP=4B sinB=1,BP=4B cos B=-1,PC=BC-PB=2 -7分 以P为坐标原点，PC,PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图 B D 易知P0,0),A0,1),C(2,0),D3,1),因为E为CD中点， 所以E(2.5,0.5), Ap=(0,-1),Ai=(2.5,-0.5),AC=(2,-1) 9分 :亦=x花+yA花 .0,-1)=x(2.5,-0.5)+2,-1)- 41分 ∫3+3=0 女y=-1 13分 解得x=号，y胃 所以y=9 5分 法二： (2)在△ABC中，BC=AB2+AC-2AB×ACXcos∠BAC =2+5-2xx5x-=9 ∴.BC=3 cosB=BC+4B-4C2+9-5=2 2ABX BC 2x3xv2 ，B∈0，. 所以B=年AP=AB sin B=-L,BP=AB cosB=-l,PC=BC-PB=2 -7分 所以市号+衣 9分 又：P=x花+y花=C+CE)+yC=4C-B)+4C=-B++)AG 1分 由平面向量基本定理得： 「 43分 (x+y=3 解得x=一 4 20 所以y= 15分 18.(1) p , D 0 因为AM⊥侧面PCD,DCc面PCD,所以DC⊥AM, 一1分 又因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥AD, 又AMOAD=A, 所以CD⊥面PAD …3分 因为PO侧面PAD,所以PO⊥CD, 因为POLAD,且ADnCD=D, 所以PO⊥面ABCD一 一5分 (2) 因为底面ABCD为正方形，所以AB/ICD 又因为ABa平面PCD,CDE平面PCD 所以AB/平面PCD -8分 又ABc面ABQM,面，1BOMO平面PCD=MQ 所以MOIlAB 10分 3) D B 由题△PAD为等边△，POLAD,故O为AD中点， 在线段BD上取点N,使得DN=BD, 因为ABCD是正方形，所以ONIAC, 又AC⊥BD,所以ON⊥BD, 12分 又因为PO⊥底面ABCD,BDC底面ABCD,所以PO⊥BD, 又PO,ON平面PON,POnON=O,所以BD⊥平面PON, 又PNc平面PON,所以BD⊥PN, 所以∠PNO即为二面角P一BD一A的平面角， -14分 设∠PNO=0, 不妨设等边三角形P4D的边长为2， 则0=5.oN-c=9 所以在直角三角形PON中，an0= ON-V6 -17分 19.()因为)图象关于直线x若轴对称，所以0)=⑤ 一1分 所以V5sin0+mcos0=V5sin+mcos号 解得：m=3 -3分 经检验：此时)=√3sinr+3cosr=2V3 Ssin(x+-孕满足店+x)=君-x) 即m=3时x)图象关于直线x-君轴对称 -4分 法二：因为)图象关于直线x=轴对称，所以店+x)=店-)对任意x∈R都成立， -1分 即√5sin爱+x)+mcos哈g+)=V5sinG-+meos(G-) 化简得：3sinr=msinx对任意r∈R都成立， -3分 所以m=3 4分 (2)油正弦定理得：V3sin4+cosA=sinB+sin4 sinC .'.V3sinAsinC+cosAsinC=sinB+sinA=sin(A+C)+sinA=sinAcosC+cosAsinC+sin4 .3sinAsinC =sindcosC+sinA :A∈(0,3，∴sinA≠0 ∴V3sinC=cosC+1, :V5sinc-cosc=2sinc-吾=l,即sin(C-8- 而c∈0.多.C-(-吾3C-8君解得：C-胃 -6分 因为CD是∠BCA的角平分线，所以∠DCA=∠DCB=30° 'S、HBc=S、ADc+SBDC 1 ∴.5 absin∠ACB=5 aCDsin∠DCB+-bCDsin∠DCA 2 5=+点6 -a+ 4 8 8 ∴V6ab=a+b 8分 .c2=a2+b2-2abcos C ∴.3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=6a2b2-3ab .(2ab+1)(ab-1)=0, ..ab=1,a+b=6 所以△4BC的周长=a+b=c=V5+V6 40分 (3).AB.BC=accos(-B)=-3acos B C.Ci-abeo(a-C)-abe 36 CA.AB=becos(π-A)=-√3 bcos A C+BC-Ci+Cacs =-5ad+e-8-b-6.+c2-d.-2+3-B-ab-+3-d.b+62分 2ac 2 2 2 2 2 ab5 由正弦定理得：sinA sin B -=2 ,∴.a=2sinA,b=2sinB, sin- 3 =2sin24+25sn4eos4=1-cos24+5sin24-=2sim24-8}1 -4分 0<A<π 2 0<B=2 <A<，<2-<5 3A 6 2’ 6 66 2 s24-}s1,2<2sn2a-}1s3,即abe可 [小 即AB.BC+BC.C乙+CAAB的取值范围为 7分1 2023—2024 学年第二学期期末试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括单项选择题（第 1 题~第 8 题）、多项选择题（第 9 题~第 11 题）、填空题（第 12 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 19 题）四部分。本试卷满分为 150 分，考试时间 为 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知复数 z＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数 z z－2i的虚部是 A． 4 5 B． 4 5i C． 3 5 D． 3 5i 2．已知 m，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A．若 m∥α，n α⊂ ，则 m∥n B．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n C．若 m∥β，n∥β，且 m α⊂ ，n α⊂ ，则 α∥β D．若 α⊥β，α  β＝m，m⊥n，则 n⊥β 3．已知数据 x1，x2，x3， …xn 的平均数为 10，方差为 5，数据 3x1－1，3x2－1，3x3－1， …3xn －1 的平均数为 —x，方差为 s2，则 A． —x =10，s2=14 B．—x =9，s2=44 C． —x =29，s2=45 D．—x =29，s2=44 4．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k→b ，→AC＝ m→a －→b (k，m∈R)，若→AB与→AC共线，则 k，m 应满足 A．k＋m＝0 B．k-m＝0 C．km＋1＝0 D．km－1＝0 5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件 A＝“第一枚向上点数为奇数”， 事件 B＝“第二枚向上点数为偶数”，事件 C＝“两枚骰子向上点数之和为 8”，事件 D＝ “两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A． A 与 C 互斥 B． A 与 C 相互独立 C． B 与 D 互斥 D． B 与 D 相互独立 2 6． 在△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c．若 2bcos C＝2a－c，A＝ π 4 ，b＝3，则实 数 a 的值为 A． 6 B． 3 C． 6 D． 3 7． 如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PA＝4，PC 与平面 ABCD 所成角的大小为 θ，且 tanθ＝ 2 2 3 ，则四棱锥 P－ABCD 的外接球表面积为 A． 26π B． 28π C． 34π D． 14π 8．已知 sin2θ＝ 4 5，θ∈(0， π 4) ，若 cos( π 4－θ)＝mcos( π 4＋θ)，则实数 m 的值 A．－3 B．3 C．2 D．－2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设复数 z ＝i＋3i2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A． z 的共轭复数为－3－i B．z·i=1－3i C． z 在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z＋2|＝ 2 10．已知△ABC 内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是 A．若 sin A＞sin B，则 A＞B B．若 a cos B=b cos A，则△ABC 为等腰三角形 C．若 a2＋b2＞c2，则△ABC 为锐角三角形 D．若 a＝1.5，b＝2，A＝30°的三角形有两解 11．如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 C1D1，C1C，A1A 的 中点，则 A．M，N，B，A1 四点共面 B．若 a＝2，则异面直线 PD1 与 MN 所成角的正弦值为 10 10 C．平面 PMN 截正方体所得截面为等腰梯形 D．若 a＝1，则三棱锥 P－MD1B 的体积为 1 24 3 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上． 12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的 6 个小球，其中 2 个白球，1 个红球和 3 个 黄球，从中 1 次随机摸出 2 个球，则恰有一球是黄球的概率是 ▲ . 13．已知 A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则 tan∠ACB＝ ▲ . 14．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，∠ABC=120°，BD 是△ABC 的中线， 且 1BD = ，则 a＋c 的最大值为 ▲ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15． (13 分)已知 sin α＝－ 5 5 ，α∈(π， 3π 2 )，sin(α+β)＝ 5 13，β∈( π 2 ，π)． （1）求 tan2α的值； （2）求 sinβ的值． 16．(15 分)某市高一年级数学期末考试，满分为 100 分，为做好分析评价工作，现从中随机抽 取 100 名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 40 和 100 之间，将数据按照[40,50)， [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 6 组，制成如图所示的频率直方图。 （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在[90,100]的为A等级，[70，90）的为B等级，其 他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中 抽取25人，求从B等级中抽取的人数. ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试 的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概 率。（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 4 17．(15 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BC，垂足为 P．E 为 CD 中点， （1）若→AP ·→AC=32，求 AP 的长； （2）设|→AB|＝ 2，|→AC|＝ 5，cos∠BAC＝－ 10 10 ， →AP＝x→AE＋y→AC，求 xy 的值． 18．(17分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，M在棱PD上且AM⊥侧面PCD， PO⊥AD，垂足为 O. （1）求证：PO⊥平面 ABCD； （2）若平面AMB与直线PC交于点Q，证明：MQ//AB； （3）侧面 PAD 为等边三角形时，求二面角 P－BD－A 的平面角θ的正切值． 19．(17 分)已知函数 f(x)＝ 3sin x＋m cos x （1）若函数 f(x) 的图象关于直线x= π 6轴对称，求实数m的值． （2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c= 3且当m=1时满足 f(A)= a＋b c （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD= 2 2 ，求△ABC的周长； （ii）求→AB ·→BC+→BC ·→CA+→CA ·→AB的取值范围.