第二章 直线和圆的方程 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第二章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 三 15 16 17 总分 18 19 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.若直线过点(1,2)，(4,2+√3)，则此直线的倾斜角0是 0 A.30 B.45 C.60 D.90° 2.过点(3，一6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是 A.2.x+y=0 B.x+y+3=0 C.x-y+3=0 [D.x+y十3=0或2.x+y=0 3.若直线l1:u.x十2y十6=0与直线l2:x十(a一1)y十a2-1=0平行，则a= A.2或-1 B.-1 C.2 n号 长 4.直线x十y1=0被圆(x十1)十y=3截得的弦长为 孤 A.② B.2 C.2② D.4 5.若点P(1,1)为圆x+y2一6.x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为 A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 : C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 6.已知直线x一2y十m=0(m>0)与直线x十y一3=0互相平行，且它们间的距离是5，则m十n=( A.0 B.1 C.-1 D.2 7.若动点A(x1y),B(2)分别在直线：x十y一7=0和2：x十y一5=0上移动，则线段AB的中点M 到原点的距离的最小值为 () 数 A.23 B.33 C.32 D.4√2 8.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2十y=一2y+3,直线1经过点(1,0)且与直线x-y+ 1=0垂直，若直线1与圆C交于A,B两点，则△OAB的面积为 () A.1 B.√2 C.2 D.2② 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线l的方程是a.x一y十b=0,l2的方程是b一y-a=0(ab≠0，a≠b),则下列各示意图中，不正确 带 的是 ·277 10.把圆x2+y十2x一4y一a2一2=0的半径减小一个单位长度正好与直线3x一4y一4=0相切，则实数a的 值为 () A.-3 B.3 C.0 D.1 11.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y一3)=1内切，则此圆的方程为 ( A.(.x-4)+(y-6)2=6 B.(x十4)+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36 选择题 题号 1 21 6 7 9 10 11 答题卡 答案 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若直线x十y十3=0在y轴上的截距为一3，且它的倾斜角是直线5.x一y=3√3的倾斜角的2倍，则m= 13.已知实数x,y满足y=√一x十4x一1，则之的取值范围是 14.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ（入≠1）的点的轨迹 是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 Oxy中，A(1,4),B(一2，一1)，点P是满足A=3的阿氏圆上的任一点，O为坐标原点，则该阿氏圆的标 准方程为 ,过点O的最短弦长为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知直线1的方程为3.x+4y一12=0，求满足下列条件的直线1'的方程. (1)过点(-1,3)，且与1平行： (2)过点（一1,3），且与1垂直. ·278* 16.(15分)已知圆C的圆心为(2,1).若圆C与圆O:x2十y2一3.x=0的公共弦所在直线过点(5，一2)，求圆 C的方程. 17.(15分)已知直线1过点P(3.2). (1)若直线I在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线1的方程： (2)若直线1与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,求直线（在两坐标轴上截距之和的最小值. ·279· 18.(17分)在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD(如图)，AB的长为9米，AD 的长为18米.在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器 人.电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某 点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失 败点. F (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）： (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S: (③)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段P上都能选脱时，求品的取值范围。 19.(17分)在平面直角坐标系zOy中，曲线y=x2十mx一2与x轴交于A.B两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题. (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由： (2)证明：过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 ·280·因为BC∥AD,所以AD⊥BC 9.ABC解析l的方程即y=a.x十b,斜率等于a,在y轴上的 又由(I)知BE⊥AD,且B,CnBE-B,BC,BEC平面 截距为b,2的方程即y=x一a,斜率等于b,在y轴上的裁 DCBA,所以AD⊥平面DCB,A,所以AD是平面 距为一a,所以4的斜率与4的藏距异号，故A,B项不正确， DCBA(即平面ABE)的一个法向量，且AD=(0,1,1). (的载距与的斜率同号，故C项不正确.故选AC项. 设AD,与n所成的角为0， 10.AB解析圆的方程化为(x+1)2+(y一2)2=a2+7,圆心为 n…Aò （-1,2),半径为V@+7,由题意得-1X3-4×2-4 4 √(-3)+4 则cos0= AD √a+7-1,解得a=土3.故选AB项. 11.CD解析设圈心坐标为(，b),因为半径长为6的间与x轴相 因为平面ABE与平面A1BE的夹角为30°， 切，所以b=6.再由√a+3=5,可以解得a=士4，故所求 3a 2 所以cos01=cos30°，即 受，解得a=2,即 3 圆的方程为(x士4)+(y一6)=36.故选CD项. 小+网 12.解粉依题意得，直线3.x一y=3√3的斜率为3，所以其领斜 AB的长为2 角为0，所以-身-3，一只=m120=一原，解得m 第二章综合测评 3,n=1. 答案31 .A爵霸利用斜率公式得=2生一2_5=m8,又0°< 4-1 3 13.解析y=√一x+4r-1可化为(x一2)+ 180°，所以倾斜角0为30°.故选A项. y=3(y≥0)，表示的图形是圆心为(2,0)， 2.D解析易知所求直线的斜率存在，当两裁距均为0时，设直 半径为3的半圆，令义=k,即y=kx,如图 线方程为y=kx,将点(3，一6)代入得=一2，此时直线方程为 2r十y=0:当两裁距均不为0时，设直线方程为二+义-1(a≠ 所示，当直线与半圆相切时，k取得最大值，最大值为，所 aa 0),将点(3，一6)代入得a=一-3，此时直线方程为x十y十3=0.故 以兰的取值范国是[03。 选D项 答率[03] 3B解团依题意得aa一D-2X1=0@, 12(d-1)-6(a-1D≠0②， 解①得，a=一1 4暖设，，依题意知腸-，脚哥 √/(x+2》+(y+1) 或a=2,因为a=一1适合不等式②，a=2不适合②，所以a= 3,化简得x十y十7x十7y一1=0所以该阿氏圆的标准方 一1.故选B项. 4B解析由题意得圆心为（一1,0），半径r=3,弦心距d一 程为(+)'+（叶子）=号.显然点0在围内：点0 -1+0=一2，所以所求弦长为2，P一d=2故选B项 +1平 到圆心（子一）的距高为受 ,所以过，点O的最短弦 5.D解析由题意知，圆的标准方程为(x一3)产十y=9,闻心为 A(3,0).因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又 长为2√()-()-2 AP的斜丰=昌胃=-子，所以直线N的针率为2所以茶 累(+)°+(+）'-号 2 MN所在直线的方程为y一1=2(x-1),即2x一y-1=0.故选 D项. 15.解折(1)由1与1平行，可设1的方程为3x十4y十m-0(m≠ 6.A解析由题意知所给两条直线平行，所以n=一2.由两条平 一12).将点（一1,3）代入上式得m=一9.故所求直线的方程 行直线间的距离公式，得d=m+3=m+3一5，解得 为3.x十4y一9=0. +(-2)5 (2)由1与1垂直，可设1的方程为4x-3y十n=0.将，点(-1,3) m=2或m=一8（舍去），所以十n=0.故选A项. 代入上式得m=13.故所求直线的方程为4x一3y十13=0. 7.C解而由题意知，点M的轨迹为平行于直线1，l且到l, 16.解扬设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(.x-2)+(y l距离相等的直线l,故其方程为x十y一6=0，所以M到原 1)=2,即x2十y一4x-2y十5=，圆C与圆O的方程相 点的距高的最小值为原，点到直线1的距离，即山=日=32.故 减得公共弦所在直线的方程为x+2y一5十=0，因为该直 线过点(5，一2)，所以户=4，则圆C的方程为(x一2)”+(y 选C项. 1)=4. 8.A解析由题意得，圆C的标准方程为x2+(y十1)尸=4，圆 心为(0，一1)，半径r=2.因为直线1经过点(1,0)且与直线 17.层团1)若直线不过原点，夜1的方程为若十六1，代入点 一y+1=0垂直，所以直线1的斜率为一1，方程为y一0= P(3,2),得a=4,直线方程为y=一2x十8：若直线过原点，则直 一(x一1)，即为2十y一1=0.因为圆心(0，一1)到直线1的距离 线方程为)y=号，所以直线方程为)y=-2十8或)号 2 d=10=1-1=2,所以孩长AB剧=2P-d=2√-2- 2 (2)设A(4,0),B(0,b),则1在两坐标轴上的栽距之和为 2√区，又因为坐标原点O到孩AB的距离为0+01=】 ② a+b则a+6(侣+号)u+b)=5+曾+碧≥5+2后，当 所以△0AB的面积为号×22X方=1.故选A项， a=3十√6，b=2十√6时，等号成立，故a十b的最小值为 5+2√6. ·291· 18.解析(1)由于AF=6,AE1= 3,|AF1=2|AE1,即机器人和 4.B服团抛物线=女的焦点为1,0)，到双尚线广-号 电子狗同时到达点A,故A是失 1的浙近线31一y=0的距离为XX-复.故选 败点. √/(w3)2+1 (2)建立以A点为坐标原点，AD B项 为x轴，AB为y轴的平面直角坐标系，如图所示，则E(0,3), 5.D解析由椭圆的定义知AF|+|BF|+|AB=4a=16, F(0,6). 设机器人的速度为U,则电子狗的速度为2，电子狗失败的 所以a=又一吾-号所以=25，所以后=f-2 区域内任意点Q(x,y) 4,所以精周的方程为后十号1故选D项 可得+(y-3)≤T+(y-62 2v 6.C解析直线y=kx+1过定点(0,1)，只需该，点落在椭间内 即x2+(y一2)≤4(0≤x≤2)， 即失败点组成的区城为以M(0,2)为圆心，2为半径的半國 或精圆上，所以号十品<1，解得m心1，且加5故选C项 及其内部， D霸不坊授双南线方载为号-苦=1(a>0b>0,尉可 所以电子药失戴的区城面积S-号×4m=2(平方来)， 令Fc,0),B0,),直线FB:a十cy-c=0与渐近线y= a (3)当线段FP与(2)中所得的圆相切时，m∠AFP-M丽 2 垂直，所以一么，么=-1，即忙=ac,所以c-a=ac,即e 合中∠AFP=30,所以1AP=6tan30°=25， 。一1=0，所以1或。1（会去.故选D项 因为电子狗在线段FP上都能递脱，所以AP∈(2√3,18]. 8.C解析A(0,a),设P(1,),则Q(,一)，则kn 又因为AD=18,所以品的取值花周是（停，门 ”-4,ka=二头-“，kw·k阳=当-a,二y4=f 1 19.解析(1)不能出现ACLBC的情况.理由如下： +-1制所以 4 设A(1,0),B(,0),则·满足十nx一2=0，所以 x=一2.又点C的坐标为(0,1)， 故AC的斜率与BC的斜率之积为1.二1-一 ，所以不 青=，所以国C的离心=后√=》 能出现AC⊥BC的情况， 故选C项. (2)证明：BC的中点坐标为（受，号）小，可得BC的中垂线方 9.BD 服颈当m>0时，原方程整理得千十士-1，若mm 1 程为y一号=(-号)》 同负或=，则方程不表示精圆，A项错误：当m<0时，】 由(1)可得十=一m,所以AB的中垂线方程为x= 与上异号，方程表示双曲线，B项正确：当m=0时，方程是 受联立 又x十m2一2=0，可得 y=1,当≤0时，方程无解，C项错误：无论，n为何值， 方程都不可能表示抛物线，D项正确.故选BD项， 10.ABD解析将A(一2,4)代入抛物线方程可得p=4,因此抛 2· 物线方程为=一8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为 所以过A,B,C三点的國的圆心坐标为 1 (一2,0)，故A,B项正确：易知AF⊥x轴，所以B(一2， y=- 2 -,故C项错误：又周为AB1=8,所以Sm=号X8X 2 2=8,故D项正确.故选ABD项. 11.BC解析由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M,N为焦 故圆在y轴上裁得的弦长为2√P-(受)=3， 点的精圆，其方程为千+号-1。由题高可知若直线为“精型 即过A,B,C三，点的圆在y轴上截得的弦长为定值 直线”，则直线与该椭国有变点，对于A项，联立 第三章综合测评 x-2y+6=0, 并整理得2y-9y+12=0,由△=(-9)”一 1.C解析抛物线的焦点到准线的距离为=4.故选C项。 2D照团方程化为标准方程为号-苦=1，所以d=3, 4×2×12=一15<0，得直线x一2y十6=0不是“椭型直 (y=x, 9.所以2=a十b=12,所以c=2√3，所以2=4√3.故选 线”：对于B项，联立 D项. +号=1.郎得=号所以直线 3C服霸设精国C的标准方程为行+若-1a>6>0》.候题 (2x-y+1=0, x一y=0是“椭型直线”：对于C项，联立 意得，2a=10,所以a=5,又c=3,所以B=a-2=16,即 +芳1，并 b=4,因此椭园的短轴长是2b=8.故选C项. 整理得19.x2十16.x一8=0，由△=16-4×19×（一8）>0， ·292·