第一章 空间向量与立体几何 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 题号 二 三 四 15 16 17 18 19 总分 得分 裂 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 年 1.在长方体ABCD-ABCD中，AB+BC+CC-D,C= 如 A.AD B.AC C.AD D.AB 2.若直线l的方向向量为a,平面a的法向量为μ，则能使l∥a的是 A.a=(1,0,0),4=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),4=(1,0,1) C.a=(0,2,1)4=(-1,0,1) D.a=(1,-1,3),4=(0,3,1) 3.在正方体ABCD-AB,CD中，底面ABCD的对角线交于点O,且OA=a,OB=b,则BC= ( A.-a-b B.a+b C.za-b D.2(a-b) 4.平面a的一个法向量为m=(1,2,0),平面3的一个法向量为n=(2,一1,0)，则平面a与平面3的位置关 孙 系是 ( A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 5若向量a=(1a,2).b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为8.则X ( A.2 B.-2 C-2或号 D2成-品 6.在正方体ABCD-AB,CD中，BB与平面ACD所成角的余弦值为 毁 A号 R号 c号 n停 7.在四棱锥P-ABCD中，AB=(4,一2,3)，AD=(一4,1,0)，AP=(-6,2,一8)，则这个四棱锥的高h= () 布 A.1 B.2 C.13 D.26 8.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG 为直角梯形，A,D,C,B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列说法正确的 是 () 关大管观 整9 A.该几何体是四棱台 B.该几何体是棱柱，平面ABCD是底面 C.EG⊥HC D.平面EFGH与平面ABCD的夹角为45 ·273+ 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中错误的是 A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD十DA=0 B.|a-|b=|a十b1是a,b共线的充要条件 C.若AB,CD共线，则AB∥CD D.对控间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+OC(其中x,y,∈R),则P,A, B,C四点共面 10.正方体ABCD-A,BCD的棱长为1，体对角线AC与BD,相交于点O,则 () A.AB·AC=1 B.AB,AC=√2 cA:Ai-号 D.BC.DA=1 11.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD,中，下列结论正确的是 A.BD∥平面CBD B.AC⊥BD C.AC⊥平面CB,D D.向量AD与CB1的夹角为60° 选择题 题号 234 5 6 10 11 答题卡 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知正方体ABCD-ABCD中，若点M是侧面BB,CC的中心，且AM=xAB+yAD+zAA:,则 y= 13.已知a=(-2,1,3),b=(一1,2,1)，a与b夹角的余弦值为：若a⊥(a一b),则1= 14.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德 体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体 的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段C上的 动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为 四，解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图所示，在平行六面体ABCD-AB,CD,中，O为AC的中点. 1)化简：A0号A店-号AD, (2)设E是棱DD,上的点，且D元-号DD,若Ed=xA店+yAD+:AA,试求实 数xy,之的值. ·274· 16.(15分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD= 4,M为CE的中点. (1)求证：BM∥平面ADEF: (2)求证：BC⊥平面BDE. 17.(15分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的 中点 (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离. ·275· 18.(17分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD, ∠ABD=F,AB=2AD, (1)求证：平面BDEF⊥平面ADE; (2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值. 19.(17分)如图，在长方体ABCD-AB,C1D中，AA=AD=1,E为CD的中点. (1)求证：BE⊥AD: (2)在棱AA上是否存在一点P,使得DP∥平面BAE?若存在，求AP的长：若不存在，说明理由； (3)若平面AB,E与平面ABE的夹角为30，求AB的长 ·276·综合测评答案 第一章综合测评 10.AC 解折AB·AC=AB.(AB+AD)=AB=1,故A项 正确：AB.AC=AB·(AB+AD+AA)=AB=1,故B 1.A解扬AB+BC+CC-D,C=AC+CD=AD.故选 A项. 项错误店心=亦·号Ad=司故C项正确：武， 2.D解析由l∥a,得a4,即a·u=0,只有D项符合.故选D项. DA-BC.(BB-BC)=-B--1,故D项错误.故选 3.A解析由题意可得BC=BC-BO+亡-B0-OA=-Oi AC项. OB--a一b.故选A项. IL.ABC解析以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x 轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系（图略），不妨设正方体的 4.C解析因为(1,2,0)·(2，一1,0)=0，所以两法向量垂直， 棱长为1.则有A(1.0,0),B(1,1.0),C(0,1,0),D(0,0,0) 从而两平面垂直.故选C项 5c图由随意好ma治后号，得 A(1.0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),D(00,1),所以AD (-1,0,0).BD-(-1,-1,0),AC-=(-1,1.1).CD=(0, X-2浅X-品故选C项 -1,1),BD,=(-1,-1,0),CB=(1,0,1).对于A项，由 BD=Bd知结论正确：对于B项，由AC·BD=0知结论 6.D解析设正方体的棱长为1，建立空 正确：对于C项，由AC·BD=0,AC·CB=0,且BD∩ 间直角坐标系如图，则D(0,0,0), B(1,1,0),B(1,1,1).易知平面 CB=B,知结论正确：对于D项，由cOs(AD,CB,)= ACD的一个法向量为DB,=(1,1, AD·CB ADIICB =-号，知结论不正确，故选AC项 1).又BB,=(0,0,1),则cos(DB BB)= DB·BB 12.解插因为AM=A店+BM-店+号=A店+号(B心+ DBBB 3X1 3 )=AB+2Ai+号A.所以x=1y== B与平而ACD所成角的余弦值为√-（受）-故 31 俗系 选D项. 13.解粉因为a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),所以cos(a,b)= 7.B解粉设平面ABCD的法向量为n=(x,y,),由题意可得 a·b=2+2+3-2I」 n·AB=0, /4r-2y+3=0·不坊令x=3,则y=12, a b 14XW6 6;由题意知a·(a-b)=0,即 n·AD=0,-4.x十y=0, d-7a·b=0,又d=14,a·b=7,所以14-7a=0,所以1=2 :-4,可得8,12,0故网发绿的高6=-管-2故 图g2 n 14.解析将半正多面体补成正方体， 选B项， 建立如图所示的空间直角坐标系. 8.D解析因为四边形ADEH和BCFG 为直角梯形，A,D,C,B为直角顶点，其 因为半正多面体的棱长为√2，故正 方体的棱长为2，所以A(2,1,0), 他四个面均为矩形，所以这个六面体是 四棱柱，平面ADEH和平面BCFG是底 F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2), 面，故A,B项错误：由题意可知DA, D1,2,2),AF=(0,1.1).BC DC,DE两两垂直，如图，以点D为坐标 (-1,1.0).设BE=ABC=(-A, 原点建立空间直角坐标系，则E(0,0,4),G(1,3,3),C(0,3, A,0),a∈[0,1门，则E(1-a,a,2),DE=(-λ，a-2,0). 0),H(1,0,3) 所以cos(A亦，D=A正.D正 A-2 E元=(1,3，-1D.Ci=(1,-3,3),则E元.Ci=1-9-3= AF1DEI2√+(A-2) 一11≠0，所以G,HC不垂直，故C项错误：根据题意可知 1 (λ-2) 2V(入-2)+2(x-2)+2 DEL平面ABCD,所以DE=(0,0,4)为平面ABCD的一个 1 法向量，Ei=(1,0,-1).HG=(0,3,0),设n=(x,y,)为平 2 2 西EGH的法向量，则有·前-T。=0, n.HG=3y=0, 则可取n=(1, ◆[-1.- 0.1D,则cos(n,Di=n…D正 n,D面4X2学，所以平西 =,4= 则cos(A市，Di)= 2√2r+2t+T EFGH与平面ABCD的夹角为45°，故D项正确.故选D项， 9.BCD解析显然A项正确：若a,b共线，则a十|b=|a十b 周为++1[合小所以亦.面[号号] 或|a十b=|a一b1|,故B项错误；若AB,CD共线，则直线 故直线E与直线F所战角的余弦值的取值克国为[合号] AB,CD可能重合，故C项错误：只有当x十y十=1时，P,A, B,C四点才共面，故D项错误.故选BCD项. 图[别 ·289· 15.服桥(1)A0-号A店-A茄-A0-之(A花+AD=Aò 从而BD+AD=AB图，故BD⊥AD, AO-AA 所以△ABD为直角三角形且∠ADB=受， (2)周为Eò-Aò-A花-号AB+AD-AD-号AA 因为DE⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以DE⊥BD 又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE. 合成-亦-号A, 因为BDC平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面ADE (2)由(1)可得，在Rt△ABD中， 2 所以=2y=一立=- ∠BAD-子，BD=AD, 16.正明因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面 设AD=1,则BD=ED=√3. ABCD=AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF,所以ED⊥平面 因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD, ABCD.以D为原点，DA,DC,DE分别为x轴，y轴，x轴的 所以以点D为坐标原点，DA,DB, 正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2, DE所在直线分别为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系， 0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2).F(2,0,2). 如图所示，则A(1,0,0),C(一1,3,0)，E(0,0,3),F(0, 53), 所以AE-(-1,03),AC-(-2,3,0). 设平面AEC的法向量为n=(x,y2), n·AE=0, 则 即 -x+3x=0, n…AC=0. -2x+3y=0, (1)因为M为EC的中点，所以M(0,2,1), 令x=1,得n=(W3,2,1)为平面AEC的一个法向量. 则BM=(-2,0,1),AD=(-2,0,0),AF=(0,0,2). 因为AF=(-1,33), 所以Bi=AD+号A京，故BM,AD.A亦共面。 所以cos(,A=n…A正 nAFI 14 又BM平面ADEF,所以BM∥平面ADEF. (2)BC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),DE=(0,0,2). 因为B武.D=一4+4=0，所以BC1DB. 所以直我AF与平面A比所成角的正孩值为平 19.解扬(1)证明：以A为原点，AB,AD,AA的方向分别为 又BC.DE=0,所以BCLDE. x轴，y轴、之轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 又DE门DB=D,所以BC⊥平面BDE 17.解析(1)以D为坐标原点，DA, DC,DP所在的直线分别为x轴、 y轴、：轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则D(0,0,0),P(0,0, 1D,E1,20）F(g1,0) 所以序=（0）正= 设AB=a,则A0,0,0),D0.1,0),D(01,D,E(号l.0), (1,2,-1)Di=(120: B(a,0,1D,故d=(01,l),BE=(-号1，-1)成=(a,0 设平面PEF的法向量为n=(x,y,), 1D4正-（号10） n…E亦=0， +y=0, 因为AD.BE=-号×0+1×1+(-1)×1=0， 则 所以 n.P克=0， 1 所以BE⊥AD: x+2y-=0. (2)假设在校AA1上存在一点P(0,0,)(0≤≤1)，使得 令x=2,则y=2,文=3， DP∥平面B,AE,此时DP-(0,-1,) 所以n=(2,2.3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平 设平面B,AE的法向量为n=(x,y,), 西PEF的距离为D,m=2+L二3五 a.x+2=0, n √4+4+917 (2)由(1)知A(1,0,0),平面PEF的一个法向量n=(2,2, 则n成aA正.得号十y=0, 2 3),所以A正=(0，号，0).所以点A到年面PEF的距高为 取.x=1,得平面BAE的一个法向量n=(1,-受，一a) Am_L= 要使DP∥平面BAE,只要n⊥D币，即n·D币=0，即号 n 1717 .由题意可得AC∥平面PEF,所以直 线AC到手面PEF的距离为。 a,=0,解释=号，又DP吃平面BAE,所以存在一点卫 18.解粉(1)证明：在△ABD中，∠ABD=若，AB=2AD, 使得DP/手面BAE,此时AP=子 (3)连接AD,BC,由ABCD-A,BCD为长方体及 由余弦定理，得BD=√3AD, AA=AD=1,得AD⊥AD. ·290· 因为BC∥AD,所以AD⊥BC 9.ABC解析l的方程即y=a.x十b,斜率等于a,在y轴上的 又由(I)知BE⊥AD,且B,CnBE-B,BC,BEC平面 截距为b,2的方程即y=x一a,斜率等于b,在y轴上的裁 DCBA,所以AD⊥平面DCB,A,所以AD是平面 距为一a,所以4的斜率与4的藏距异号，故A,B项不正确， DCBA(即平面ABE)的一个法向量，且AD=(0,1,1). (的载距与的斜率同号，故C项不正确.故选AC项. 设AD,与n所成的角为0， 10.AB解析圆的方程化为(x+1)2+(y一2)2=a2+7,圆心为 n…Aò （-1,2),半径为V@+7,由题意得-1X3-4×2-4 4 √(-3)+4 则cos0= AD √a+7-1,解得a=土3.故选AB项. 11.CD解析设圈心坐标为(，b),因为半径长为6的间与x轴相 因为平面ABE与平面A1BE的夹角为30°， 切，所以b=6.再由√a+3=5,可以解得a=士4，故所求 3a 2 所以cos01=cos30°，即 受，解得a=2,即 3 圆的方程为(x士4)+(y一6)=36.故选CD项. 小+网 12.解粉依题意得，直线3.x一y=3√3的斜率为3，所以其领斜 AB的长为2 角为0，所以-身-3，一只=m120=一原，解得m 第二章综合测评 3,n=1. 答案31 .A爵霸利用斜率公式得=2生一2_5=m8,又0°< 4-1 3 13.解析y=√一x+4r-1可化为(x一2)+ 180°，所以倾斜角0为30°.故选A项. y=3(y≥0)，表示的图形是圆心为(2,0)， 2.D解析易知所求直线的斜率存在，当两裁距均为0时，设直 半径为3的半圆，令义=k,即y=kx,如图 线方程为y=kx,将点(3，一6)代入得=一2，此时直线方程为 2r十y=0:当两裁距均不为0时，设直线方程为二+义-1(a≠ 所示，当直线与半圆相切时，k取得最大值，最大值为，所 aa 0),将点(3，一6)代入得a=一-3，此时直线方程为x十y十3=0.故 以兰的取值范国是[03。 选D项 答率[03] 3B解团依题意得aa一D-2X1=0@, 12(d-1)-6(a-1D≠0②， 解①得，a=一1 4暖设，，依题意知腸-，脚哥 √/(x+2》+(y+1) 或a=2,因为a=一1适合不等式②，a=2不适合②，所以a= 3,化简得x十y十7x十7y一1=0所以该阿氏圆的标准方 一1.故选B项. 4B解析由题意得圆心为（一1,0），半径r=3,弦心距d一 程为(+)'+（叶子）=号.显然点0在围内：点0 -1+0=一2，所以所求弦长为2，P一d=2故选B项 +1平 到圆心（子一）的距高为受 ,所以过，点O的最短弦 5.D解析由题意知，圆的标准方程为(x一3)产十y=9,闻心为 A(3,0).因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又 长为2√()-()-2 AP的斜丰=昌胃=-子，所以直线N的针率为2所以茶 累(+)°+(+）'-号 2 MN所在直线的方程为y一1=2(x-1),即2x一y-1=0.故选 D项. 15.解折(1)由1与1平行，可设1的方程为3x十4y十m-0(m≠ 6.A解析由题意知所给两条直线平行，所以n=一2.由两条平 一12).将点（一1,3）代入上式得m=一9.故所求直线的方程 行直线间的距离公式，得d=m+3=m+3一5，解得 为3.x十4y一9=0. +(-2)5 (2)由1与1垂直，可设1的方程为4x-3y十n=0.将，点(-1,3) m=2或m=一8（舍去），所以十n=0.故选A项. 代入上式得m=13.故所求直线的方程为4x一3y十13=0. 7.C解而由题意知，点M的轨迹为平行于直线1，l且到l, 16.解扬设圆C的半径长为r,则圆C的方程为(.x-2)+(y l距离相等的直线l,故其方程为x十y一6=0，所以M到原 1)=2,即x2十y一4x-2y十5=，圆C与圆O的方程相 点的距高的最小值为原，点到直线1的距离，即山=日=32.故 减得公共弦所在直线的方程为x+2y一5十=0，因为该直 线过点(5，一2)，所以户=4，则圆C的方程为(x一2)”+(y 选C项. 1)=4. 8.A解析由题意得，圆C的标准方程为x2+(y十1)尸=4，圆 心为(0，一1)，半径r=2.因为直线1经过点(1,0)且与直线 17.层团1)若直线不过原点，夜1的方程为若十六1，代入点 一y+1=0垂直，所以直线1的斜率为一1，方程为y一0= P(3,2),得a=4,直线方程为y=一2x十8：若直线过原点，则直 一(x一1)，即为2十y一1=0.因为圆心(0，一1)到直线1的距离 线方程为)y=号，所以直线方程为)y=-2十8或)号 2 d=10=1-1=2,所以孩长AB剧=2P-d=2√-2- 2 (2)设A(4,0),B(0,b),则1在两坐标轴上的栽距之和为 2√区，又因为坐标原点O到孩AB的距离为0+01=】 ② a+b则a+6(侣+号)u+b)=5+曾+碧≥5+2后，当 所以△0AB的面积为号×22X方=1.故选A项， a=3十√6，b=2十√6时，等号成立，故a十b的最小值为 5+2√6. ·291·