精品解析：江苏省连云港市东海、灌云和灌南三校联考2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

2023～2024学年第二学期第二次月考 高二数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B集合的解集， 再求其与集合A的交集即可得出结果. 【详解】， 又，. 故选：B 2. 在中，为的中点，在边上，与相交于点，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中线向量的线性表示，再把这三条向量通过已知的共线关系转换表示，再利用三点共线，就可得系数和为1，即可解出. 【详解】 由为的中点可知：， 又因为，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以，解得， 故选：B. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故选：C 4. 下面的散点图与相关系数r可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的从左向右是下降的，则，若是上升的，则，分析判断即可 【详解】对于AC，变量的散点图从左向右是下降的，所以，所以AC错误， 对于BD，变量的散点图从左向右是上升的，所以，所以B正确，D错误， 故选：B 5. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ） A. 200 B. 225 C. 250 D. 450 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有种. 故选：B 6. 2024年3月28日小米最新款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可. 【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”. 由于一共有10名体验者，而要从中选出4名，故. 而从10名体验者选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名体验者中任意选择2名， 故选取方式有种，从而. 故，A正确. 故选：A. 7. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为Dd，子二代的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可. 【详解】子二代基因配型有6种情况，分别记为事件, “子三代基因型为高茎”记为事件，则 事件 配型 , 故选：B 8. 正四面体ABCD棱长为6，，且，以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，，则的最小值为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则最大值为3 C. 若，则 D. 若，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例判断A和C；由复数的几何意义判断B和D． 【详解】对于A，令，满足，但不成立，故A错误； 对于B，设，， 因为，则复数的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为到的距离，其最大值为，故B正确； 对于C，令，则，， 满足，但，故C错误； 对于D，因为，设对应的点为， 若，则在复平面内对应点到和的距离相等，即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确； 故选：BD． 10. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当时，y约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B正确，D正确；将代入回归直线知C错误. 【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确； 对于B，，， ，解得：，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得面 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正方体的性质及线面平行的判定定理判断即可，对于B，求出的长，即可判断点的轨迹，对于CD，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可判断. 【详解】对于A，由正方体的性质可知，‖， 因为点M，N分别为棱的中点，所以‖， 所以‖， 因为平面，平面， 所以‖平面，所以A正确， 对于B，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以其轨迹的长为，所以B错误， 对于C，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则 ， 因为面，面， 所以，， 所以，解得，所以， 所以， 所以， 所以不存在点，使得面，所以C错误， 对于D，设平面的法向量为， 则，令，则， 因为， 所以点到平面的距离， 因为，所以，则令， 所以，其中， 所以点到平面距离的最大值为，所以D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查立体图形中点的轨迹问题，考查点到面的距离，解题的关键是根据题意求得，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答） 【答案】2022 【解析】 【分析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可． 【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即， 当时， ， 则的系数是， 故答案为：2022． 13. 在正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成角为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角范围即可. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，，，，，， 设，则， 则． 当时，取到最大值，此时； 当时，取到最小值，此时． 所以的取值范围为． 故答案为： 14. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为______. （附：若，则，，） 【答案】0.977 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的原则求解即可. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为,则, 故， ， 由已知得，且,, 因为， 所以,解得， 所以, 故答案为：0.977. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）已知，求使取得最大项时的值．（参考值：） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为，即可求出通项； （2）由已知可设，代入解不等式组求出即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）有， 所以， 设时，最大， 因为， 所以， 即， 解得，又， 所以， 所以使取得最大项时的值为4. 16. 一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶， （1）小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率； （2）若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）先求出任取2瓶的所有总数和抽取的2瓶饮料中无奖券的总数，再由古典概率求解即可； （2）求出的可能取值及其对应的概率，再由均值公式求出期望. 【小问1详解】 一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶， 从中任取2瓶，有种结果， 其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有种， 所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：； 【小问2详解】 设小明最终获得饮料瓶数为，则， 则， ， ， ， 所以的分布列为： . 17. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，在等腰梯形中，连接， 又，可以解得， 在三角形中，， 又平面平面，且平面平面， ，且平面， 平面． 又，且平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得，再利用面面垂直的性质定理得，最后根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先利用锥体体积公式得，再通过建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量即可求出面面角余弦值, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ． 以为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可得：． 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又， 由 令，解得平面的一个法向量为， ． 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 依题意可得抽到的个数字互不相同的概率； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 且（且）， 所以 ， 依题意的可能取值为，，， 且（且）， 所以 ； （ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为， 则，，，为期望（平均数）为， 所以， 消去得， 整理得，解得（负值已舍去）， 又，，所以. 19. 为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 （1）当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）性别与是否购买新能源汽车有关联；（ⅱ）76名 【解析】 【分析】（1）用分层抽样的方法抽取的购买传统燃油车的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知X的可能取值为1，2，3，求出对应的概率，得到X的分布列，进而求出； （2）（i）根据题中数据及所给公式计算，与参考数据比较即可得出结论； （ⅱ）根据基于小概率值的检验规则及的计算公式得到关于m的不等式，再根据m的取值范围以及实际意义即可得解． 【小问1详解】 当m=0时， 用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人. 由题意可知，X的可能取值为1，2，3. X的分布列如下表 X 1 2 3 . 【小问2详解】 （i）零假设为： 性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联. 当m=0时， ， ， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购 买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005. （ⅱ） 由题意可知， 整理得， ， 所以的最大值为4， 又， 至少有76名男性购买新能源汽车. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第二学期第二次月考 高二数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，为的中点，在边上，与相交于点，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下面的散点图与相关系数r可能正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ） A. 200 B. 225 C. 250 D. 450 6. 2024年3月28日小米最新款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为Dd，子二代的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为如果在子二代中任意选取2颗豌豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体ABCD棱长为6，，且，以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，，则的最小值为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，且，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则最大值为3 C. 若，则 D. 若，则在复平面对应的点在一条直线上 10. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A. 变量之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当时，y约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点 11. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则（ ） A. 平面 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得面 D. 点到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是___________.（用数字作答） 13. 在正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成角为，则的取值范围为______． 14. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为______. （附：若，则，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）已知，求使取得最大项时的值．（参考值：） 16. 一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶， （1）小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率； （2）若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望． 17. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 19. 为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 （1）当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $