第09讲 有理数的混合运算【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第09讲 有理数的混合运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握有理数的加减乘除及其乘方的混合运算； 2．灵活应用有理数的运算法则解决问题； 知识点一：有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 考点一：有理数四则混合运算 例1．计算 (1)； (2) (3)； (4)； 【变式1-1】计算： (1) (2) 【变式1-2】计算题 (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 考点二：程序流程图与有理数计算 例2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【变式2-1】（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【变式2-3】根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 考点三：算“24”点 例3. （2023春·上海·六年级专题练习）“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式 ． 【变式3-1】（2023春·上海·六年级专题练习）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）． 【变式3-2】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：    (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是　　． (2)从中取出张卡片，使这张卡片数字相除商最小，最小值是　　． (3)从中取出除以外的张卡片，将这个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出两种符合要求的运算式子 　． 【变式3-3】（2023春·上海·六年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 考点四：有理数错题复原问题 例4. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【变式4-1】在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【变式4-2】阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【变式4-3】（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 考点五：含乘方的有理数混合运算 例5. 计算： 【变式5-1】（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算： 【变式5-2】（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 考点六：新定义型有理数混合运算 例6. 计算规定，试计算：的值． 【变式6-1】洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 【变式6-2】（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【变式6-3】若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 一、单选题 1．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）下列计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 5．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·重庆沙坪坝·一模）计算： ． 7．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）规定：对任意有理数对，进行“”运算后得到一个有理数：，记作，例如．则 ． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 三、解答题 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 13．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况： 批次 一 二 三 四 五 每套价格相对于标准价格（元） 相对于标准销售数量（套） 15 10 (1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？ (2)这五批校服销售后，共盈利多少元？ 15．（2023七年级上·全国·专题练习）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 16．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 考点二：程序流程图与有理数计算 例2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【答案】0 【分析】按照程序流程图，把代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【变式2-1】（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 【答案】4 【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：输入的值为1时，由图可得：； 输入可得：； ∴输出的值应为4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键． 【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可． 【详解】解：把代入得：， 由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得： ，满足大于3的要求； 则输出结果是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 【变式2-3】根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 【答案】4 【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴输出y的值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义． 考点三：算“24”点 例3. （2023春·上海·六年级专题练习）“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式 ． 【答案】 【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘 除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运 算法则计算． 【变式3-1】（2023春·上海·六年级专题练习）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）． 【答案】 【分析】利用加、减、乘、除、乘方运算得出即可． 【详解】解：抽到的数是：，3，4，，列出的算式是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． 【变式3-2】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：    (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大，最大值是　　． (2)从中取出张卡片，使这张卡片数字相除商最小，最小值是　　． (3)从中取出除以外的张卡片，将这个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为，（注：每个数字只能用一次，如：），请另写出两种符合要求的运算式子 　． 【答案】(1)； (2)； (3)；． 【分析】()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）根据题意得：， 故最大值为； （2）， 故最小值为； （3）根据题意得：；， 故答案为：（）；（）；（）；． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-3】（2023春·上海·六年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1)-5和-3，15 (2)-5和+3， ； (3)(答案不唯一) 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）把分解因数，可得到，，，然后找到合适的卡片能够通过运算得到的因数即可． 【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘 则有， 积最大为， 选择卡片和卡片； 故答案为：-5和-3，15； （2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，， 商最小为，所选择卡片和卡片， 故答案为：-5和+3， ； （3） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 考点四：有理数错题复原问题 例4. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律； （2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案； （3）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配； （2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误， 故答案为：二； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律． 【变式4-1】在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算 (2)见解析 【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误； （2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误， 故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．． 【变式4-2】阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正 (2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知： 解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正， 故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正； （2） ， 建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 【变式4-3】（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值； （2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键． 考点五：含乘方的有理数混合运算 例5. 计算： 【答案】 【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式5-1】（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算： 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式5-3】（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解； （2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解； （3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解； （4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键． 考点六：新定义型有理数混合运算 例6. 计算规定，试计算：的值． 【答案】5 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-1】洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 【答案】8.5 【分析】根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：8.5． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【变式6-2】（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)8 (2)8 (3)不成立，见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得， ∴； （3）解：不成立，理由如下： ∵，， ∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 【变式6-3】若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)38 (2) 【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得； （2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）下列计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再化简多重符号可判断A，B，把减法运算化为加法运算，再计算可判断C，先计算乘方，再计算除法运算可判断D，从而可得答案．掌握“乘方运算的运算法则与含乘方运算的运算顺序”是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算各式，然后再进行比较即可解答． 【详解】A选项：，， ∴与不相等， 故A选项不符合题意； B选项：，， ∴与相等， 故B选项符合题意； C选项：∵， ∴与不相等， 故C选项不符合题意； D选项：∵，， ∴与不相等， 故D选项不符合题意． 故选：B 3．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 5．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题目中的例子，可令，则，可得，然后作差求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 故选：D 二、填空题 6．（2024·重庆沙坪坝·一模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和去绝对值，然后计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 7．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，，则的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．先根据题意得出，，，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：，互为倒数，，互为相反数，， ，，， ． 故答案为：11． 8．（2024七年级·全国·竞赛）规定：对任意有理数对，进行“”运算后得到一个有理数：，记作，例如．则 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题中运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：76． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算； 根据先求出点表示的数，再根据数轴特点分情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴点表示的数为或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或0． 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了数字类型规律探索，依次将数列列出来，并找到规律是解题关键．求出数列的前个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用除以，再根据余数可求的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， …… ∴每三个一次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 13．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)（1） (2)过程见解析 【分析】 本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可； 【详解】（1）解：第（1）步就出现错误； （2） ； 14．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况： 批次 一 二 三 四 五 每套价格相对于标准价格（元） 相对于标准销售数量（套） 15 10 (1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？ (2)这五批校服销售后，共盈利多少元？ 【答案】(1)第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元 (2)共盈利4995元 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出算式进行计算． （1）分别计算出每一批的销售额，再进行比较即可； （2）用总销售额减去总成本，即可解答． 【详解】（1）解：第一批：（元）， 第二批： （元）， 第三批：（元）， 第四批：（元）， 第五批：（元）， ∵， ∴第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元． （2）解： （元）， 答：共盈利4995元． 15．（2023七年级上·全国·专题练习）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，(注：每个数字只能用一次，如：)，请另写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出一个符合要求的式子即可． 【详解】（1）取，2，乘积最大值为， 故答案为： （2）取商的最小值为， 故答案为： （3）． 16．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】(1)2；1； (2)负 (3)0或（n为自然数） 【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义． （1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律； （3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0． 【详解】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$