第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习方案（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章 一元二次函数,方程和不等式 章末复习方案 知识网络体系构建 相等关系 等关系 方程 等式的性质 不等式 不等式的注质 元二次 不等武 基本不等式 次方程 二次函数 知识整合融会贯通 答案见P 探究一 不等式的性质及应用 (3)求取值范围 此类题型一般不单独以纯粹比较两式大小或 由af(x,y) b,c<g(x,y)<d,求F(x.y) 求取值范围的问题出现,而是以判断不等式恒 的取值范围,可利用待定系数法解决,即设 成立的形式,要求从整体上把握、运用不等式 F(xy)三nf(x.y)+ng(x:v)(或其他形式) 的性质,常见的考法有性质的简单应用、比较 通过恒等变形求得/,”的值,再利用不等式的 大小和求取值范围. 同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x,y) (1)应用不等式的性质解题的常见类型及方法 的取值范围. ①不等式的性质与充要条件、求取值范围、证 【真题1】(1)设a<0,-1 b<0,那么下列各式 明与推导不等式的综合问题,应注意观察从已 中正确的是 ) 知不等式到目标不等式的变化,它是如何变形 A.a>ab>ab B. ab?ab>a 的,这些变形是否符合不等式的性质 C. ab>aba ②恰当运用赋值法和淘汰法解答选择题、填 D. aba>ab 空题. -1<十1. (2)已知a,满足 则十3的 (2)比较大小 11<a+233. ①作差法的步骤:作差并变形一→判断差的符 取值范围是 号一→结论. A.1<a+37 B.-5+313 解题过程中只要判断差的符号(正负号),至于 C.-5+337 D. 1a+313 差的值究竟是什么无关紧要,通常将差化为完 探究二 利用基本不等式求最值 全平方式的形式或者多个因式积的形式.关键 步骤是变形,主要是利用通分、因式分解、配方 求最值时的常见情形 等,变形是为了更有利于判断符号 (1)若直接满足基本不等式的条件,即满足求 ②此外,还可应用中间量法或赋予特殊值的方 最值的三个前提条件“一正、二定、三相等”,则 法比较大小 直接应用基本不等式 .37. 数学 必修 第一册 课堂学案 (2)若不能直接满足基本不等式的条件,则需 探究四 解含有参数的一元二次不等式 要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1” 此类题一般以含参数的一元二次不等式、集合 的代换,对不等式进行分拆、组合、添加系数等 的形式出现,要注意二次项系数对不等式解的 方法使之能变成可用基本不等式的形式,创造 影响,在解含有参数的不等式时,勿将形如 使不等式中等号成立的条件,具体思路是:当 ar^*十bx十c0的不等式认为一定是一元二次 运用基本不等式a+b>2vab(a>0,b>0)求 不等式,要根据以下步骤求解 最小值时,若不具备积为定值的条件,可以通 (1)看(看二次项系数的符号).二次项若含有 过构造使其积为定值;当运用基本不等式的变 参数,应讨论其是等于0、小于0、还是大于0 形形式ah<(“){①}求最大值时,若不具备和 若二次项系数不为0,将不等式转化为二次项 系数为正的标准形式 为定值的条件,可以通过构造使其和为定值 【真题2】(1)已知0<x<1,则x(4-3x)的最大 (2)算(计算判别式,判断方程根的个数).判断 ) 值为 标准形式的一元二次不等式对应的方程的根 ( B.0 A.-1 的个数,讨论判别式与0的大小 D C. (3)写(写出解集).确定无根或有两个相等的 实数根时,可以直接写出解集,如果有两个不 (2)已知5x}y+y-1(x,yR),则+y 相等的实数根,但不能确定两根的大小,要讨 的最小值是 论两根的大小关系,从而确定解集形式 【真题4】(1)(参选)已知关于x的不等式ar一 红十20,关于此不等式的解集有下列结论 的最小值为 正确的是 ) 探究三 解一元二次不等式 A.不等式ax2-bx十2>0的解集可以是(xl 一元二次不等式的求解方法 x>2 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式 B. 不等式ar^*}-bx十2>0的解集可以是B 及二次函数的关系,共同确定出解集 C.不等式ar*-bx十2>0的解集可以是 (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分 D.不等式ar*-bx十2>0的解集可以是(xl 解因式或配方求解,当nn时,若(x一m)· -1r2 (r-n)0,则可得xn或xm;若(x-m)· (-r-20. (2)不等式组 的整数 (x-n) 0,则可得n xn.口诀为“大于取 2r*+(2+5)x+5 0 两边,小于取中间”。 解的集合为xx二一2),则实数的取值范 【真题3】(1)(2022·1月浙江改编)不等式^- 围为 4.x0的解集是 ( ) 探究五 由一元二次不等式恒成立求参数范围 A.r0x4 B.(x-4<x0 C.xlx4) 解决一元二次不等式在某个范围内恒成立问 D. xx0或x>4 题常用的方法 (2)(多选)下列不等式的解集为R的是 设f(x)=ar*十bx十c(a+0). ( A.9x2-6x+1>0 B-+2x-3<0 方法一 不等式解集法 ((x)>0在xax<③上恒成立x|< C.-3-4>0 x<BCA,A是/(x)>0的解集 .38. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 方法二 分离参数法 往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有 利用最值分离参数法来确定不等式f(x,入) 用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解 0(xCD,入为实参数)恒成立中参数取值范围 再利用解决实际问题的方法步骤求解. 的基本步骤: 【真题6】通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃 (1)将参数与变量分离,即化为f()二f。(x) 已进入欧洲市场.2023年,该种玻璃的售价为 (或f()f(x))的形式 25欧元/平方米,销售量为80万平方来 (2)求f(x)在xED时的最大(或最小)值 (1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米 (3)解不等式f.()[f(x)r(或f.) 销售量将减少2方平方来;要使销售收人不 [/(x)])得的取值范围 低干2000万欧元,试问:该种玻璃的售价量 适用题型:①参数与变量能分离;②函数最值 多提高到多少欧元/平方米? 易求. (2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将 方法三 函数最值法 在2024年对该种玻璃实施二次技术创新和 已知函数/(x)的取值范围为ynyn),则 营销策略改革:提高价格到n(n>25)欧元/ f(x)a恒成立→[/(x)]mna,即na f(x)<a恒成立→[f(x)]<a,即na 方法四 主参换位法 术创新费用,投入500万欧元作为固定宣传 含参数的不等式恒成立问题,若在分离参数时 费用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用,试 遇到需要讨论的麻烦,或者即使能容易分离出 问:该种玻璃的销售量》(单位:方平方米)至 参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可 少达到多少时,才可能使2024年的销售收入 考虑变换思维角度,即把变元与参数交换位 不低于2023年销售收入与2024年投入之 置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的 和?并求出此时的售价 取值范围列式求解 除以上常用的四种方法外,还可以用构建函数 法和数形结合法 【真题5】(1)若正实数x,y满足1+4=1,且 x十→aa-3a恒成立,则实数a的取值范 围为 ( A.a-1<4 B.al-1a<4) C. al-4<a1 D.a-4<a1 (2)(参选)不等式r+bx十c二2x十b对任意 xER恒成立,则下列关系正确的是 A.b-4c+40 B./<0 C.>1 D.bc>0 探究六 不等式的实际应用 考试中应用题的背景一般是人们关心的社会 热点话题,如物价、销售、税收、原材料等,题目 l示完成P.第二章综合测评 .39.4.解析要满足f(x)=x2+mx一1<0对于任意m≤x≤m十1 (2)因为一2是2x2+(2k+5).x+5k0的解， 恒成立，只需 f(m)<0, 2m-1<0, 所以2×(-2)2+(2k十5)×(-2)+5k=k-2<0. f(m+1)<0, (m+1)2+m(m+1)-1<0, 解得号<m<0故实m的取值范周一号<0 所以k长2，->-2>-号，所以27+(2+5)x+5 2 红+k2+5<0的解集为{-是<<-： 又2-x一2>0的解集为{xx<-1或x>2, 章末复习方案 所以一2<一k≤3，所以k的取值范围为k一3≤k<2. 答案(1)BD(2){k-3≤k<2 [真题1门解析(1)因为-1<b<0,&<0,所以ab>0,b<0<1, 2<1.所以ab-a6=ab(1-b)>0,u6-a=a(F-1)>0. [直题5时服预(1D由题意知x+Y-(+子)（子+号）=2叶 所以aba>a.故选C项. (2)设a十33=m(a十B)十n(a十23)=(m十n)a+(m十2n)a +若周为>0>0，所以号>0>0，所以号+ y 比技o月的系丝：释2从后解当=-1=2分 ≥2√停音=2，当具仅当号-言脚4=即1=2， 别由123”得-1≤一a1,2≤2+4<6，两 y=8时，等号成立，所以x+￥≥4，所以。-3a<4,解得 式相加得1≤a十397.故a十33的取值范国是1≤a+33 一1<4<4.故选B项. 7.故选A项. (2)将x十bx十c≥2.x十b整理为x十(b-2)x十c一b>0.因 含累(1)C(2)A 为x2+r十c>≥2x十b对任意x∈R恒成立，所以△≤0，即 [真题2]解析(1)因为0<x<1,所以4一3x>0,则x(4 (-2)2-4(一b)≤0，整理得-4c十4≤0，故A项正确： 3)=号×3x×4-3x)<g×(t号)广=青当且 令b=1.c=2.则4=(1-2)-4×(2-1)=1-4=-3<0， 2 仅当3=4-3，即=号时，等号成立，故x4-3)的最 满足题意，故B项错误：由A项知4>十4，即>气十 大值为子故选C项， 1≥1，故C项正痛：b十≥6+行+1=（合+1）≥0，故D 项正确，故选ACD项 (2)由题意知≠0.由52y+y=1,可得2-，所以 答率(1)B(2)ACD 5y +-景+r=-(+4好)≥× [真题6]解析(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平 5y2 方米， 由题知[80一2(x-25)]x≥2000 2√宁×4=合当且仅当=4，即y=士号时，等号 即x-65x+1000≤0，解得25≤t≤40， 成立，所以十y的最小值是 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米。 (8因为>0,6>0,所以+是+≥2V日·是+ (2)由题意得m>25×80+50+2m+号(m-600,垫理 得m≥l30+2加+号i, 号+2会·6=2，当且仅当日是且号=6，即a 两边同徐以m得n≥L500+ 3m+2, b=反时，等号成立，所以日+层+6的最小值为22 又1500+5 圈1)C(2)号(3)22 3m+222V 1500. m 3m+2-102. [真题3]解析(1)x2一4x<0→x(x-4)<0,解得0<x<4.故 当且仅当00-号m,中m=30>25时，等号成主 选A项. 所以≥102，故该种玻璃的销售量n(单位：万平方米)至少 (2)不等式9.x2-6.x+1≥0，可化为(3x-1)≥0，不等式的 达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不低于 解集为R,A项正确：一x十2.x-3<0变形为2-2x+3> 2023年销售收入与2024年投入之和，此时的售价为30欧 0,即(x一1)十2>0，不等式的解集为R,B项正确：2-3x 元/平方米. 4>0的解集为{xx>4或x<一1}，解集不是R,C项错误： c+中≥，国为+1≥1，不等式两边同乘以+1，即 第三章函数的概念与性质 x十x+1≥x2十1，即x≥0，故不等式的解集为R,D项正 3.1函数的概念及其表示 确.故选ABD项. 答率(1)A(2)ABD 3.1.1函数的概念 [真题4]解析(1)A项，当a=0时，有<2，无论b取何值，不能 使不等式的解集为xx>2,错误：B项，当0>0： 必备知识·基础落实 4=F-8a<0时 要点一 不等式的解集是R,正确：C项，令f(r)=ax2-r+2,显然 1,非空实数集任意唯一确定从集合A到集合B f(0)=2>0,故不等式的解集不可能是，错误：D项，当a= y=f（x),x∈A b=-1时.x-x-2=(x-2)(x+1)<0,解集是{x|-1< 2.x的取值范围A函数值(f(x)x∈A}子集 <2,正确.故选BD项. [思考]腿示(1)确定，一一对应， ·295·