第四章 指数函数与对数函数 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 15 细 17 19 总分 18 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.2+g”的值为 驶 A.12√2 B.92 地 C.8+② D.9+2 2.函数f(x)=log(x2十2x一3)的定义域是 A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-o∞，-3]U[1,+∞) D.(-c∞.-3)U(1,+∞) 3.函数y=log(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则点A的坐标是 A.(o.) a(号o 吹 长 C.(1,0) D.(0,1) 4,某地有一片长期被污染的水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼类数量可以采 用阻滞增长模型x(t)= M 进行预测，其中x(t)为1年后的鱼类数量，r为自然增长率， 1+(兴e M(单位：万条)为饱和量，x(单位：万条)为初始值.已知2023年底该水域的鱼类数量为20万条，以 此为初始值，若自然增长率为0.14，饱和量为1600万条，那么预计2033年底该水域的鱼类数量约为 (参考数据：e≈4) () 指 A.68万条 B.72万条 拟 C.77万条 D.83万条 log:,x>0, 5.已知f(x) 2',x≤0. 则满足a)<号的实数a的取值范围是 和 A.(0,2) B.(-©，-1)U(0,2) C.(-o∞，-1) D.(-o∞，-1)U(0w2) 6.下列函数中，在[1,2]内一定有零点的是 A.f(x)=3.x2-4x+5 B.f(x)=x-5.x-5 C.f(x)=In x-3x-6 D.f(x)=e+3.x-6 7.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)一1没有零点的是 ·401· 8.若函数f(.x)=2a.x2-x十1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 () A.(0,+∞) B.(-∞，0) C.(-1,0] D.[0,1] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数：①y=lgx:②y=2;③y=x:④y=x一1，其中只有一个零点的函数是 A.① B.② C.③ D.④ (3a-1)x+4a,x<1, 10.已知f(x)= 是R上的减函数，那么a的取值可能是 logx,x≥1 A号 B局 c号 D.1 e,x0, 11.已知函数f(x) g(x)=f(x)十x十a.若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是 In x.x>>0. A.-3 B.-2 C.-1 D.1 选择题 题号 2 3 9 10 11 答题卡 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知指数函数y=是减函数，若m=a,n=2,p=log2,则1，n,p的大小关系是 13.函数y=log4(x2-2.x)的单调递减区间是 x2-2,x0, 14.函数f(x)= 的零点个数是 2x-6+In x,x>0 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知函数f(x)=log(1-x)+log(x十3)(0<a<1), (1)求函数f(x)的定义域： (2)求函数f(x)的零点； (3)若函数f(x)的最小值为一4，求a的值. ·402· 1615分)已知定义城为取的函数/)=牛是奇两数 (1)求实数b的值： (2)判断并证明函数f(x)的单调性： (3)求函数f(x)在x∈[0,1上的值域. 17.(15分)生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时 的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用t(单位：月)表示.甲经过一段时间的监测得到一组 如下表的数据： t/月 0 2 8 16 /吨 2.0 4.0 6.0 7.0 为了研究该生物总量心与时间t的关系，甲通过研究发现可以用以下两种函数模型来表达心与1的 变化关系：①=cNi+d;②=blog(t+1)十(a>0且a≠1). (1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式： (2)根据第3,4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型：甲发现总量e由w。翻一 番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量：再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数 据：lg3≈0.48，lg17≈1.23) ·403· 18.(17分)已知函数f(x)=1og2(4+1)十k.x(k∈R)是偶函数. (1)求k的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求最值. 19.(17分)设函数f(x)=x2+a.x十b(a,b∈R). (1)当6=+1时，求函数(x)在[-1,1门止的最小值ga)的表达式： (2)已知函数f(x)在[一1,1]上存在零点，且0≤b一2a≤1，求b的取值范围. ·404·③令fm)=1,且a0,m∈[-号，2]，得a 3a-10, 10.AB ☒罚由题意得3-一1十4>0，解得< 多士区，经验证知a=一》2 0a<1, 综上所述，a= 3,结合选项可知A,B项符合题意.故选 AB项. 第四章综合测评 11.CD解析令h(x)=-x一a,则g(x)=fx)一 h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x) 1.B解析原式=2X2g9=√2X9=9√2.故选 的图象，如图所示。 B项. 2.D解析由题意得x2十2x一3>0，解得x>1 y=f(x) 或x<一3，所以函数的定义域为（一∞，一3）U (1,十∞).故选D项. =) 3.C解析当3.x-2=1,即x=1时，y=log1= 若g(x)存在2个零，点，则y=f(x)的图象与 0,即点A的坐标是(1,0).故选C项. y=h(x)的图象有2个交点，平移y=h(x)的 4.C解析根据题中所给函数模型，代入有关数 图象，可知当直线y=一x一a在y=一x十1 据，以2023年的数量为初始值，所以x(10)= 下方或与y=一x十1重合，即a≥一1时，有2 1600 1600=6400≈77， 个交点，故a的取值范围为[一1，十∞)，结合 1+0-1e 1河 83 选项可知C,D项符合题意.故选CD项. 12.解析因为指数函数y=心是减函数，所以0< 所以预计2033年底该水域的鱼类数量约为77 a<1.由此可知0m1,1<n<2,p<0,故n> 万条.故选C项。 mp. 5.D解析当a>0时，f(a)<7,即1og,a<2 答案n>m>p 13.解析由x2一2x>0,知函数的定义域为（一o∞，0）U 所以0<a<2;当a≤0时，f(a)<2,即2< 2,+o∞)，因为y=lg4(x2-2x)=l0g[x-1P-1, ,所以a<-1.综上知，0<a<2或a<-1 所以由复合函数的单调性得函数y=log(x2一 2x)的单调递减区间是(2，十∞). 故选D项 答索(2，十o∞) 6.D解析对于A,B,C项，均有函数f1)f(2)> 14解析当≤0时，f(x)=x2-2,令x2-2=0,得 0,只有D项中f1)f(2)<0.故选D项. x=√2（舍）或x=一√2，即在区间（一∞，0]上，函 7.C解析把y=f(x)的图象向下平移1个单位 数只有一个零，点：当x>0时，f(x)=2x一6十 后，只有C项中的图象与x轴无交点.故选 lnx,令2x一6十lnx=0,得lnx=6一2x.作出函 C项. 数y=nx与y=6-2x在区间(0，十∞)上的图 8.B解析由题意得f(0)=1,f(1)=2a,由函数 象（图略），则两函数图象只有一个交点，即在区 零点存在定理得f(0)f(1)=2a<0,所以a< 间(0，十∞)上，函数只有一个零点.综上可知，函 0.故选B项. 数f(x)的零，点个数是2. 9.AC解析分别作出这四个函数的图象（图 答案2 略)，其中①和③的图象与x轴只有一个公共 1-x>0, 15.解析(1)要使函数有意义，则有 解得 点，即只有一个零点.故选AC项. x+30, ·415· -3<x<1,所以函数的定义域为（一3,1）. db=2, (2)函数f(x)=log(1-x)(x十3)=log(-x2 解得 所以①=V2t十2. c=√2， 2x+3), 2=0, 令f(x)=0,得-x2-2x+3=1, 将数据代入解析式②得 4=blog,3+u, 即x2+2.x-2=0,解得x=-1十5或x= =2, 解得 -1-√5. b=2logsa, 因为-1+5，-1-√3∈(-3,1)， 所以②e=2 logsalog.(t+1)+2=2loga· 所以f(x)的零点是一1十√5和一1一√3. 1og(1+1D+2=21og(t+1)+2. logsa (3)函数f(x)=log,(1一x)(x十3)=log(-x2 2.x+3)=1og[-(x+1)2+4], (2)当t=8时，模型①w=4十2=6，模型②= 2log9+2=6: 因为-3x<1,所以0<-(x十1)2+4≤4. 因为0<a<1,所以log[-(x十1)2+4]≥ 当t=16时，模型①=4√2+2≈7.66，模型 log4,即f(x)m=log4. ②w=210g,17+2=24g}7+2≈7.13： Ig 3 由1og4=-4,得at=4,所以a=4+= 2 所以选模型②： 16.解析(1)因为f(x)为R上的奇函数， 当总量再翻一番时有8=2log3(t十1)十2， 所以0)=0，北时有了0)=一=0，解 解得t=26, 即再经过26一2=24个月时，总量：能再翻 得b=1. 一春 (2)f(x)为减函数，证明如下： 18.解析(1)因为f(x)=log(4+1)+kx(k∈R) 1知0=2}1+2异 是偶函数， 所以f(-x)=log2(4+1)-kx=f(x)对任 任取U,x2∈R,且x1<2, 则f(x2)一f(x1) 意x∈R恒成立，即log(4+1)-kx= =2(-1+2）-(-1+2是) l1og2(4+1)+k.x, 所以16g2中基-r=l6g:（+1D+k 即log2(4+1)-2x-kx=log2(4+1)+kx, 2-2 所以一2一k=k,即k=一1. =(2%+10(2+1)' (2)由(1)可知f(x)=log2(4+1)-x, 因为x1<x2,所以2一24<0，又2+1>0， 24+1>0, 所以)=log=log(2+2》 所以f(x2)一f(x1)<0,即f(x2)<f(), 所以f(x)为减函数. 设u=2+,当x≥0时，2≥1， (3)由(2)知f(x)为减函数，所以当x∈[0,1] 可以证明4=1十(2=≥1)为增函数， 时，f)m=f0)=0,fx)=f)=-合 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增.由偶函数 故fx)的值线为[一言0] 的性质可得f(x)在（一∞，0）上单调递减，可 知当x=0时，f(x)mim=f(0)=1,无最大值. 2=du, 17.解析(1)将数据代入解析式①得 4=c2+dw, 19.爵团1)当6=+1时，f(x)=(x+号)广十 ·416 1,故对称轴为直线2=一号 所以只需把y=sin2x的图象上所有的，点向左 当a≤-2时，ga)=f1)=年+a+2: 平行移动个单位长度，故选A项. 5.D 解析m2a=2 sin ac=21ana=6.故选 当-2<a≤2时，g(a)=f(-号)=1： cos a cos a D项. 当。>2时，g@)=f(-1)=4-a+2. 6.A解析a=sin(17°+45°)=sin62°，b=cos26°= sin64°，c=sin60°.因为函数y=sinx在(0°， 4+a+2,a≤-2， 90)上单调递增，所以c<a<b.故选A项。 综上，g(a)= 1,-2<a≤2， 7.A 解析因为v3sinx+cosx=2sin(x+看)∈ a -a十2，a>2. [-2,2],所以2a-3∈[-2,2]，即a∈ (2)依题意，设s,t为方程∫(x)=0的解，且 [合引故选A项 s十t=一a, 一1≤≤1，则 因为0≤b-2a≤1， 8.C解因为fx)为奇函数，所以f0)=Asin st=b. 0,所以9=kπ，k∈Z,又|g<π，所以k=0,p= 所以0心+2s+01,周光告≤<}+名 0,因为f(x)的最小正周期为元，所以T=2红 （-1.当01时高≤<器， 元，所以w=2,所以g)=Asn号or=Asnx,又 由0<1可得-音，器<0和-}< gF）=2,所以A=2,所以fx)=2sin2,所以 号<9-45，所以-一景<b9-45当 )一巨故选C项， 10,等高女-10 9.ACD 服团f)=os艺(3sn草+os受) 可得-2≤，号<0和-3<号<0，所以 -3≤<0.故b的取值范围是[-3,9-4V5] 爱<r+吾<2kx+受，k∈乙，可得2km-< 第五章综合测评 <2kx+5,k∈乙，当k=0时，函数f(x)在 1.D 解析sin405°+cos(-270)=sin45°+ [-,]上单调递增，又(-0)[-， c0s90°=2 故选D项 2.B解析由题意可知sina>0,cosa<0,所以 ],(0,看)[-，5]，所以C,D项满足题 角α是第二象限角.故选B项. 意：当=1时，函教f)在[警，]上单调递 3.D解析由题意可设扇形半径为r,圆心角为a 增，所以A项满足题意.故选ACD项。 2r+ar=6, r=1,r=2, 10.ACD解析设人的智力曲线、情绪曲线和体力 (0a<2r),则 解得。4或。 曲线的解析式分别用f(x)=sinx,g(x) 故选D项 血c,A)=血o表示，所以a一第 4.A解团因为y=sin(2x+1)=in2(x+号)， 祭-青m答对于A项，第西天时，835) ·417·