第二章 一元二次函数、方程和不等式 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 三 15 16 17 18 总分 19 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.若a<1,b>1,则下列命题中正确的是 驶 如 A B> C.a D.ab<a+b-1 2.已知关于x的不等式ar2+bx-2>0的解集是{x>号或x<-,则ab A.24 B.6 C.14 D.-14 长 3.若x>1>y,则下列不等式不成立的是 逊 A.x-1>1-y B.x-1>y-1 C.r-y>1-y D.I-x>y-x 4.已知a十b>0,b<0,则a,b一b的大小关系为 A.a>b>-b B.a>-b>b C.b>a>-b D.b>-b>a 指 5.不等式x2一a.x-12a2<0(其中a<0)的解集为 A.{.x|-3a<x<4a} B.r|4a<r<-3a) 妆 C.{x-3<x<4} D.r 2a<x<6a) 6.设A=”+m(m,n为互不相等的正实数)，B=一x2+4x一2，则A与B的大小关系是 m n A.AB B.AB : C.A<B D.A≤B 标 7.当x∈R时，不等式kx2一kx十1>0恒成立，则k满足的条件是 A.k>0 B.k>≥0 置 C.0≤k<4 D.0k<4 8已知a>0,>0,则。+方+2vab的最小值是 a A.2 B.22 C.4 D.5 ·393+ 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中正确的是 () A.a-d>b-c B骨>名 C.a+d>b+c D.ac-bd 10.下列各式中，最小值是2的是 ( Ax+2>0) B+5 √x2+4 c端 D.2-3x-4 11.已知关于x的不等式a.x十bx十c>0的解集为{xx<一1或x>3},则下列结论正确的是 A.a>0 B.a+b+c>0 C.c>0 D.cx2-bx+a<0的解集是(-∞，)U1,+o∞) 选择题 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答题卡 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知实数a,b,c满足a十b十c=0,a2十十c2=1,则a的最大值是 1B,若对任意的r>0,2十3x+<a恒成立，则实数a的取值范围是 14.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比 六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等， 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(3分)当>3时，求函数y一2二的最小值 ·394· 16,15分已知。>0.6>0c>0,且a+6+c=1.求证：日+名+≥9 17.(15分)若不等式(1-a)x2-4x十6>0的解集是{x|-3<x<1. (1)解不等式2.x+(2一a)x-a>0: (2)b为何值时，a.x2十bx+3≥0的解集为R. ·395· 18.(17分)在国家创新驱动战略下，将北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台。 1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分 地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资：元建成一大型设 备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元(：，b是常数)，用1表示设备使用 的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y,即y=(设备单价十设备维修和消耗费用)÷设备使用 的年数 (1)求y关于1的函数关系式： (2)当a=112500,b=1000时，求这种设备的最佳更新年限. 19.(17分)已知二次函数f(x)=a.x2十br十c的图象过点（一1,0），问是否存在常数a,b,c,使不等式 ≤fx)≤1十r)对一切x∈R都成立.若存在，求出a,b.c的值：若不存在，请说明理由. ·396·(2)由(1)知，A∩B={2},AUB={1,2,3, (2)因为AUB=A,所以B二A. 4},所以Cu(AUB)={0,5,6. 对于方程x2十2(a十1)x十a2一5=0， 16.解析(1)由x一a<0,得x<a.当a=2时，x< ①当△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a十3)<0， 2,即p为真命题时，x<2;9为真命题时，1≤ 即a<一3时，B=⑦，满足条件： x≤3.所以p与q均为真命题时，1≤x<2.所 ②当△=0，即a=一3时，B={2},满足条件； 以实数x的取值范围为{x1≤x<2. ③当△>0，即a>-3时，只有当B=A={1, (2)设A={xx∈p(x)}={x|x<a},B={x 2}时才能满足条件，不可能. x∈g(x)}={x1≤r≤3}. 综上可知，实数a的取值范围是{aa≤一3}. 又p是q的必要不充分条件，所以B至A,所 第二章综合测评 以a>3. 所以实数a的取值范围为{aa>3. 1.D解析当a=一2，b=2时，A,B,C项均错误； 1.匪明充分性：周为0<m<号，所以方程m 由a<1,b>1,得a-1<0,b-1>0,所以(a 1)(b-1)<0,即ab<a十b-1.故选D项. 2x十3=0的判别式△=4-12m>0,且3> 2.A 服团由题意知一·号是方程a㎡十b一2 0,所以方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不 相等的实根 a 0的两根，故有 所以a=12, 必要性：若方程x2一2x十3=0有两个同号 且不相等的实根，设为x1,x2, b=2,所以ab=24.故选A项. △=4-12m>0 则有 解得0m<学 3.A解析用特殊值法检验，令x=2,y=一1，则 m x-1=2-1=1,1-y=1-(-1)=2,显然1 综上，方程m.x2一2x十3=0有两个同号且不 2,故A项不成立.故选A项. 相等的实根的充要条件是0m<3 4.B解析因为a十b>0,所以a>一b,又因为b< 0,所以-b>0.所以a>-b>0>b,即a>-b> 18.解析(1)若a=一2，则A={xx≤1}， b.故选B项. 因为B={x|x<-1或x>5}, 5.B解析方程2-ax一12d=0可化为（一4a)· 所以CRB={x|一1≤x≤5}. (x十3a)=0,所以方程的两根为4a,一3a,又a< 所以A∩CRB={x|一1≤x≤1. 0,所以4a<一3a,所以原不等式的解集为{x (2)因为A={x|x≤a+3},B={xx<-1或 4a<x<-3a}.故选B项. x>5}, 6.A解析因为m,n为互不相等的正实数，所以 所以若A二B,需a十3<-1，所以a<-4. 故实数a的取值范围是{aa<一4. 四≠品所以A=品+兴>2V只·品=2，B= 19.解析由题意知A={1,2). -x2+4x-2=-(x-2)2十2≤2，当x=2时， (1)因为A∩B=(2}, Bmx=2,所以A>B.故选A项， 所以2∈B,代入B中方程，得a2+4a十3=0， 7.C解析当k=0时，不等式变为1>0，成立： 所以a=-1或a=-3. 当k≠0时，要使不等式kx2一kx十1>0恒成 当a=一1时，B={一2,2}，满足条件： k>0, 立，则 当a=一3时，B={2,也满足条件. △=(-k)2-4k<0, 即0<k<4.综上， 综上可得a的值为一1或一3. 0≤k<4.故选C项. ·410: 8.C解析因为心0,6>0，所以1+≥2，当且 专或x=l,所以不等式cr-bc十a<0的 仅当a=6时，等号成立，所以+名+2v函≥ 解集是(-0，-)U1,十∞)，所以D项正 确.故选AD项. 2+2√a而>2 a ·2√a而=4，当且仅当a= ab 12.解析由a十b十c=0,得a=一b一c,则a2= (-b-c)2=b2+c2+2bc≤b+c2+6+c2= 6,且2 =2√ab,即a=b=1时，等号成立，故 a品 2(b2+c2),又a2+b+c2=1,所以3a2≤2，解 1十1+2√ab的最小值是4.故选C项. b 得一9<故a的最大值是写 9.ABD解析因为a>b>0,c>d>0,所以ac> 围肾 bd.0>-->所以a->-号> 13.解析因为x>0,所以x十1≥2，当且仅当x= 名，所以A,B,D项正确：令a=2,b=1,c=5, 1时，等号成立，所以x+3x十1十+3 1 d=4,此时a十d=b十c,所以C项不正确.故 选ABD项. 11 10.AC解团因为>0，所以x十>2，当且仅当 23行，即2+3x+的最大值为后，故a> 青故实数a的取值范国是{ao>》. =1时，等号成立，故A项正确：又+5 2十4 管累a> v开点而，甲年在R上 14.解析由题意得，3860+500十[500(1十x%)十 不成立，所以不能取到最小值2，故B项排除；因 500(1+x%)]×2≥7000，化简得(x%)2+ 为+是=父+11=++ 3·x%一0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤ √/x2+1Wx2+1 2+1 一3.2（舍去）.所以x≥20，即x的最小值是20. 2,当且仅当√+1=1 脚=0时，等 答案20 15.解析因为x>3,所以x-3>0. 号成立，故C项正确；因为D项中的式子的值 所以y= 2x2= 2(x-3)2+12(x-3)+18 x-3 可以取负值，故D项排除.故选AC项. x-3 11.AD解析因为不等式a.x2十bx十c>0的解 =2-3+g+12≥22-0· x3 集为{xx<-1或x>3},所以a>0,且一1， 12=24, 3是方程a.x2十bx十c=0的两个根，所以一1十 3=-2-1X3=台，所以6=-2ae=-3a 当且仅当2x一3)=1g即=6时，上式 等号成立 因为a>0,所以A项正确；因为a>0,c=一3a, 所以c0,所以C项错误；因为a>0,b=一2a, 所以面数y2兰的最小值为2站 c=一3，所以a十b十c=一4a<0,所以B项错 16.证明因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 误：因为b=-2a,c=-3a,所以cx2-bx十 所以++日4t4u- b a<0可化为-3ax2+2a.x十a<0,所以3.x2 2.x-1>0,方程3.x2-2x-1=0的解为x= 3+++台+后+8+ b=3十 a ·411 (台+)+（侣+）+（后+2≥3+2+2+ 所以fx)=ar+2x+(侵-a), 2=9,当且仅当a=b=c=号时，等号成立. 因为≤f(x)≤(1+x)对一切x∈R都 17.解析(1)由题意知1一a<0,且一3和1是方 成立， 程(1一a)x2一4.x十6=0的两根， 1-a<0, 所以r≤ar+r+(侵-a)小≤1+r)对 4 一切x∈R都成立， 所以31一a =一2，解得a=3. 6 所以 ar-t侵-a20 的解集为R, 1-a =-3, (2a-1)x2+x-2a≤0 所以不等式2x+(2-a)x-a>0,即为2x2 a>0. 一3>0，解得K-1或>是 2a-1<0, 所以}a(台-小<o.1+8a-D0 且 所以所求不等式的解集为《1或>引。 a>0, (2)ax2+bx+3>0,即为3x2+bx+3≥0， 且 1(1-4a)°≤0，(1-4a)2≤0， 解得a= 若此不等式的解集为R,则b2一4×3×3≤0， 所以-6≤b≤6. 所以= 18.解析(1)由题意知年平均雏修和消耗费用为 +2h+3++山-多+1（无， 综上所述，存在常数a=,6c=日，使不 t 于是有y+10+号-名+g+号>0， 等式x≤fx)≤1十2)对一切x∈R都 成立. (2)由(1)可知，当a=112500,b=1000时， y=50+50+1250=500+50(1+2)≥ 第三章综合测评 500+500×2×15=15500, 2x-1>0, 1.D解析要使函数有意义，则有 解 当且仅当1=婴即1=15时，等号成立. x-5≠0， 故这种设备的最佳更新年限为15年. 得>号我-受且故选D克 19.解析假设存在常数a,b,c满足题意. 2.D解析由函数为偶函数可排除A,B项；对于 因为函数f(x)的图象过点（一1,0）， C项，函数y=|x|在区间（一∞，0）上单调递 所以f(-1)=a-b十c=0, ① 减，故不正确：对于D项，函数为偶函数，且在 又不等式<fx)1十x)对-切x∈R 区间（一○，0）上单调递增，故正确.故选D项. 都成立， 3.C解析因为f(一x)=√一x可=f(x),所以 所以当x=1时，有1≤f(1)≤2(1+1)，即 f(.x)为偶函数，排除A,B项；易知当x>0时， f(x)=V(为增函数，且增加幅度较为缓和，所 1≤a+b+c≤1， 以D项不正确.故选C项. 所以a十b十c=1, ② 4.D解析当a≤0时，f(a)=a2+2a+3>0, 由0②可得a+c=2b=号 f(f(a)<0,显然不成立；当a>0时，f(a)= ·412·