精品解析：浙江省台州市玉环市城关第一初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023学年第二学期阶段性检测初二数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，矩形 中，对角线交于O点．若，，则 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 2. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数的图象，且经过点，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径 的中点与点 被湖隔开，若测得小径 的长为，则， 两点距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，当时，函数值 的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在 中，，， ，、 、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为 ，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度， （单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是（ ） A. ，点表示瓜蔓枯萎 B. ，点表示瓜蔓垂到地面 C. ，点表示瓜蔓垂到地面 D. ，点表示瓠蔓垂到地面 8. 如图，在平行四边形 中，，，，点H、G分别是 、 上的动点，连接、，、 分别为、的中点，则 的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图像，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 10. 将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的 ，其中，其内部四个顶点构成正方形，若，则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 菱形的一边长为，则这个菱形的周长为___________． 12. 已知一次函数，若，则y的取值范围是________． 13. 如图，把正方形纸片 分割成九块，将其不重叠、无缝隙地拼成矩形（由个小正方形组成），则矩形与正方形 的对角线之比____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边 落在 轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿 轴向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 15. 如图，在 中，，以 ， 和 为边向上作正方形和正方形和正方形，点 落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是______． 16. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______． 三、解答题（共8小题，第17至19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题10分，第24题12分，共66分） 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，直线 过点且与直线交于点，直线与 轴正半轴交于点 ． （1）若 的面积为，求点 的坐标； （2）若 是等腰三角形，且，求直线的函数表达式． 18. 如图，在 的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以 为边，另一边边长为的 ． （2）在图2中画一个以 为边，面积为8的菱形． 19. 为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示． 根据图象解答下列问题： （1）写出小何离家的最远距离； （2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？ （3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？ 20. 小亮家今年种植的哈密瓜喜获大丰收．小亮准备采取批发和零售两种渠道销售，批发价为 元/千克．他通过市场调查得知，哈密瓜每日零售销量 （千克）是零售价格 （元/千克）的一次函数．已知哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克；哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）若小亮家第一批可采摘哈密瓜千克，为了减少各种损耗，小亮准备先将哈密瓜以元/千克的零售价销售天，再将剩余哈密瓜全部以批发价售出．求小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额． 21. 如图， 的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G． （1）求证：； （2）连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 22. 小明从家里出发骑车沿一条公路上学，途中车坏了，他步行将车推到了顺路的维修店，然后借店里的电话打给爸爸，爸爸接到电话后立刻从家里开车沿同一条公路行驶，接上小明后送他到学校．已知，．图中的折线表示小明离维修店的距离 （百米）与小明离开家直至到校的时间 （分钟）之间的函数关系（通话、上下车等时间忽略不计）．请你根据图象开始探究： （1）求爸爸开车的速度（百米分钟）； （2）求线段 所表示的函数的表达式； （3）这次到校时间比一般骑行到校时间多用了 分钟，爱动脑筋的小明就一直思考这样一个问题：“如果直接从维修店跑步去学校会不会更快呢？”若小明的背包跑步速度是步行速度的 倍，你认为他的想法正确么？请说明理由．（提醒：做第（ ）问时求此次到校时间要把通话、上、下车等时间考虑进去） 23. 如图，在中， ，， ，作菱形，使点D，E，F分别在 ， ， 上．点P在线段上，点R在线段 上，且， 交 于点Q． （1）求菱形的边长． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）当的邻边之比为时，求的长． 24. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图，四边形 中， ，，四边形 即为等垂四边形，其中相等的边 ， 称为腰，另两边 ， 称为底． 【提出问题】 （1）如图 ， 与都是等腰直角三角形，，．求证：四边形是“等垂四边形”． 【拓展探究】 （2）如图 ，四边形 是“等垂四边形”，，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ．已知腰 ，求 的长． 【综合运用】 （3）如图 ，四边形 是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底 长的取值范围为_________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期阶段性检测初二数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，矩形 中，对角线交于O点．若，，则 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形 中，对角线 ， 交于点 ，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形 中，对角线 ， 交于点 ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数 的图象，且经过点，则 的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是本题的关键． 把代入 ，解方程即可． 【详解】解：把点代入 得，，解得． 故选：A． 3. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径 的中点 与点 被湖隔开，若测得小径 的长为，则 ， 两点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵ 为 的中点， ∴， 故选：A． 4. 如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，，得 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 5. 已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解，解题的关键是分两种情况来讨论． 【详解】解：当时，随 的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当时，当时， 代入一次函数解析式得： ， 解得：， 当时，随 的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当时，当时， 代入一次函数解析式得： ， 解得：， 故选：B． 6. 如图，在 中，，， ，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为 ，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，证明 是直角三角形，即可判断①，证明，，得出即可判断③，进而求得，即可判断②，过 作 于，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据平行四边形的面积公式，计算即可判断④ 【详解】解：，， ， ， 是直角三角形， ， ， 故正确； ，都是等边三角形， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在 与中， ， ， ， 同理可证： ， 四边形是平行四边形， 故正确； ， 故错误； 过 作 于， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故错误． 正确的结论是， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明 是解题的关键． 7. 《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长7寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长1尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题．图中（单位：尺）表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度， （单位：天）表示生长时间．根据小南的模型，点 的横坐标和点 的实际意义分别是（ ） A. ，点 表示瓜蔓枯萎 B. ，点 表示瓜蔓垂到地面 C. ，点 表示瓜蔓垂到地面 D. ，点 表示瓠蔓垂到地面 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点 的横坐标是 ，则： ， 解得， 两图象交点 的横坐标是，依题意，点 表示瓜蔓垂到地面，此时离地面的高度， 故选C． 8. 如图，在平行四边形 中，，，，点H、G分别是 、 上的动点，连接、， 、分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，当时， 有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接 ，过点 作于 ， 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ， ， 、分别为、的中点， ， 当时， 有最小值，即有最小值， 当点与点 重合时， 的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图像，则莴笋成长的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．由题意知，，，待定系数法求线段 的解析式为，将代入，计算求解即可．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， 设线段 的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴线段 的解析式为， 将代入， ∴， ∴娃娃菜幼苗的高度最高为， 故选：B． 10. 将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的 ，其中，其内部四个顶点构成正方形，若，则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，设正方形的边长为a，，根据，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， 即，， ∵， ∴， 设正方形的边长为a，， 则， 解得：， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是设正方形的边长为a，，用a、b表示出 的面积，列出方程． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 菱形的一边长为，则这个菱形的周长为___________． 【答案】##8厘米 【解析】 【分析】根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为，即可求出菱形的周长． 【详解】解： 菱形的四条边都相等，其边长都为， 菱形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握莠形的四条边相等是解题关键． 12. 已知一次函数，若，则y的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随 的增大而减小，由一次函数图象上点的坐标特征，可求出当及时的值，进而可得出结果； 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征得出取值范围是解题的关键． 【详解】, 随 的增大而减小， 当时，， 当时，， 若， 则的取值范围是 故答案为：． 13. 如图，把正方形纸片 分割成九块，将其不重叠、无缝隙地拼成矩形（由 个小正方形组成），则矩形与正方形 的对角线之比____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设正方形纸片 的边长为 ，根据勾股定理可表示出对角线 的长，根据矩形可求出的长，根据勾股定理得 的长，由此即可求解． 【详解】解：设正方形纸片 的边长为 ， ∴，， ∴对角线， ∵将其不重叠、无缝隙地拼成矩形（由 个小正方形组成）， ∴每个小正方形的面积为，则每个小正方形的边长为， ∴，， ∴对角线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形，矩形，勾股定理的综合，掌握正方形，矩形的面积的计算方法，勾股定理的运用是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的边 落在 轴的正半轴上，且点，，直线以每秒 个单位长度的速度沿轴向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形 分成面积相等的两部分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，首先连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移 个单位，进而可得求解，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∵平行于， ∴， ∴ ， ∵过， ∴， ∴的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∵速度为每秒 个单位长度， ∴时间为秒， 故答案为： ． 15. 如图，在 中，，以 ， 和 为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论． 依此即可求解． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵，即， ， 在 中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正方形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、…及、、、、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】当 时，， 解得： ， ∴点． ∵四边形为正方形， ∴点． 同理，可得出：，，，，…， ∴，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴点． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，第17至19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题10分，第24题12分，共66分） 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，直线 过点且与直线 交于点，直线 与轴正半轴交于点． （1）若 的面积为，求点的坐标； （2）若 是等腰三角形，且，求直线 的函数表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． （1）根据的面积为可求得 的长，可得出结论； （2）过点 作轴于点，则，得，设直线 的解析式为：，将 ，代入即可． 【小问1详解】 解：∵若的面积为，点 ∴， ∴， ∵， ∴, ∵点在轴正半轴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，过点 作轴于点， ∵,, ∴， ∵，轴 ∴， ∴， 设直线 的解析式为：， 将代入得： ， 解得， ∴直线 的解析式为：． 18. 如图，在 的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个以 为边，另一边边长为的 ． （2）在图2中画一个以 为边，面积为8的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据边长为，可知横着占2个网格，竖着占1个网格，然后画出 即可； （2）根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8即可． 【小问1详解】 解：∵边长为， ∴横着占2个网格，竖着占1个网格，如图所示，答案不唯一， 【小问2详解】 解：根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8； 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，根据平行四边形的性质和菱形的性质作图即可． 19. 为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示． 根据图象解答下列问题： （1）写出小何离家的最远距离； （2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？ （3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？ 【答案】（1） （2）2次，0.5小时和1小时 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的距离； （2）根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案； （3）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【小问1详解】 解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是； 【小问2详解】 根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时； 【小问3详解】 ∵返回时所走路程为，使用时间为2小时， ∴返回时的平均速度为：． 【点睛】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题． 20. 小亮家今年种植的哈密瓜喜获大丰收．小亮准备采取批发和零售两种渠道销售，批发价为 元/千克．他通过市场调查得知，哈密瓜每日零售销量（千克）是零售价格 （元/千克）的一次函数．已知哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克；哈密瓜的零售价格为元/千克时，每日零售销量为千克． （1）求与 之间的函数表达式； （2）若小亮家第一批可采摘哈密瓜千克，为了减少各种损耗，小亮准备先将哈密瓜以元/千克的零售价销售 天，再将剩余哈密瓜全部以批发价售出．求小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的求解： （1）设与 之间的函数表达式为，根据题意列出关于二元一次方程组，解之可得出的值，进而可得出函数表达式； （2）代入，求出值，进而可求出零售 天的销售量，再利用总销售金额 销售单价销售数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设与 之间的函数表达式为 根据题意得： 解得： 与 之间的函数表达式为： 【小问2详解】 解：当时，（千克） 零售 天的销售量为：（千克） 总销售金额为：（元） 答：小亮家这批哈密瓜全部售出后的总销售金额为元 21. 如图， 的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G． （1）求证：； （2）连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形． 【答案】（1） 证明： 对角线AC、BD交于点O， ， ， OE为的中位线， ． （2） 如图，连接 、， ， ， G是CD的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ∴， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线的性质得：，再根据题意得到OE为的中位线，利用三角形中位线性质即可求证； （2）由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键． 22. 小明从家里出发骑车沿一条公路上学，途中车坏了，他步行将车推到了顺路的维修店，然后借店里的电话打给爸爸，爸爸接到电话后立刻从家里开车沿同一条公路行驶，接上小明后送他到学校．已知，．图中的折线表示小明离维修店的距离（百米）与小明离开家直至到校的时间 （分钟）之间的函数关系（通话、上下车等时间忽略不计）．请你根据图象开始探究： （1）求爸爸开车的速度（百米分钟）； （2）求线段 所表示的函数的表达式； （3）这次到校时间比一般骑行到校时间多用了 分钟，爱动脑筋的小明就一直思考这样一个问题：“如果直接从维修店跑步去学校会不会更快呢？”若小明的背包跑步速度是步行速度的倍，你认为他的想法正确么？请说明理由．（提醒：做第（ ）问时求此次到校时间要把通话、上、下车等时间考虑进去） 【答案】（1） 百米/分钟． （2） （3）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由图像可知：可知爸爸从家到维修点的路程为百米，时间为分钟，然后根据路程时间之间的数量关系即可求解； （2）根据图像可知：，爸爸从维修点接到小明去学校的时间为分钟，结合（ ）爸爸开车的速度可求得点 的坐标，然后运用待定系数法求解析式即可； （3）由图像中的信息可知小明到校用时分钟，小明一般骑行到校用时分，全程为百米，小明步行时间为分钟，可求得小明骑行速度为 百米分，进而求得步行路程；从而步行速度和跑步速度，然后求得出两次到校时间，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：由图像可知：可知爸爸从家到维修点的路程为百米，时间为分钟， ∴爸爸开车的速度是（百米分钟）． 【小问2详解】 解：设直线 的解析式为：，根据图像可知：， ∵ ∴， 解得：， ∴线段 所表示的函数的表达式：． 【小问3详解】 解：不正确，理由如下： 由题意可知：一般骑行到校时间为分钟，全程为百米，则骑行速度为（百米分钟）． 由图像知，自行车出故障时，已骑行 分钟，则骑行路程为百米，线段表示小明步行到维修店所对应的图像，时间为分钟，路程为百米， 所以步行速度为（百米分钟）， ∵小明的背包跑步速度是步行速度的倍， ∴小明的背包跑步速度是（百米分钟），则从维修店跑步去学校用时间为（分钟）， 所以全程用时为（分钟），骑行时全程用时为（分钟）， ∴这次到校时间比一般骑行到校时间多用了分钟， ∵分钟分钟， ∴小明的想法不正确． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定计数法求函数的解析式以及行程问题、从图象中获取已知信息是解题的关键． 23. 如图，在 中， ，， ，作菱形，使点D，E，F分别在 ， ， 上．点P在线段 上，点R在线段 上，且， 交 于点Q． （1）求菱形的边长． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）当的邻边之比为时，求的长． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质可得，从而得到，进而得到，即可求出； （2）由（1）得：，和可得是等边三角形，设，则，， 从而可求出，即可证明； （3）分别表示出的长，分两种情况讨论：ⅰ）当时，ⅱ）当时， 【小问1详解】 解：在菱形中，，，， 在 中， ，， ， ∴，， ∴， ∴，即菱形的边长为2． 【小问2详解】 解：∵在 中， ，， ∴， 由（1）得：， ∴是等边三角形，， ∴， 设，则，， ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵ ， ∴， 设与交点为G，如图， ∴ ， 由（1）得：菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：由（2）得：，， ∵ ，， ， ∴， 由（1）得：菱形的边长为2， ∴， ∵的邻边之比为， ∴有两种情况． ⅰ）当时，，解得． ⅱ）当时，，解得． ∴的长为或． 【点睛】本题考查了几何问题，涉及到等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键． 24. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图 ，四边形 中， ，，四边形 即为等垂四边形，其中相等的边 ， 称为腰，另两边， 称为底． 【提出问题】 （1）如图， 与都是等腰直角三角形，，．求证：四边形是“等垂四边形”． 【拓展探究】 （2）如图 ，四边形 是“等垂四边形”，，点， 分别是， 的中点，连接 ．已知腰 ，求 的长． 【综合运用】 （3）如图 ，四边形 是“等垂四边形”，腰，底，则较短的底长的取值范围为_________．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用证明，从而解决问题； （2）连接，取的中点，连接、，延长， 交于点，由四边形是“等垂四边形”，以及三角形中位线定理证明是等腰直角三角形，据此即可求解； （3）延长、 交于点 ，分别取 、的中点、 ，连接 、、 ，利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：（ ）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， 延长交延长线于，交于 ， 又∵，, ∴， ∴； ∴四边形是“等垂四边形”； （）连接，取的中点，连接、，延长， 交于点， ∵四边形是“等垂四边形”， ∴，， ∴， ∵点， ，分别是 ，，的中点， ∴，，， ∴，，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴； （ ）延长、 交于点 ，分别取 、的中点、 ，连接 、、 ， ∵，，， ∴ ，， 由（）知，， ∵，即， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质，三角形三边关系等知识点．解题的关键是掌握新定义“等垂四边形”、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $