精品解析：江苏省海安市实验中学等四校联考2023-2024学年高二下学期5月检测数学试题

高二下5月检测 数学试卷 2024.05 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 2. 展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 60 C. D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于，即可求出，再代入即可得出答案. 【详解】二项式的通项公式为：， 令，解得：， 则二项式展开式中的常数项为. 故选：D. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质可知：，，由正态分布曲线的对称性可知：，即可得到答案. 【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因为，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以， 故选：B. 4. 已知变量，有如下观察数据 0 1 3 4 2.4 4.5 4.6 6.5 若对的回归方程是，则其中的值为 A. 2.64 B. 2.84 C. 3.95 D. 4.35 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，， 回归方程过样本中心点，则， 解得：. 本题选择B选项. 点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程必过样本点中心． 5. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法； 若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法； 综上可得一共有种不同的分法. 故选：B 6. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D. 【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：D 7. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 故选：A 8. 已知函数，，，函数，若方程有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数图像，求出切线斜率，根据交点个数求出的范围. 【详解】 作出的函数图像如图所示： 设直线与曲线相切，，切点为， 则有，解得， 因为方程有四个不同的解，所以直线与有个交点， 与有两个交点，所以，排除D， 设与交点为，显然在第一象限，即，所以，排除A、B， 所以C正确 . 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题意画出函数图像，确定直线与曲线相切时切线的斜率，利用数形结合法确定斜率的取值范围即可. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 D. 已知一系列样本点（，2，3…）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】计算第40百分位数判断选项A；计算二项分布的方差判断选项B；由二项展开式中各项系数和与所有项二项式系数和的计算判断选项C；由残差的计算验证选项D. 【详解】对于A，这组数据共10个，，则第40百分位数为，A选项错误； 对于B，若，则，B选项正确； 对于C，在的展开式中，所有项二项式系数和为，令，各项系数和为， 即各项系数和与所有项二项式系数和相等，C选项正确； 对于D，样本点与的残差相等，则有， 得，D选项错误. 故选：BC. 10. 保定某中学上午大课间跑操，为了提升班级跑操水平，某班在跑操后进行分组训练，现六名同学一组进行队列训练，则下列说法正确的是（ ） A. 若不在第一个，则不同的排序种数有480种 B. 若和不相邻，则不同的站队方式共有480种 C. 若和相邻，且不在两端，则不同的站队方式共有120种 D. 排在之前的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】对于，若甲不排第一个，则甲有5种排法，其余5个人全排，共有种； 对于，先排列除与外的4个人，有种方法，利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法； 对于，若和相邻，利用捆绑法不同站队方式有种， 若和相邻且在两端，则站队方式有种， 故由间接法得站队方式共有192种； 对于排在之前的概率为. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在R上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用符合函数的单调性的判断方法可以判断A的真假；利用函数的单调性，转化为，再分离变量转化为恒成立问题，可求正实数的取值范围，判断B的真假；由“极值点偏移”可判断C的真假；分离参数，利用方程有两解，构造函数，转化为求值域问题，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以， 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则且在上单调递增. 由“同增异减”可知上单调递增.故A正确； 对B：因为为正实数，，所以，，结合函数的单调性，可知： （）. 所以. 设（），则，由可得：. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 所以正实数的最小值为，故B正确； 对C：如图： 因为有两个零点，，结合函数的单调性，不妨设，. 则. 设，（），那么且 在上恒成立，所以在单调递增， 所以在上恒成立，所以（）. 由，且在上单调递减， 所以.故C错误； 对D：设切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为：， 因为切线过点，所以 设，所以，由， 所以在上递增，在上递减， 且，当时，且时，. 因为有两解，则.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题C选项涉及极值点偏移问题.一般极值点偏移问题的解题思路如下： （1）先求导，得到函数的极值点； （2）方程有两个根，，则有； （3）构造函数，则且求导后判断函数的单调性，得恒为正或恒为负； （4）得到与的大小关系，且使与在的一个单调区间内； （5）利用的单调性，判断与的大小关系，可得与的大小关系. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量的分布，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 13. 在的展开式中，含项的系数为________．（用数字作答） 【答案】330 【解析】 【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果. 【详解】展开式中含有项的系数为 ， 故答案为：330. 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）当时，记的展开式中的系数为，求的值 （2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 【答案】（1）46 （2） 【解析】 【分析】（1）应用赋值法求得所有系数之和，再求出可得； （2）由二项式定理得，然后求出项的系数，结合二次函数知识得最小值及的值. 【小问1详解】 由题意. ， ， 所以； 【小问2详解】 由已知，， 所以的系数为 ， 易知时，取得最小值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】（1） 时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分类讨论和，即可求解函数的单调区间； （2）结合（1）知，当时，不合题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的单调性即最值，即可求解. 【小问1详解】 由题意得：的定义域为， ， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，，不合题意， 当时，由（1）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为. 17. 襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 （1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 （2）若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 【答案】（1） （2）（i）11.375万； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2） （i） 根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解；（ii）根据题意可得所有可能取值为结合二项分布求概率和均值即可求解． 【小问1详解】 样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； 【小问2详解】 （i）计算， 所以，，服从正态分布， ， 万， 估计襄阳市有万市民每年旅游费用支出在元以上； （ii）由（i）知，，则， 的所有可能取值为 ，   ， ，   ； 所以随机变量的分布列为： 均值为 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 【答案】（1）更适宜 （2） （3）选择方案1最佳，理由： 用，和分别表示选择三种方案的收益. 采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即 采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万， 如果发生，则收益为万，即， 同样，采用第3种方案，有 所以，， ， . 显然，最大，所以选择方案1最佳. 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【小问1详解】 由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，，， 所以， 则， 所以z关于x的线性回归方程为， 故y关于x的回归方程为； 【小问3详解】 略 19. 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么． （1）求； （2）设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分几何意义，证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②由，可得，所以， 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，所以． 是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积， 而是图一中阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式左边得证． 是图二中阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式右边得证． 【解析】 【分析】（1）利用定积分的定义计算即可； （2）①由已知得，令，求导后分类讨论即可求数的取值范围； ②由已知可是，可求得，是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积，是图二中阴影所示各矩形的面积和，由此可得结论. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ①恒成立，即． 令，则． 当时，，所以在上单调递增，又， 所以在上恒成立，所以当时，； 时，对，有，所以在上单调递减， 所以，即当时，存在，使， 故不恒成立． 综上，， 所以实数的取值范围为； ②略 【点睛】本题考查新定义题型，读懂题意是解决问题的关键，根据，求实数的取值范围，利用分类讨论的方法，更易于求解.证明不等式，充分利用了不等式两端的几何意义解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下5月检测 数学试卷 2024.05 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 60 C. D. 240 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 已知变量，有如下观察数据 0 1 3 4 2.4 4.5 4.6 6.5 若对的回归方程是，则其中的值为 A. 2.64 B. 2.84 C. 3.95 D. 4.35 5. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 6. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，函数，若方程有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 D. 已知一系列样本点（，2，3…）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 保定某中学上午大课间跑操，为了提升班级跑操水平，某班在跑操后进行分组训练，现六名同学一组进行队列训练，则下列说法正确的是（ ） A. 若不在第一个，则不同的排序种数有480种 B. 若和不相邻，则不同的站队方式共有480种 C. 若和相邻，且不在两端，则不同的站队方式共有120种 D. 排在之前的概率为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在R上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量的分布，则_________. 13. 在的展开式中，含项的系数为________．（用数字作答） 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）当时，记的展开式中的系数为，求的值 （2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值集合. 17. 襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用单位：千元，寒假期间对游览某签约景区的名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别 支出费用 频数 （1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于元的概率 （2）若襄阳市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数同一组中的数据用该组区间的中间值代表，近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定襄阳市常住人口为万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在元以上 （ii）若在襄阳市随机抽取位市民，设其中旅游费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若∽，则，，． 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. （1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中，， 参考数据（） 5215 17713 714 27 81.3 3.6 （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择. 在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万； 方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万； 方案3：不采取防虫害措施. 19. 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么． （1）求； （2）设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分几何意义，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $