第06讲 轴对称的性质（8大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第06讲 轴对称的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； 2．能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形； 轴对称的性质（一） 1.轴对称的性质（一） 把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点、点，折痕记为；连接，与相交于点 ，线段AA′与直线l有什么关系？ （1） （2） 定义： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 几何语言： 如图，直线 交线段AB于点O, ∵∠1＝90°，AO＝BO ∴直线是线段AB的垂直平分线 2.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点、点，连接．你有什么新的发现？ 结论： （1） （2） （3） 3.仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点C、点C′，连接 ．你有什么新的发现？ 你能得出什么结论？ （1） （2） （3） 轴对称的性质： （1） （2） （3） 注：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做 ．类似地，重合的线段是 ，重合的角是 ．对应线段相等，对应角相等． 轴对称的性质（二） 1.轴对称的性质（二） 试一试：在网格中画出图形的另一半。 2.点A在直线外，按下列方法画点A关于直线l的对称点。 画法：1.画AO⊥l，垂足为O；2.在AO的延长线上截取OA′，使OA′=AO； 点A′就是点A关于直线l对称的点。 3.（1）在下图用三角尺画线段AB关于直线l对称的线段A′B′； （2）在下图用三角尺画▲ABC关于直线l对称的▲A′B′C′。 因此，画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条线的 。 4. 右边两个三角形关于直线MN对称，取AC中点为点P ，连接BP，BP为AC上的中线；可以在右边把BP的对称 图形画出来吗 因此，成轴对称的两个图形的任何对应部分也 考点一：成轴对称两个图形的识别 例1．下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式1-1】如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．50° D．60° 【变式1-2】如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组． 【变式1-3】如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 考点二：根据轴对称性质求解 例2．如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【变式2-1】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为（　　）    A．4 B． C． D．7 【变式2-2】如图，正五边形中，M，N分别是的中点，连接相交于点O，那么的度数为 ．    【变式2-3】如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 考点三：求对称轴个数 例3.下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在条以上的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列四个图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在“等边三角形、长方形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是 ． 【变式3-3】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    考点四：画对称轴 例4．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【变式4-1】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【变式4-2】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【变式4-3】画出下列三个轴对称图形的所有对称轴． 考点五：台球中的轴对称 例5．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式5-1】如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式5-2】如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点． 【变式5-3】【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law of light）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 考点六：钟表中的轴对称 例6. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【变式6-3】小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？ 考点七：车牌号码与电子钟的轴对称 例7．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是(    ) A．21:02 B．21:05 C．20:15 D．20:05 【变式7-2】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【变式7-3】如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 考点八：折叠问题 例8．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【变式8-3】综合与实践 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，是射线上的一个动点（不包括端点），，连接，将沿折叠，使顶点落在点处． (1)求的度数； (2)当点恰好落在上时，求的度数； (3)若，求的度数． 1．与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在、的位置，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、N分别在M、N的位置上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．在矩形、菱形和正方形中，对称轴条数最多的是 ． 10．如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 11．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．    12．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 13．在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 14．如图（1）所示是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ．    15．如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 16．综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 17．如图所示，和是分别沿着，边翻折形成的，若，求的度数． 18．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于，且小于的角） (1)若和互为等差角．当，则 ．当，则 ． (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点若与互为等差角，求的度数． (3)再将纸片沿着对折（点在线段或上）使点落在点．如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部） 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4. 右边两个三角形关于直线MN对称，取AC中点为点P ，连接BP，BP为AC上的中线；可以在右边把BP的对称 图形画出来吗 因此，成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 考点一：成轴对称两个图形的识别 例1．下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 【变式1-1】如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，，则的度数为（    ） A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠ABC＝∠EBC，然后求出∠EBC，再根据平行四边形的对角相等解答． 【详解】∵平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在的直线对称， ∴∠ABC＝∠EBC， ∵∠ABE＝90°， ∴∠EBC＝45°， ∵四边形EBCF是平行四边形， ∴∠F＝∠EBC＝45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 【变式1-2】如图所示的组图形中，左、右两个图形成轴对称的是第 组． 【答案】（3）（4） 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】（1）不是轴对称图形，不符合题意； （2）不是轴对称图形，不符合题意； （3）是轴对称图形，符合题意； （4）是轴对称图形，符合题意； 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 【变式1-3】如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α. 【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】解：（1）如图，连接． 作线段的垂直平分线MN． 则直线MN是△和△的对称轴． （2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍， 理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称， ∴. 又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称， ∴∠AOP=∠OP． ∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α 即∠AO=2α． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键. 考点二：根据轴对称性质求解 例2．如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 故选：A． 【变式2-1】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为（　　）    A．4 B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求、的长度，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，， ∴， 同理， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，正五边形中，M，N分别是的中点，连接相交于点O，那么的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查正多边形的内角和问题，轴对称图形的性质，三角形内角和定理，根据正多边形的内角相等求出，由轴对称图形的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ， 正五边形中，M，N分别是的中点， 正五边形关于对称， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的面积、平移作图、最短路径问题等知识点，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C的对应点、、，连接即可得到； （3）作点A关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求的点． 【详解】（1）， 故答案为：5； （2）如图，即为所求： （3）如图所示，点P即为所求， 考点三：求对称轴个数 例3.下列分子结构模型平面图都是轴对称图形，对称轴在条以上的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称轴，在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份，找到对称轴的条数是解决问题的关键． 根据在轴对称图形的定义，找到对称轴即可解答． 【详解】、图形中有一条对称轴，不符合题意． 、图形中有两条对称轴，不符合题意． 、图形中有两条对称轴，不符合题意． 、图形中有六条对称轴，符合题意． 故选． 【变式3-1】下列四个图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A选项图形有4条对称轴，B选项图形有3条对称轴，C选项图形有3条对称轴，D选项图形有两条对称轴， 故选：A． 【变式3-2】在“等边三角形、长方形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是 ． 【答案】圆 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， 所以对称轴条数最多的图形是圆． 故答案为：圆． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式3-3】（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 考点四：画对称轴 例4．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 【变式4-1】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴，方法如图所示． 【详解】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．    故选：A． 【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 【变式4-2】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 【变式4-3】画出下列三个轴对称图形的所有对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形的对称轴，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，即为所求。 考点五：台球中的轴对称 例5．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式5-1】如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为： 根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2． 故选：B． 【点睛】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意数形结合思想的运用． 【变式5-2】如图，桌球的桌面上有，两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则，，，，4个点中，可以反弹击中球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是根据轴对称的性质找到使入射角等于反射角相等的点． 【详解】解：如图，根据轴对称的性质可知，可以反弹击中球的是D点， 故选：D． 【变式5-3】【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law of light）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 考点六：钟表中的轴对称 例6. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是． 故选：C． 【变式6-1】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间． 【详解】解：由图中可以看出，此时的时间为． 故选：B． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形． 【变式6-2】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： 【变式6-3】小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？ 【答案】见解析 【分析】根据镜面对称的性质即可解答. 【详解】沿着镜面反射即可，如图所示． 【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 考点七：车牌号码与电子钟的轴对称 例7．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子. 【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为 故选：C. 【点睛】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化. 【变式7-1】在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是(    ) A．21:02 B．21:05 C．20:15 D．20:05 【答案】B 【分析】利用轴对称性质作出图象还析电子钟的求数即可. 【详解】根据镜子中的成象与实际物体是相反的原理，可利用轴对称性质作出图象向左或向右的对称,故选：B. 【点睛】本题考查了镜面对称，可以把试题页面翻过来，从背面看. 【变式7-2】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 【变式7-3】如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 考点八：折叠问题 例8．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键；根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质可求得答案． 【详解】解：设如下图所示， ∵纸条的两条对边互相平行， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得：， ∴， 故选：C． 【变式8-1】如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题、周角的度数、平行线的性质，根据折叠的性质、周角度数为，求出的度数，根据“两直线平行，同旁内角互补”，求出的度数，根据折叠的性质，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-2】将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）延长至M，先根据翻折的性质得出，即可求得，再根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）延长到点N，先根据翻折的性质得出，即可求得，再根据两直线平行，同位角相等得出，即可求得，最后根据两直线平行，内错角相等，求解即可． 【详解】（1）延长至M，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长到点N，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】综合与实践 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，是射线上的一个动点（不包括端点），，连接，将沿折叠，使顶点落在点处． (1)求的度数； (2)当点恰好落在上时，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，注意分类讨论是解题的关键。 （1）利用平行线的性质，即可解答； （2）利用平行线的性质和折叠的性质，即可解答； （3）分两种情况讨论，点落在上，当点在下方时，利用平行线的性质，进行角度的转换，即可解答。 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）解：如图1，点落在上，所以． ， ， ． ， ． （3）图1解：设． ①当点在平行线，之间时（如图2）． ， ， 由折叠可知， ， 解得， ； ②当点在下方时（如图3）． ， ． 由折叠可知， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数为或． 1．与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，直接利用轴对称的性质可得的面积． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴与互相重合， ∵的面积是， ∴的面积是， 故选B 2．如图，把长方形沿折叠，使D、C分别落在、的位置，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：对应角相等，根据，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 由折叠可知：． 故选：D． 3．把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、N分别在M、N的位置上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，再由折叠的性质可得，则． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， 故选：C． 4．下列图形中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形，对称轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； B中是轴对称图形，有一条对称轴，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中轴对称图形，有两条对称轴，，故符合要求； 故选：D． 5．如图，将正六边形纸片折叠，使点A与点F重合，点C与点D重合，折痕与交于点M，与交于点N；展开纸片，再将纸片折叠，使与重合，此时点A，B的对应点分别为，折痕与交于点K，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角和、折叠的性质，熟练掌握正六边形的内角和是解题关键．先根据正六边形的内角和公式可求出，再根据折叠的性质可得，，然后根据四边形的内角和求出，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正六边形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，得到的图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了剪纸问题，通过折叠变换，正多边形的有关知识，找出题中的折叠规律，利用正方形纸片按照此方法沿虚线减下，展开即可得到剩下的图形，找出题中的折叠规律是解题的关键． 【详解】解：根据操作，可得把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，所得的图形是： ， 故选：． 7．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：． 8．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决． 【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、， 且，， 又 ， ， ②三个角分别是、、， 有且只有一个角最大，即为， 且，， 又 ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值． 9．在矩形、菱形和正方形中，对称轴条数最多的是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查轴对称图，根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可． 【详解】解：矩形、菱形各有条对称轴，正方形有条对称轴， ∴对称轴条数最多的是正方形， 故答案为：正方形． 10．如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 【答案】由 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．根据轴对称的性质可得答案． 【详解】解：“甲”字的对称图形是“由”字， 故答案为：由 11．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则 ．    【答案】55 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 12．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 13．在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 22 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出，当时，求出，，由折叠的性质得出，再由即可得出答案； （2）同（1）的方法得，，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，，， 由折叠知，． ∴， 故答案为：22； （2）如图，   ， 同（1）的方法得，，， ∴， 故答案为：． 14．如图（1）所示是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ．    【答案】/105度 【分析】本题考查了翻折变换以及长方形形的性质，解题的关键是找出．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由矩形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个的度数，由此即可算出度数． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质可知： 图2中，，， 图3中，． 故选： 15．如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 【答案】(1) (2)， (3)与与也都关于直线成轴对称 【分析】本题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据互相重合的点是对应点可得答案； （2）根据互相重合的角与边可得答案； （3）根据能够互相重合的三角形可得答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称． ∴对称点分别是：； （2）解：∵与关于直线对称． ∴， （3）解：图中与与也都关于直线成轴对称． 16．综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由平行的性质可得求出，由折叠的性质可知：，，，即可求出，由三角形内角和求出，即可求出． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ，又由平行的性质可知，，进而可求出，由三角形内角和求出， 由对顶角相等得出，进一步即可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴．， ∴， ∴． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行的性质，折叠的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理，掌握这些性质是解题的关键． 17．如图所示，和是分别沿着，边翻折形成的，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，根据题意设，，，利用三角形内角和定理建立方程求解，得到，，利用折叠的性质得到，，进而得到，，再利用三角形外角性质即可求解． 【详解】解：根据题意设，，， 则， 解得， 则，，， 由折叠的性质可知，， ，， ，， ． 18．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于，且小于的角） (1)若和互为等差角．当，则 ．当，则 ． (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点若与互为等差角，求的度数． (3)再将纸片沿着对折（点在线段或上）使点落在点．如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部） 【答案】(1)；或； (2)的值为或； (3)． 【分析】（）利用“等差角”定义即可求解； （）由与互为等差角，分当；当时，两种情况即可； （）由点、、在同一直线上，且与互为等差角，即可求解； 本题考查了角度和差及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】（1）∵和互为等差角，当，则， ∴当，， ∴或，解得：或， 故答案为：，或； （2）∵与互为等差角， 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时， ，可得． 综上所述，的值为或 （3）∵点、、在同一直线上，且与互为等差角， ∴，， ∵，， ∴， ∴，得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$