第04讲 二次函数的性质（二）（2个知识点+3种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 二次函数的性质（二）（2个知识点+3种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例1】一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020秋•长兴县月考）如图，已知抛物线与直线交于，两点．点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作两条坐标轴的平行线，与直线交于点，，以，为边构造矩形，设点的坐标为，则关于的函数关系式是 　　． 【变式2】（2023秋•浙江月考）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•龙湾区二模）已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上的两点，若，求证． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【例2】抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•江干区校级月考）将二次函数化为的形式，那么的值为 　　． 【变式2】将二次函数配方为的形式为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•东阳市月考）已知二次函数， （1）将二次函数的解析式化为的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 经典题型汇编 题型一.待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 题型二.已知二次函数的值求自变量的值 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型三.抛物线与x轴的交点问题 7．（2021·浙江杭州·二模）已知二次函数与轴正半轴交于和两点（点在点的左边），方程的解为或（），则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：；；．其中“弦长”最短的是抛物线 （填题序号即可）． 9．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）求二次函数与轴、轴的交点坐标. 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）以二次函数的图象与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为（   ） A．5 B． C．3 D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数图象经过点，则关于的方程的两个根是（    ） A．3或 B．1或 C．3或 D．1或 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为1个单位长度，则移动方式为（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则下列表述正确的是（    ） A．若，抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴一定有两个交点 D．图象与轴的交点坐标为 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某函数关系为（是常数），如图，已知该函数图象上三个点的坐标，，．当函数值最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（   ） x … 0 1 3 … y … 3 … A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为 C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线与y轴交点坐标为 ． 12．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若二次函数的图象与x轴的一个交点是，则与x轴的另一个交点坐标是 ． 14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 ． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数（a为常数，且）的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知二次函数与轴的正半轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，若，那么二次函数的表达式是 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 18．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛物线． (1)求抛物线与y轴交点的坐标； (2)点P在抛物线上，且点P到y轴的距离为1，求点P的坐标． 19．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数． (1)若函数图象过点，求函数表达式及其顶点坐标． (2)当时，y的最小值为，求n的值． 21．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴，y轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图象的对称轴． (2)若函数表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．    (1)求m的值以及二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围． 24．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数的图象和性质进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示． 请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质_________________； ②函数图象与x轴有_________个交点，所以对应的方程有________个实数根； (2)分析思考： ③方程的解为__________________； ④关于x的方程有4个实数根时，n的取值范围是_________； (3)延伸探究： ⑤将函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象，直接写出平移过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的性质（二）（2个知识点+3种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【例1】一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【解答】解：设抛物线的表达式为， 则抛物线表达式为， 将代入上式得，，解得， 故抛物线的表达式为． 故选：． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：或 【变式1】（2020秋•长兴县月考）如图，已知抛物线与直线交于，两点．点是抛物线上，之间的一个动点，过点分别作两条坐标轴的平行线，与直线交于点，，以，为边构造矩形，设点的坐标为，则关于的函数关系式是 　　． 【分析】根据点的坐标，可得出点的坐标，点的坐标，继而确定点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式． 【解答】解：如图，直线的解析式为：，点的坐标为， 点的坐标为，，点的坐标为， 点的坐标为，， 把点，代入，可得， 、之间的关系式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系． 【变式2】（2023秋•浙江月考）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随的增大而增大． 当时，， ． ． 当时，随的增大而增大． 当时，， ． ． 当时，随的增大而减小． 抛物线的对称轴为，开口向上． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【变式3】（2024•龙湾区二模）已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上的两点，若，求证． 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②由题意可知，，即可得出、关于对称轴直线对称，据此求得，即可得到，把代入①中求得的解析式，即可求得的值； （2）由，得，故，，即可证明结论． 【解答】（1）解：①函数图象经过点， ， ， 该二次函数的表达式为； ②由题意可知，， 、是二次函数图象上的点， 、关于对称轴直线对称， ， 解得， ， 把代入，得； （2）证明：， ， ，，，是二次函数图象上两点， ， ， ， ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． 知识点2．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【例2】抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的顶点坐标． 【解答】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式，从顶点式可以直接得出抛物线的顶点． 【变式1】（2023秋•江干区校级月考）将二次函数化为的形式，那么的值为 　5　． 【分析】利用配方法将化成，即可求出、值，代入计算即可． 【解答】解：， ，， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查将二次函数解析式化成项点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式2】将二次函数配方为的形式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据配方法求解可得． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤． 【变式3】（2023秋•东阳市月考）已知二次函数， （1）将二次函数的解析式化为的形式． （2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【分析】（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式； （2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）； （2）由（1）知，该抛物线解析式是：； ，则二次函数图象的开口方向向上． 对称轴是直线、顶点坐标是． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：，、、为常数）；（2）顶点式：；（3）交点式（与轴）． 经典题型汇编 题型一.待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，把点代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)x的取值范围是 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）将代入函数解析式求得函数与轴的交点，结合图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：将代入函数解析式得，， 解得，． 如图所示， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是． 题型二.已知二次函数的值求自变量的值 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可． 【详解】解：将，分别代入得， 解得 ， ， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，抛物线顶点为最低点， ， 解得， 当时，点P为最低点， 将代入得， 解得(舍)，， 或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    【答案】3 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 题型三.抛物线与x轴的交点问题 7．（2021·浙江杭州·二模）已知二次函数与轴正半轴交于和两点（点在点的左边），方程的解为或（），则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，依据题意画出二次函数的图象，在此基础上，作出直线的图象，设两个函数图象的交点为，根据方程的解为或（），即可求解，通过图象求解是解题的关键． 【详解】解：依据题意，画出二次函数的大致图象如下图所示， 在此基础上，作出直线的图象， 设两个函数图象的交点为， ∵方程的解为或（）， ∴的横坐标为， ∴， 故选：． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）若抛物线与x轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在x轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：；；．其中“弦长”最短的是抛物线 （填题序号即可）． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为5；解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为6；解方程得到抛物线与x轴的两交坐标为，，则该抛物线在x轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最短的抛物线． 【详解】解： 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交坐标为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； ， 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交坐标为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； ， 当时，， 解得，， 抛物线与x轴的两交坐标为，， 该抛物线在x轴上截得的“弦长”为； “弦长”最短的是抛物线； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）求二次函数与轴、轴的交点坐标. 【答案】、、 【分析】本题考查了抛物线与x轴，y轴的交点坐标的计算，分别令，列式计算即可. 【详解】∵， 令，得， 解得， ∴二次函数与轴交点坐标为、； 令，得， ∴二次函数与轴交点坐标为. 练习试卷 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，将代入解析式求出对应的y值即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 故选C． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）以二次函数的图象与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题； 令，求出二次函数与y轴的交点坐标，令，求出二次函数与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数与y轴交于点， 当，即时， 解得：，， ∴二次函数与x轴交于点，， ∴二次函数的图象与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为， 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数图象经过点，则关于的方程的两个根是（    ） A．3或 B．1或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，先求出对称轴，再根据对称性，得二次函数图象经过点，结合，得，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴， ∵二次函数，图象经过点， ∴ ∴ 即二次函数图象经过点， 则在方程中，，， 故选：D． 4．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为1个单位长度，则移动方式为（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线的平移，根据，得到方程的解为，且，故向下平移2个单位即可． 【详解】根据题意，若， 解得， 且， 故向下平移2个单位即可． 故选B． 5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数（、、都是常数，且）的图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴，且交点在的下方，下列结论； ；；，其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，故正确； ∵图象与轴交于点、，且，与轴交于正半轴， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，则，而， ∴， ∴， ∴，故正确； 由题意得，， ∴， ∴，故正确； 综上正确的有，共个正确， 故选：． 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，则下列表述正确的是（    ） A．若，抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴一定有两个交点 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断． 【详解】解：对于， A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意； B、当，即，则时，随的增大而增大，所以B选项不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与轴没有公共点，，所以C选项不符合题意； D、当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，所以D选项符合题意． 故选：D． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图像得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，且其对称轴为， 把代入得：， 解得：，， 抛物线与x轴的交点为：，， 把代入得：， 关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根， 则与有两个交点， 如图所示，    由图像可得：实数的取值范围是． 故选：D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某函数关系为（是常数），如图，已知该函数图象上三个点的坐标，，．当函数值最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，利用二次函数的性质可得答案，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键． 【详解】∵过，，， ∴， 解得：， ∴函数关系为， ∵， ∴函数值有最大，此时， 故选：． 10．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（a，b，c是常数，），该函数y与x的部分对应值如上表：下列各选项中，正确的是（   ） x … 0 1 3 … y … 3 … A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的最小值为 C．当时， D．当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】将代入得： 解得： ∴抛物线开口向上，选项A错误， 将代入得 ∴C错误， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， 将代入得 ∴函数最小值为，选项B错误， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 故选：D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）抛物线与y轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与y轴交点问题．根据题意，把代入函数解析式即可得抛物线与y轴交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为． 故答案为： 12．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若二次函数的图象与x轴的一个交点是，则与x轴的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，将代入原函数解得，当时，，解得，，进而可求解，熟练掌握二次函数与轴的交点坐标的特点是解题的关键． 【详解】解：将代入原函数得：， 解得：， ， 当时，， 解得：，， 则与x轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·浙江金华·期中）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，由抛物线配方为，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，向上平移个单位，再向右平移个单位后，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数（a为常数，且）的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数与轴的交点．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与轴的交点是解题的关键． 由题意知，将代入得，，则，令，计算求解，进而可得点坐标，然后求的长即可． 【详解】解：由题意知，将代入得，， ∴， 令， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知二次函数与轴的正半轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，若，那么二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是解答本题的关键． 根据题意设，则，，得到抛物线解析式为：，把代入得：，得到，由此得到二次函数的表达式． 【详解】解：根据题意设： ，则，， ，，， 设抛物线解析式为：， 把代入得：， 解得：（舍去），， 抛物线解析式为：， 即． 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)B点坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入求解即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）把代入得， 解得，， 点坐标为或． 18．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知抛物线． (1)求抛物线与y轴交点的坐标； (2)点P在抛物线上，且点P到y轴的距离为1，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，二次函数图象上的点的坐标特点： （1）求出当时，即可得到答案； （2）根据到y轴的距离为横坐标的绝对值得到点P的横坐标为，据此求出当时和当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； （2）解：∵点P到y轴的距离为1， ∴点P的横坐标为， 在中，当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 19．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（）由对称轴即可求解； （）令，解一元二次方程即可求解， 本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线为， 令， ∴， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数． (1)若函数图象过点，求函数表达式及其顶点坐标． (2)当时，y的最小值为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质及待定系数法求二次函数解析式： （1）将带你的坐标代入即可解决问题． （2）对抛物线对称轴的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以函数表达式为． 因为， 所以顶点坐标为． （2） 解：因为，且， 则当时， ， 解得（舍负）； 当时， ， 解得（舍去）； 所以n的值为． 21．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数（a为常数）的图像的对称轴为， (1)求a的值 (2)若点，点均在该函数的图像上，且满足，求m的取值范围 (3)向下平移二次函数的图像，使其经过原点，求平移后图像所对应的二次函数的表达式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数的增减性，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）根据抛物线上关于对称轴对称的两个点的坐标可得对称轴，再建立方程求解即可； （2）由抛物线的开口方向结合离对称轴越远的点的函数值越大，再建立不等式解题即可； （3）根据二次函数的平移规则，上加下减可得答案； 【详解】（1）解：∵时， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴． 解得； （2）∵， ∴抛物线的开口向上， ∵点，点均在该函数的图像上，且满足， ∴， 解得：， （3）由（1）知，，则该抛物线解析式是：． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点． ∴平移后图像所对应的二次函数的表达式是. 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴，y轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图象的对称轴． (2)若函数表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1)，对称轴为：直线，详见解析； (2)最小值为，详见解析； (3)或，详见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）根据待定系数法求解析式，再利用性质求出对称轴即可求解； （2）根据等式的性质，构造以为函数的二次函数，求函数最值即可； （3）根据题意得出，将点代入，解方程即可得解． 【详解】（1）依题意得，， 解得： ， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为：直线； （2）∵函数的表达式可以写成， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴或． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．    (1)求m的值以及二次函数的解析式． (2)根据图象，直接写出当时x的取值范围． (3)若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的基本性质和二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据待定系数法求解； （2）即一次函数图象在抛物线上方，观察图象即可求解； （3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：，与x轴无交点即方程无实数根，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数； （2）由图象得：当时x的取值范围为； （3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：， 与x轴无交点即方程无实数根， 由题意得：， 解得；． 24．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数的图象和性质进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示． 请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质_________________； ②函数图象与x轴有_________个交点，所以对应的方程有________个实数根； (2)分析思考： ③方程的解为__________________； ④关于x的方程有4个实数根时，n的取值范围是_________； (3)延伸探究： ⑤将函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象，直接写出平移过程． 【答案】(1)①图象关于y轴对称，或当时，y随x的增大而增大；②2，2； (2)③；④； (3)⑤先向左平移2个单位，再向下平移4个单位． 【分析】（1）①结合图象，写出一条性质即可；②观察图象，即可得出图象与轴的交点个数，进而得出对应方程的根的个数； （2）③图象法解方程即可；④图象法求出的取值范围即可； （3）⑤根据二次函数的平移规则：上加下减，左减右加，即可得出结论． 【详解】（1）解：①函数的性质：图象关于y轴对称； 或当时，y随x的增大而增大． 故答案为：图象关于y轴对称；或当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根； 故答案为：2，2； （2）解：③如图， 作，与函数交于， 故方程的解为； ④如图，作， 关于x的方程有4个实数根，故n的取值范围是； 故答案为：； （3）解：根据二次函数的平移方法可知：将函数的图象经过先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到函数的图象． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，图象法解一元二次方程，二次函数的平移．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$