浙教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

2024-2025学年浙教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列函数一定属于二次函数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）将二次函数化为的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是随机事件的是（    ） A．朝上点数为6 B．朝上点数大于0 C．朝上点数小于7 D．朝上点数大于7 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）由二次函数，可知下列说法正确的是（   ） A．其最小值为1 B．其图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其图像与轴的交点为 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·浙江·期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．（九年级上·浙江杭州·期中）若函数y=(m-1)x|m|+1是二次函数，则m的值为 . 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数（a为常数，且），当时，对于任意一个m的值，都有，则m的取值范围为 ． 13．（23-24九年级下·浙江台州·期中）桌面上倒扣着外形完全一致的四张卡片，抽取其中两张，正面恰好都带有“光盘行动”字样卡片的概率是 ． 14．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接并取中点M，连接．则长度的取值范围 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．（23-24九年级上·浙江金华·期中）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． (1)求小明抽到4的概率； (2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 18．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 19．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知直线经过点和点． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上． ①求的取值范围； ②设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移1个单长度后得到的点也在抛物线上时，求抛物线在的图象的最低点的坐标． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． (2)求出此过程中线段扫过图形的面积（结果保留）． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为．    (1)画出的外接圆，并直接写出的半径： (2)在圆上找一个点，使得是直角三角形，且点在格点上． 24．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接． (1)如图1，若经过圆心O． ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明． (2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙教版九年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列函数一定属于二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）将二次函数化为的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查的是二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法把原式变形，把一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是随机事件的是（    ） A．朝上点数为6 B．朝上点数大于0 C．朝上点数小于7 D．朝上点数大于7 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．据此即可求解； 【详解】解：A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故该选项符合题意； B. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故该选项不符合题意； C. 郑一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故该选项不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， 故选：D． 5．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：D． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）由二次函数，可知下列说法正确的是（   ） A．其最小值为1 B．其图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其图像与轴的交点为 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：二次函数， ，函数图象开口向下，函数图象的对称轴为，函数图象的顶点坐标是，函数有最大值为1，当时，随的增大而增大，当时，，其图象与轴的交点为，故选项不符合题意，符合题意． 故选：C 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，弦于，若，，则直径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的知识，根据垂径定理可得，，连接，设，则，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，， 设，则， 在直角中，， ∴， 解得，，，即 ∴， 故选：D． 8．（22-23九年级上·浙江·期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价没上涨1元，其销售量就减少5元”的含义． 根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选：C 9．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、折叠问题 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．（九年级上·浙江杭州·期中）若函数y=(m-1)x|m|+1是二次函数，则m的值为 . 【答案】-1 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式，即可求解． 【详解】根据二次函数的定义可得：，解得：m=－1. 故答案为：m=－1. 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数（a为常数，且），当时，对于任意一个m的值，都有，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，对于任意一个m的值，都有，得出，解不等式组即可． 【详解】解：二次次函数的对称轴为：直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵当时，对于任意一个m的值，都有， ∴，当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴此时二次函数的最小值是， 当时，对于任意一个m的值，都有， ∴在时，函数必须取到最小值， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24九年级下·浙江台州·期中）桌面上倒扣着外形完全一致的四张卡片，抽取其中两张，正面恰好都带有“光盘行动”字样卡片的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，先将四张卡片分别用A、B、C、D表示，其中A、D表示带有“光盘行动”字样卡片，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两张正面恰好都带有“光盘行动”字样卡片的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：四张卡片分别用A、B、C、D表示，其中A、D表示带有“光盘行动”字样卡片， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两张正面恰好都带有“光盘行动”字样卡片的结果数为2， 所以两张正面恰好都带有“光盘行动”字样卡片的概率． 故答案为：． 14．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【知识点】根据旋转的性质求解、 三角形外接圆的说法辨析、等边三角形的性质 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：120． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接并取中点M，连接．则长度的取值范围 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间，取的中点E，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后确定的范围．根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点E，连接、、． 在直角中，， ∵是直角斜边上的中点， ∴． ∵M是的中点，E是的中点， ∴． ∵， ∴，即． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 【答案】/8米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入， ， 解得（舍去）或， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．（23-24九年级上·浙江金华·期中）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去． (1)求小明抽到4的概率； (2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】游戏的公平性、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断．游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． （1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可． 【详解】（1）解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有1种． 所以，． （2）解：不公平． 理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种． 所以，． 所以小明去看演唱会的概率为，小亮去看演唱会的概率为：． 因为，所以，游戏不公平． 18．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，把解析式设为顶点式，根据利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意得到点A到对称轴的距离，即可得到点A的横坐标，再求出点A的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为． （2）解：点，在同一高度， 点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为． 19．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键； (1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； (2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接 是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， （2）解：是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故的半径为 20．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用AAS证明； （2）连接，根据得到，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）∵为直径， ∴平分 ∵C为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 【点睛】本题考查圆的相关知识、垂径定理以及全等三角形的判定和勾股定理，解一元二次方程等知识,解决问题的关键在圆内通过等弧进行角或边的转换． 21．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知直线经过点和点． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向上． ①求的取值范围； ②设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移1个单长度后得到的点也在抛物线上时，求抛物线在的图象的最低点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换; （1）把和分别代入，解方程组即可得出结果； （2）①设抛物线的解析式为，结合抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，可得，解答不等式即可； ②根据点与关于对称，可得点的坐标，代入抛物线即可得出的值，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：把和分别代入，得： ， 解得 直线的解析式是 （2）解：①点在直线上， ， 设以为顶点的抛物线为：， 抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点， 抛物线过点， ， 解得； ②点和点关于直线对称，且， 点的横坐标为， 点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， 点在抛物线上， 把代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， 解得，， 当 时，，对称轴为直线， 在内，随着的增大而增大， 当时，取到最小值， 此时图象的最低点坐标为； 当时，，对称轴为直线， 在内，顶点是最低点，坐标为． 抛物线在的图象最低点的坐标是 或． 22．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别是，． (1)画出绕点顺时针旋转后所得的图形． (2)求出此过程中线段扫过图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)此过程中线段扫过图形的面积为 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、画旋转图形、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了作图—旋转变换、旋转的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再顺次连接即可； （2）先计算出的长，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：如图， ，，， 此过程中线段扫过图形的面积． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为．    (1)画出的外接圆，并直接写出的半径： (2)在圆上找一个点，使得是直角三角形，且点在格点上． 【答案】(1)作图见解析，半径为； (2)作图见解析． 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、勾股定理与网格问题、格点作图题 【分析】（）作和的垂直平分线，交点即为点的位置，在网格中应用勾股定理即可求得半径； （）只能是或，直接利用网格作图即可； 本题考查了尺规作图、确定圆的条件，掌握三角形外接圆圆心是三边线段垂直平分线的交点是解题的关键． 【详解】（1）（）作和的垂直平分线，交点即为点，如图：    根据勾股定理可得半径为； （2）解：当是直角三角形时，且点在上，只能是或，利用网格作图如下，点、即为所求．    24．（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接． (1)如图1，若经过圆心O． ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明． (2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)①；②等边三角形，证明见解析 (2)小明的说法正确，无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理的推论 【分析】本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到答案；②根据等边三角形的性质和题意证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）证明，得到，根据圆内接四边形的性质得到，证明等边三角形，根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴， ∴，又经过圆心O， ∴， ∴； ②等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴等边三角形； （2）解：无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴等边三角形， ∴， ∴无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$