第04讲 正方形的性质与判定（二） （1个知识点+1种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 正方形的性质与判定（二） （1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【例1】（2024•金昌三模）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是　　 A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是正方形时， D．当是菱形时， 【变式1】（2024•费县二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的是 　　（填序号）． 【变式2】（2024•东莞市三模）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2024•海淀区）如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为 ，正方形的面积为 ． （1）关于的函数表达式是 　　，自变量的取值范围是 　　； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； （3）当　　时，正方形面积有最小值 　　． 经典题型汇编 题型一．正方形的判定与性质 1．（2023秋•合肥期末）如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为　　 A．6 B． C．10 D．12 2．（2024•德阳模拟）如图，点是正方形的对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形，连接．下列结论：①平行四边形是正方形；②；③；④．其中正确的是 　　（填序号）． 3．（2024•长子县二模）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 练习试卷 一、单选题 1．（2024·重庆大渡口·一模）一个正方形的边长为，它的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）若中对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为菱形 B．当时，为正方形 C．当时，为矩形 D．当时，为矩形 3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 4．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，则的长为（    ）    A．6 B． C．18 D． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．两条对角线相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 6．（23-24九年级上·福建三明·期中）在矩形中，M，N，P，Q依次为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意给定的矩形，下列三个结论中， ①存在无数个四边形是矩形； ②存在无数个四边形是菱形； ③至少存在一个四边形是正方形． 正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，在正方形中，边、上分别有E、F两点，，平分交于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（11-12九年级上·湖北宜昌·期末）顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ． 12．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    13．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 ． 14．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，， ． 15．（21-22九年级上·四川雅安·期末）如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ． 16．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，，点是中点，是边上一动点，将折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长是 ． 17．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．    18．（21-22九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是正方形，点E在的延长线上，连接，交于点F，连接，点H是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，则的面积为．正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 19．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？请证明． 20．（22-23九年级上·广东中山·期中）如图，已知正方形的边长是5，点E在上，将经顺时针旋转后与重合． (1)指出旋转的中心和旋转角度； (2)如果连接，判断的形状并说明理由； (3)向右平移后到的位置，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 21．（23-24九年级上·陕西延安·期末）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作，垂足为，以为边作正方形，当点落在坐标轴上时，求点的坐标． 23．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形的外侧作了直线． (1)【动手操作】 点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．依题意在图①中补全图形； (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数； (3)【拓展延伸】 如图②，若，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 25．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 26．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：    （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长：    ②如图3，若，且，求四边形的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 正方形的性质与判定（二） （1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【例1】（2024•金昌三模）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是　　 A．当时，是矩形 B．当时，是菱形 C．当是正方形时， D．当是菱形时， 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个判断即可． 【解答】解：、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； 、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； 、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意； 、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了对矩形、菱形、正方形的判定和性质的应用，能正确运用判定定理和性质定理进行判断是解此题的关键． 【变式1】（2024•费县二模）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的是 　①③　（填序号）． 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误． 【解答】解：过作，过作于，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形，故①正确； ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分，故③正确； ，故②错误； 当时，点与点重合， 不一定等于，故④错误． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 【变式2】（2024•东莞市三模）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形；故①正确； ②过作于，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故②正确； ③连接，于是得到，即当时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确； ④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理得到，故④正确． 【解答】解：①四边形是矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形；故①正确； ②过作于， 点，点， ，， ，， ， ， 的面积为，故②正确； ③连接， 则， 即当时，取最小值， ，， ， ， 即的最小值为；故③正确； ④， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【变式3】（2024•海淀区）如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为 ，正方形的面积为 ． （1）关于的函数表达式是 　　，自变量的取值范围是 　　； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； （3）当　　时，正方形面积有最小值 　　． 【分析】（1）证明，利用正方形的面积正方形的面积三角形的面积，即可得出与之间的函数关系式； （2）结合（1）即可画出函数的图象； （3）根据二次函数的性质即可求出最值， 【解答】解：（1）在边长为的正方形中，，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 同理，可证出：， ， 即； 故答案为：，； （2）如图，即为函数的图象； （3）． 当时，正方形面积有最小值为． 故答案为：2，8． 【点评】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，二次函数最值，全等三角形的判定与性质，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．正方形的判定与性质 1．（2023秋•合肥期末）如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为　　 A．6 B． C．10 D．12 【分析】先证明与均是等腰直角三角形，通过性质证明进行推理计算． 【解答】解：，，， 与均是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（2024•德阳模拟）如图，点是正方形的对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形，连接．下列结论：①平行四边形是正方形；②；③；④．其中正确的是 　①③　（填序号）． 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误． 【解答】解：过作，过作于，如图所示， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形是正方形，故①正确； ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； ，故②错误； 当时，点与点重合， 不一定等于，故④错误． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 3．（2024•长子县二模）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点在对角线中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点，连接，，，又发现：在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【分析】（1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （3）取的中点，取的中点，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， ， 点绕点逆时针旋转得到点， ，， ， ，， ， ， ， 四边形的形状都是矩形， ， 四边形是正方形． （2），理由如下： 连接，， 四边形是正方形，是的中点， 是的中点，，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，是的中点， ，，， 是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， 是的中点， ， ， ． （3）取的中点，取的中点， 连接，，，， ， ， ， 根据（2）得，， ，，， ，，， 四边形是正方形，是的中点，， ，，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（2024·重庆大渡口·一模）一个正方形的边长为，它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积计算，由正方形的面积等于边长的平方即可求解，掌握正方形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故选：． 2．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）若中对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（    ） A．当时，为菱形 B．当时，为正方形 C．当时，为矩形 D．当时，为矩形 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，据此逐项分析即可作答，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 【详解】解：A、当时，则，那么是矩形，不一定是菱形，故该选项不符合题意； B、当时，是菱形，不一定为正方形，故选项B不符合题意； C、当时，为矩形，故选项C符合题意； D、当时，为是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：． 故选：B． 4．（23-24九年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕着点B旋转后，点D落在的延长线上的处，则的长为（    ）    A．6 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质； 根据正方形的性质和勾股定理求出，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， 故选：B． 5．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．两条对角线相等的平行四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了命题真假判断、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定，由平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·福建三明·期中）在矩形中，M，N，P，Q依次为边，，，上的点（不与端点重合），对于任意给定的矩形，下列三个结论中， ①存在无数个四边形是矩形； ②存在无数个四边形是菱形； ③至少存在一个四边形是正方形． 正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，先判定四边形是平行四边形，再根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，逐个判定即可得到结论． 【详解】解：连接，交于O，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 过点O的直线和，分别交，，，于M，N，P，Q， ∴，， 所以，， 所以，， 则四边形是平行四边形， ①如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故①正确； ②如图，当时，存在无数个四边形是菱形；故②正确； ③当四边形是正方形时，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 当四边形为正方形时，四边形是正方形，故③错误； 故正确结论的序号是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握相差的判定与性质定理是解题的关键． 7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，在正方形中，边、上分别有E、F两点，，平分交于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，角的平分线，三角形全等的判定性质，设的交点为G，利用证明，得，，结合平分，得到,根据，计算即可． 【详解】设的交点为G， 如图，∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，    ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴， 故选C． 8．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答案. 【详解】解：过点作于，于， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选: ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 10．（20-21九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形，，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，和勾股定理，正确的作出辅助线是本题的关键． 二、填空题 11．（11-12九年级上·湖北宜昌·期末）顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、，   、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 12．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 13．（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=． 【详解】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形 故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大 ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 ∴∠ABD=60° ∴∠ABF=60°-30°=30° ∴AF= ∴FG=AD-AF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱． 14．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，， ． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用． 分别以、为对称轴作点的对称点，根据对称的性质得到，，从而得到四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的长． 【详解】解：分别以、为对称轴，作D点的对称点分别为E、F、延长、相交于点， ，， 根据轴对称性质得， ，，，，,, , 四边形是正方形， ， 设，则， , 在中，， 即, 解得， , 故答案为：． 15．（21-22九年级上·四川雅安·期末）如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，连接，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，由同角的余角相等可证明，从而可证明，则可得，最后在利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片， ∴， 如图，过点作，垂足为，连接，则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由轴对称的性质可知， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵， ∴， ． 设，由翻折的性质可知，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次根式的乘法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，，点是中点，是边上一动点，将折叠得到，连接，当是直角三角形时，的长是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，运用以上知识点进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当时， 由折叠的性质可得，，， ， 、、共线， 点是中点，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 17．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则 ．    【答案】8 【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，    在中，∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 18．（21-22九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，四边形是正方形，点E在的延长线上，连接，交于点F，连接，点H是的中点，连接，则下列结论中：①；②；③；④若，则的面积为．正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】证明△ABE≌△ADF（ASA），可判断①；利用等腰三角形三线合一性质证明AH⊥EF，可得∠ABE=∠AHE=90°，最后得出结论即可判断②；在BC上截取CG=CF，连接FG，利用等腰直角三角形性质及中位线定理进行判断③；过点H作HM⊥BC，可得HM=FC，最后求得的面积进行判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF=∠BAD=90°， ∴∠BAE=∠DAF， ∴△AEE≌△ADF（ASA）， ∴BE=DF，故①正确； ∵△AEE≌△ADF， ∴AE=AF， 设AB与EH相交于点O，则∠BOE=∠AOH， ∵点H是的中点， ∴AH⊥EF， ∴∠ABE=∠AHE=90°， ∴，故②正确； 如图，在BC上截取CG=CF，连接FG， ∵∠C=90°， ∴△CGF是等腰直角三角形， ∴， ∵BC=DC，CG=CF， ∴DF=BG， ∵DF=BE， ∴BG=BE， ∵EH=HF， ∴BH=GF， ∴，故③正确； 如图，过点H作HM⊥BC， ∵， ∴CF=3，BE=1， ∵EH=HF，HM⊥BC，FC⊥BC， ∴HM=FC=， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③共3个， 故答案为 ①②③． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题 19．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，在四边形中，，，点E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？请证明． 【答案】(1)见解析 (2)当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，证明见解析 【分析】（1）先证明得到，，由点E，F分别是的中点得，，然后运用证明即可； （2）易证四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，由直角三角形的性质证明得平行四边形是菱形，由，点是的中点可证明菱形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵点分别是，的中点 ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，点是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，点是的中点， ∴，即 ∴菱形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟练掌握特殊平行四边形的判定定理以及性质定理是解答此题的关键． 20．（22-23九年级上·广东中山·期中）如图，已知正方形的边长是5，点E在上，将经顺时针旋转后与重合． (1)指出旋转的中心和旋转角度； (2)如果连接，判断的形状并说明理由； (3)向右平移后到的位置，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)旋转的中心是点A，旋转的角度是； (2)是等腰直角三角形，详见解析 (3)，，详见解析 【分析】（1）本题考查旋转的性质及正方形的性质，根据与相交于点A即可得到旋转中心，根据正方形得到，结合旋转得到，即可得到，即可得到答案； （2）本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据旋转得到，结合（1）即可得到答案； （3）本题考查平移的性质及直角三角形两锐角互余，根据平移得到相等，根据直角三角形两锐角互余得到位置关系即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵与相交于点A， ∴点A是旋转中心， ∵四边形是正方形， ∴， ∵经顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∴旋转的中心是点A，旋转的角度是； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ， ∵经顺时针旋转后与重合， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵向右平移后到， ∴，， ∵， ∴， ∵经顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，． 21．（23-24九年级上·陕西延安·期末）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)45 (2)，详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，，再根据正方形的性质求解； （2）延长到，使，证明，即可得到结论； （3）根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知，， 正方形纸片， ， ， ， ， ； （2）解：延长到，使， 正方形纸片， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得或． 22．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作，垂足为，以为边作正方形，当点落在坐标轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，或． 【分析】 本题考查一次函数综合应用，涉及正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． （1）用待定系数法可得一次函数的解析式为； （2）当点在轴上时，作于，于，证明，可得，四边形是正方形，设正方形的边长为，再证明，即有，故，，从而，由，得直线的解析式为，即可得，；当点在轴上时，此时与重合，，可得． 【详解】（1） 设一次函数的解析式为， 一次函数的图象与坐标轴交于，两点， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2） 当点在轴上时，作于，于，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，四边形是正方形， 设正方形的边长为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，其过，两点， ， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ，； 当点在轴上时，如图： 此时与重合，， ，可得． 综上所述，满足条件的的坐标为，或． 23．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形的外侧作了直线． (1)【动手操作】 点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．依题意在图①中补全图形； (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数； (3)【拓展延伸】 如图②，若，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】 （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，根据轴对称的性质得出，，根据正方形的性质可得，根据等腰三角形的性质即可得答案； （3）连接、、，根据轴对称的性质，利用可证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，在和中，利用勾股定理表示出即可得答案． 【详解】（1）解：（1）补全图形如图①所示． （2）如图，连接， ∵点是点关于的对称点， ∴，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵，． ∴． ∴． （3）．理由如下： 如图，连接、、， ∵四边形是正方形，且点与点关于直线对称， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在和中，，， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是“等中三角形”，理由见解析（3）存在，的长3． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等： （1）以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）取的中点D，连接，根据勾股定理可求出的长，从而得到，即可； （3）分三种情况，结合“等中三角形”的定义，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）是“等中三角形”．理由如下： ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形较短直角边上的中线大于较长直角边， ∴取的中点D，连接，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“等中三角形”； （3）存在． 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取的中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点B时，是等中三角形； 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点A时，是等中三角形； 当中线长时，取中点E，以E为圆心，以为半径画圆，交于P，此时； 根据题意可得：当中线长时，点P到的距离最大， 即当中线长时，是面积最大的等中三角形， 此时：，四边形为矩形， 此时． 25．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N． （1）求证AE＝MN； （2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________． 【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝45°；（3）10﹣2 【分析】（1）过点B作BF∥MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN＝BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE＝BF，即可得出结论； （2）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD＝HQ，AH＝QI，由HL证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH＝∠QEI，证∠AQE＝90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）延长AG交BC于E，则EG＝AG＝6，得AE＝12，由勾股定理得BE＝＝2，则CE＝BC﹣BE＝10﹣2，由折叠的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD， 过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴MN＝BF，BF⊥AE， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∵∠ABF+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AE＝MN； （2）解：连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形， ∴HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中， ， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （3）解：延长AG交BC于E，如图3所示： 则EG＝AG＝6， ∴AE＝12， 在Rt△ABE中，， ∴CE＝BC﹣BE＝10﹣2， 由折叠的性质得：AC'＝CE＝10﹣2， 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 26．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：：    （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长：    ②如图3，若，且，求四边形的面积．    【答案】（1）见解析；（2）①四边形的周长为；②． 【分析】（1）运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （2）①运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；②由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图①，、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （2）①：如图②，、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； ②：如图③，、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$