九年级上册 第1章 第8课时正方形的性质与判定(2)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第8课时 正方形的性质与判定(2) 新课学 正方形的判定方法： 1.有一组邻边 ,并且有一个角是 的平行四边形是正方形 2.(1) 的矩形是正方形； (2) 的矩形是正方形； (3) 的菱形是正方形； (4) 的菱形是正方形 知识点正方形的判定 例1已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C 变式1如图，矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC =90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是的平分线交于BC边上一点E,点F为矩形外一 正方形，那么这个条件可以是 ) 点，四边形AEDF为平行四边形.求证：四边形 A.∠D=90 AEDF是正方形 B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 例2数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线变式2（教材P25T3改编）如图，E,F,P,Q分 时，是这样操作的：分别以点A,B为圆心，大于 别是正方形ABCD四条边上的点，并且DF= 合AB长为半径画弧，两孤相交于点C,D,则直线 BQ=CE=AP.求证：四边形EFPQ是正方形. CD即为所求.作完图之后，嘉嘉经过测量发现 AC=BC=AD=BD,AB=CD,根据他的作图方 法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的 理由是 A.两组对边分别平行的菱形是正 方形 B.四条边相等的菱形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一个角是直角的菱形是正 方形 ●>164 第一章特殊平行四边形 课堂检 基础过关 1.下列说法不正确的是 2.如图，在四边形ABCD中， A.一组邻边相等的矩形是正方形 ∠ABC=∠BCD=∠CDA= B.对角线互相垂直的矩形是正方形 90°，对角线AC与BD相交于点 C.对角线相等的菱形是正方形 O.若不增加任何字母与辅助线， D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的 一个条件是 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC 于点O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF, 的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线 OE=OA.求证：四边形AECF是正方形 于点E,过点E作EF⊥BC交其延长线于点F 求证：四边形ABFE是正方形. 能力检测 5.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC,垂足为F,交直线m于点E,连接BE. (1)求证：CE=AD; (2)如图2，当点D是AB中点时，连接CD ①四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由； ②当∠A= °时，四边形BECD是正方形.（直接写出答案） 图2 ●>17《0高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 3.证明：，菱形ABCD的对角线AC与 ∠CAD= BD相交于点O,AC⊥BD. ∠BAC,∠CAN= 2 ∠CAM. .'BF⊥CE,∴.∠BCE+∠CBG=90° ∴.∠BCE=∠ABF. ,BE∥AC,CE∥BD, .∠DAE=∠CAD+∠CAN= (∠BAC 在△BCE和△ABF中， .四边形OBEC是平行四边形， :∠BCE=∠ABF,BC=AB,∠CBE= 又AC⊥BD,∴.∠BOC=90°， +∠CAD= ×180°=90 ∠A,.△BCE≌△ABF(ASA)」 .四边形OBEC是矩形 在△ABC中，，AB=AC,AD为∠BAC ..CE=BF. 4.解：(1)BD=CD.理由如下： 的平分线，AD⊥BC,∠ADC=90°. 【变式2】解：BE=DF,且BE⊥DF. 依题意得AF∥BC, 又CE⊥AN,.∠CEA=90°， 理由如下：，四边形ABCD是正方形， .∠AFE=∠DCE, .四边形ADCE为矩形， ∴.BC=DC,∠BCE=90°. E是AD的中点，.AE=DE, 【变式2】证明：：四边形ABDE是平行四 .∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90° 又，∠AEF=∠DEC, 边形，.BD∥AE,BD=AE ∴.∠BCE=∠DCF .△AEF≌△DEC(AAS), 又BD=CD,AE=CD 又，∠CBE=∠CDF, '.AF=CD,.AF=BD,.'.BD=CD. .四边形ADCE是平行四边形 ,∴.△BCE≌△DCF.∴.BE=DF (2)当△ABC满足AB=AC时，四边形 AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC 如答图所示，延长BE交DF于点M AFBD是矩形. .∠ADC=90°.∴.□ADCE是矩形 ,△BCE≌△DCF, 理由如下：AF∥BD,AF=BD, ∴.∠CBE=∠CDF .四边形AFBD是平行四边形， 【课堂检测 .∠DCF=90°， AB=AC,BD=CD,∴.∠ADB=90° 1.B2.D ,.∠CDF+∠F=90° (三线合一)，.口AFBD是矩形 3.解：如答图，连接AC, ∴.∠CBE+∠F=90° 答图 (3)∠BAC=90 .AB=CD ∠BMF=90°..BE⊥DF ∠B=∠D=90°， 【课堂检测 第6课时 矩形的性质与判定(3) AC=CA, 答图 1.B2.B3.22.5 〔新课学习 .Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ..AD-BC, 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形 性质：2.相等3.(1)两条 ,四边形ABCD是平行四边形 △EDC是等边三角形， 判定：1.平行四边2.相等 三 又：∠B=90°， .AD=BC=CD=DE=CE,/ADC= 【例1】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是矩形 ∠BCD=90°，∠ECD=∠EDC=60°. AC-BD,0A=0C-号AC 4.解：如答图，连接EB .∠ADE=∠BCE=30° EF垂直平分BD 在△ADE和△BCE中，DA=CB, OB=OD-=2BD∴OC=OD ∴.ED=EB, ∠ADE=∠BCE,DE=EC, 设AE=xcm, .△ADE≌△BCE(SAS) .DE∥OC,EC∥OD, .四边形OCED为平行四边形. 则DE=EB=(8 x)cm (2)解：CE=CB,∠BCE=30°， OC=OD,.四边形OCED是菱形. 四边形ABCD是矩形，.∠A=90°， ∠BBC-∠CEB=7180-30=75, (2)解：四边形OCED是菱形， .在Rt△AEB中， 四边形ABCD是正方形， ..OC=OD=CE=DE=2, 根据勾股定理，AE+AB=BE, .AD∥BC,.∠AFE=∠EBC=75° ∠A0D=120°，∴∠C0D=60°， 即x+62=(8-),x= 4, 5.证明：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴△OCD是等边三角形， .AB=AD,.AC平分∠BAD,∠BAF ..OD=OC=CD=2, 即AE=? 4 cm =∠DAF=45 :四边形ABCD是矩形， 5.B6.2√3 在△BAF和△DAF中， ∴.AC=BD=2OC=4, .AB=AD,.∠BAF=∠DAF ∴.AD=√AC-CD=√I6-4=2√5， 第7课时 正方形的性质与判定(1) AF=AF,∴.△BAF≌△DAF(SAS) ∴矩形ABCD的面积为2X25=4√5. 【新课学习] (2),四边形ABCD是正方形， 【变式1】解：：四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°，∠DAC=45°，AB=AD ∴.∠BAD=90°， 1.相等直角 :△ABE是等边三角形， AC-BD.AO-CO-AC, 2.菱形矩形(1)直角相等 .AE=AB=AD,∠BAE=60° (2)相等垂直平分 B0=D0=2BD, ∴.∠DAE=∠BAD+∠BAE=150, (4)①四②两条对角线 A0=B0=D0=号BD, 【例1】(1)√21(2)45°45 则∠ADE=∠AED=号×(180°-150) 【变式1】解：四边形ABCD是正方形， =15°，.∠AFE=∠DAC+∠ADE=45 BD=4BE,∴.BE=OE, +15°=60° 又AE⊥BD,∴.AB=AO. .AB=BC=AD=1,∠B=∠D=90°， ∴.AB=AO=BO, ∴AC=√2.AE平分∠DAC,∠D=90°， 第8课时正方形的性质与判定(2) 即△ABO是等边三角形， EF⊥AC,'.EF=DE.又AE=AE, ∴∠ABO=60°，.∠ADB=90°-∠ABO .Rt△AFE≌Rt△ADE, 〔新课学习】 =90°-60°=30° .'.AF=AD-1, 1.相等直角 AE=AD=合×6=8. ∴.FC=AC-AF=√2-1. 2.(1)对角线互相垂直(2)有一组邻边 【例2】证明：，四边形ABCD是正方形， 相等(3)对角线相等(4)有一个角 【例2】证明：：AD平分∠BAC,AN平分 ∴.AB=BC,∠A=∠CBE=90° 是直角 ∠CAM, ∴.∠ABF+∠CBG=90°. 【例1】D 4 参考案 【变式1】证明：四边形ABCD是矩形， 第9课时《特殊平行四边形》 解得m=2. ∴∠BAD=∠CDA=90°， 热门考点整合应用 【例3】B ,AE,DE平分∠BAD与∠CDA, 〔知识体系了 【变式3】解：x(x十1)=3(x一2)变形，得 ·∠EAD=1 x2-2x+6=0,.a=1,b=-2,c=6. 2 ∠BAD=45°， ①直角②相等③相等④直角 ⑤相等 ⑥互相垂直⑦平分一组对角 【课堂检测) ∠EDA=2∠CDA=45, ⑧相等⑨互相垂直 ⑩相等①直角 1.B2.B ∠EAD=∠EDA,AE=DE, 【基础巩固 3.(1)解：一般形式为2x2-6x-9=0, :∠EAD+∠EDA+∠AED=180°， 二次项系数为2，一次项系数为一6， 1.C2.C3.A4.B5.B6.2 ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=90°， 7.证明：四边形ABCD是菱形， 常数项为一9. 又：四边形AEDF为平行四边形， ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, (2)解：一般形式为4x-x-7=0, .四边形AEDF是正方形 二次项系数为4，一次项系数为一1， .BE=BF,..AE=CF, 【例2】C 常数项为一7. (DA=DC, 【变式2】证明：四边形ABCD是正方 在△DAE和△DCF中，∠A=∠C, (3)解：一般形式为x2+1=0, 形，.AB=AD,∠A=∠B=90°， AE-CF, 二次项系数为1，一次项系数为0， DF=AP,∴.AB-AP=AD-DF ∴.△DAE≌△DCF(SAS), 常数项为1. ∴.BP=AF (4)解：一般形式为x2-5x-4=0, .DE=DF,∴.∠DEF=∠DCF 又BQ=AP,∴.△APF≌△BQP, 二次项系数为1，一次项系数为一5， 【能力提升】 常数项为一4. .FP=PQ. 8.A9.D 同理PF=PQ=QE=EF 4.D5.x2-2x-48=0 10.解：(1)证明：四边形ABCD是平行 6.(8-2x)(5-2x)=28 .四边形EFPQ是菱形 四边形，AD∥BC 2x2-13x+6=0 ,△APF≌△BQP,∠AFP=∠BPQ. .∠AFO=∠EBO. :∠AFP+∠APF=90°， 7.解：(1)由原方程得(m一2)x2一4x+1=0, O是BF的中点，.OB=OF ,该方程是一元二次方程， ∴.∠BPQ+∠APF=90°. 在△AOF和△EOB中， .m-2≠0，解得m≠2 ∴.∠FPQ=90°，∴.菱形EFPQ是正方形 ∠AFO=∠EBO, (2).(m-2)x2-4x十1=0为一元 【课堂检测 ∠AOF=∠BOE, 次方程，∴.m-2=0,解得m=2. 1.D2.AB=BC(或AC⊥BD等) OF=OB, 3.证明：四边形ABCD是菱形， ,∴.△AOF≌△EOB(AAS),∴.OA=OE 第2课时 一元二次方程(2)】 .AC⊥BD,OA=OC,OB=OD OB=OF,.四边形ABEF是平行 汇新课学可】 ,BE=DF,∴OE=OF, 四边形.，AB=AF,.四边形ABEF 相等 .四边形AECF是菱形..OE=OA, 是菱形 ∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2).AD∥BC, 【例1】A 【变式1】B .∠BAD+∠ABC=180°， 【例20 【变式2】1 .菱形AECF是正方形 ∠BAD=120°，∴.∠ABE=60° 【例3】23 【变式3】G 4.证明：AE∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠BAE=90°， ,'在菱形ABEF中，AB=BE=AF= 【例4】232.32.4 【变式4】-13340.363.33.4 ,EF⊥BC于点F,∠F=90°， EF,.△ABE是等边三角形， ..AE=AB. 33 .∠F=∠ABC=∠BAE=90°， .四边形ABFE是矩形， :在平行四边形ABCD中，AD=BC, 课堂检测】 BD平分∠ABC, AB=CD,..EC=DF=1. 1.(1)-1(2)D2.C3.D .∠ABD=∠DBC=45°， .AB=CD,AB=EF,.'.CD=EF 4.解：当x=2时，5x-24x十28=0，所以方 :AE∥BC,∴∠AEB=∠EBF=45, .AB+BC+CD+AD-22, 程5.x2一24x+28=0的一个根是x=2; .∠ABE=∠AEB=45°，.AB=AE, .AB+BE+1+CD+AF+1=22, 当x=2.5时，5.x2-24x十28=-0.75， .四边形ABFE是正方形 .4AB=20,.AB=AE=5. 当x=3时，5x2-24x十28=1，所以方程 5.(1)证明：，DE⊥BC,.∠DFB=90°， 即AE的长为5. 5x2一24x十28=0的另一个根的范围是 ∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, 2.5<x<3. .AC∥DE, 第二章 元二次方程 5.(1)D(2)56.D 又m∥AB,即CE∥AD,∴.四边形 7.(x+3)(x+1) (x+3)(x+1)=65. ADEC是平行四边形，.CE=AD. 第1课时 一元二次方程(1) x2+4x-62=0 6 (2)①解：四边形BECD是菱形，理由： 【新课学习 ,D为AB中点， 1.ax2+bx+c=0 第3课时用配方法求解 .AD=BD,由(1)得CE=AD 2.一次项常数项ab 一元二次方程(1) BD=CE,又BD∥CE, 【例1】B【变式1】C 江新课学习】 四边形BECD是平行四边形， 【例2】解：，(a-1)2十x一9=0是关于x 完全平方式配方 ,∠ACB=90°，D为AB中点， 的一元二次方程， 【例1】(1)解：x=±√9，x=-3,x2=3. :.CD-BD-7AB, .二次项系数a一1≠0，.a≠1. 【变式2】解：(m十2)xm-1=0是关于 (2)解：x=士√/25，x1=一5，x2=5. .四边形BECD是菱形 x的一元二次方程，：(m=2, (3)解：x+1=士√2， ②45 m+2≠0， x1=-1+√2，x2=-1-√2. 5