九年级上册 第1章 第7课时正方形的性质与判定(1)(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 第7课时 正方形的性质与判定(1) A基础巩固●。。 落实课标 B能力提升●。· 灵活应用 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 6.如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点 ( A,分别过顶点B,D作DE⊥a于点E,BF⊥a A.对角线互相垂直 B.对角线相等 于点F,若DE=4,BF=3,则EF= C.对角线互相平分 D.对角相等 2.正方形具有而矩形不一定有的性质是( A.对角互补 B.四个角相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则 (第6题图) (第7题图) 7.如图，点E,F在正方形ABCD的对角线AC 以AC为边长的正方形ACEF的周长 上，AC=10,AE=CF=3,四边形BFDE的 为 面积为 F 8.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的 60° 点，连接BE,∠EBC=25°，将△BCE绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,求 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点， ∠EFD的度数. 连接DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长 线于点F,连接EF.若AE=1,则EF的长为 5.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的 一点 (1)求证：AE=CE; (2)若DA=DE,求∠DEA的度数， 8 第一章特殊平行四边形 9.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边 C拓展应用)●。· 深度思考 AD,AB上，且AE=BF,连接CE,DF相交 11.如图，两个边长为4的正方形重叠在一起， 于点M.求证：CE⊥DF 点O是其中一个正方形的中心，求图中阴影 部分的面积 10.如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是 线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角 形，其中∠EBF=90°，连接CE,CF. (1)求证：△ABF≌△CBE; (2)判断△CEF的形状，并说明理由. 9高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 9.证明：四边形ABCD是平行四边形 根据折叠的性质知： 又，DE=DE,∴.△ADE≌△CDE ÷0A=0C-2AC,0B=0D-7BD, ∠F=∠A=90°，AB=BF ∴.AE=CE. .∠C=∠F,DC=BF (2)解：四边形ABCD是正方形， AE⊥BD,DF⊥AC, :∠BEF=∠DEC,△DCE≌△BFE. ∴∠ADE=45°，DA=DE, .∠AEO=∠DFO=90°. (2)解：由折叠的性质可知：∠ADB 1 又.·∠AOE=∠DOF,AE=DF, ∠BDF=30° ·∠DAE=∠DEA=2(180°-45)= .△AEO≌△DFO(AAS), .在矩形ABCD中，∠ADC=90°， 67.5° ∴.OA=OD,∴.AC=BD, .∠EDC=30°，.DE=2EC 6.77.20 .□ABCD是矩形 在Rt△CED中，由勾股定理得 8.解：，将△BCE绕点C顺时针方向旋 10.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， DE2-EC=CD2, 转90°得到△DCF, ∴.ND∥AM,.∠NDE=∠MAE, .(2EC)2-EC=(3)2, .CE=CF,∠EBC=∠FDC=25°， ∠DNE=∠AME 即3EC=3,.EC=1,DE-2. ,四边形ABCD是正方形， E是AD的中点，.DE=AE, △DCE≌△BFE,∴.BE=DE=2. .∠BCD=∠DCF=90°， .△NDE≌△MAE 10.解：(1)四边形EGFH是平行四边形， .∠EFC=∠CEF=45°，∴.∠EFD= .ND=MA,.四边形AMDN是平 ∠CEF-∠CDF=45°-25°=20. 理由如下： 行四边形. 由题意得AE=CF=t, 9.证明：四边形ABCD是正方形， (2)解：当AM=1时，四边形AMDN ,四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AD=AB,∠CDE=∠DAF= 是矩形.理由：：四边形ABCD是菱 .AD∥BC,AD=BC,.∠GAE= 90°，又AE=BF,.DE=AF, 形，.AD=AB=2 ∠HCF, 在△CDE和△DAF中， 若□AMDN是矩形，则DM⊥AB,即 ,G,H分别是AD,BC的中点， (CD=DA, ∠DMA=90°. ∠CDE=∠DAF, 又∠DAB=60°，∴.∠ADM=30°， AG=言AD.CH=合BC, DE=AF, ..AM= 2AD=1. ∴.AG=CH, .△CDE≌△DAF(SAS), 在△AEG和△CFH中， .∠DCE=∠ADF, 11.(1)证明：，CF平分∠ACD AE=CE, '∠ADF+∠MDC=∠CDE=90°， ∴∠ACF=∠FCD, ∠GAE=∠HCF, .∠DCE+∠MDC=90°， ,MN∥BD,∠FCD=∠CFO, AG-CH, ∴.∠DMC=90°，∴.CE1DF ∴.∠ACF=∠CFO,∴.OF=OC, .△AEG≌△CFH(SAS), 10.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 同理可证：OC-OE,.OE=OF ∴.EG=FH,∠AEG=∠CFH, .AB=CB,∠ABC=90° (2)解：由(1)知：OF=OC=OE, .∠FEG=∠EFH,.EG∥HF, :△EBF是等腰直角三角形，其中 :CE,CF分别平分∠ACB,∠ACD, .四边形EGFH是平行四边形 ∠EBF=9O°，.BE=BF. ∠ACB+∠ACD=180°， (2)连接GH,由已知条件易知AG= ,∴·∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF, ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°， BH,AG∥BH,∠B=90°， ∴.∠ABF=∠CBE. .EF=√CE+CF=13, ∴.四边形ABHG是矩形， .△ABF≌△CBE(SAS). 0C-BF-号 ∴.GH=AB=6. (2)解：△CEF是直角三角形.理由如 在矩形ABCD中，AB=6,BC=8, 下：：△EBF是等腰直角三角形， (3)解：当点O运动到AC的中点时， ∴.AC=√/AB2+BC=10. ,.∠BFE=∠FEB=45° 四边形AECF为矩形，理由如下： ∴.∠AFB=180°-∠BFE=135°. 当点O运动到AC的中点时，OA=OC ①如答图1，连接GH,当四边形 且OE=OF, EGFH是矩形时，∴.EF=GH=6, 又.'△ABF≌△CBE, .AE=CF=t,.EF=10-2t=6, ∴.∠CEB=∠AFB=135 .四边形AECF为平行四边形， ∴.∠CEF=∠CEB-∠FEB=135 又由(2)知：∠ECF=90°， .t=2: 45°=90° ∴四边形AECF为矩形 ·△CEF是直角三角形 11.解：连接OA, 第6课时矩形的性质与判定(3) OD,如答图所 1.A2.D3.132+254.125 示， 5.解：BC+AC=82+62=102=AB, 答图1 答图2 四边形 .△ABC为直角三角形，∠ACB=90°. ②如答图2，连接GH,当四边形 ABCD,四边形 在Rt△ABC中，F为AB中点 EGFH是矩形时， OGFE都是正 答图 ∴CF=2AB=5, .EF=GH=6,AE=CF=t, 方形，O为正方形ABCD的中心， .EF=t+t-10=2t-10=6,∴.t=8. ..OA=OD, .FE⊥AC,FD⊥BC, 综上，四边形EGFH为矩形时，t=2 ∠OAM=∠ODN=45°， .∠FEC=∠FDC=90° 或t=8.故答案为2或8. ∠AOD=∠GOE=90°， 又，∠ACB=90°， .∠AOM=∠DON, ∴.四边形FDCE是矩形， 第7课时正方形的性质与判定(1) 在△OAM和△ODN中， .DE-CF=5. 6.D7.C8.4 1.B2.C3.164.√10 ∠OAM=∠ODN, 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， OA-OD 9.(1)证明：，四边形ABCD为矩形 ∴.AD=CD,∠ADE=∠CDE, AOM=∠DON, ∠A=∠C,AB=DC. 32 参考苔案 ∴.△OAM≌△ODN(ASA), ∠DAE=∠CNE, SAOAM=SAODN ∠AED=∠NEC, EH/BD,EH=合BD, ∴.S阴影=SAODM十S△DN=S△DM十 DE=CE, 同理FG∥BD,FG-ZBD,EF∥AC, SAQM=SAOAD= .△ADE≌△NCE(AAS), 4S正方形ABCD= 1 年×42=4. .'.AD=NC. EF=号AC.∴EH∥FG,EH=FG, .'AM=MN,且MN=NC+MC, .四边形EFGH是平行四边形 ∴.AM=NC+MC=AD+MC. 第8课时正方形的性质与判定(2) 又.AC=BD,.EH=EF, (2)解：(1)中AM=AD+MC仍然成立. .口EFGH是菱形. 1.A2.D3.C 4.AC⊥BD(答案不唯一) 11.证明：如答图，连接BD,AC交于点O, 微专题1中点四边形 :H,G分别是AD,CD的中点， 5.有一组邻边相等的矩形是正方形 平行四边形菱形 矩形正方形 .HG∥AC, 6.证明：，四边形ABCD是矩形， 1.D2.D3.C4.205.菱形 ·∠D=∠DAB=90°， 6.证明：，H,G分别是AD,CD的中点， HG=合AC AE平分∠DAB,∠EAF=45°， 同理EF∥AC ,EF⊥AB, HG∥AC,HG=号AC .∠D=∠DAF=∠F=90°， 同理EF∥AC,EF-之AC, EF=AC, .四边形AFED是矩形， HE∥BD, :∠EAF=45°，∠F=90°， ∴.HG∥EF,HG=EF, ∴.HG∥EF,HG=EF ∠AEF=45°， .四边形EFGH是平行四边形 .四边形EFGH是平行四边形. ∴.∠EAF=∠AEF,∴.AF=EF, G,F分别是CD,BC的中点， :四边形ABCD是菱形， .矩形ADEF是正方形 .GF∥DB. ,.∠AOD=90° 7.D8.①②③④ 又，AC⊥BD,.∠DOC=90°， 又'HG∥AC,HE∥DB, 9.证明：如答图，连接CD, ∠HGF=90°，.☐EFGH是矩形. ∴.∠EHG=90° 在Rt△ABC中，∠ACB 7.(1)证明：E,F,G,H分别是AC,BC, ,∴.□EFGH是矩形 =90°，且DE⊥AC, BD,AD的中点， DF⊥CB,.四边形 EF=号AB,GH=2AB, 微专题2特殊平行四边形的综合应用 CEDF是矩形， 1.B2.B3.4/134.4.8 :∠BAC和∠ABC的 ..EF=GH, 5.解：(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD 平分线交于点D, 同理EH=FG,∴.四边形EFGH是平 .CD是∠ACB的平分 答图 行四边形。 AG-AC:BG-BD-X16-8, 线，又，DE⊥AC,DF⊥CB, (2)③ DE=DF,四边形CEDF是正方形. 8.证明：如答图，连接 由勾股定理，得AG=√AB一BG=6, BD. ∴.AC=2AG=2X6=12, 10.解：(1)描出四个点如答图所示； 由图可得OA=OC :E,H分别是AB 5Sm=合AC.BD=合×12×16 =1,OB=OD=2, AD的中点， =96. AC⊥BD,.四边形 .EH∥BD, (2)不变.理由：如答图1，连接AO,则 ABCD是菱形. EH-BD. (2)能.当AC=BD SAaD=SAAm+SAAO,号BD·AG= 同理FG∥BD, 时，菱形ABCD是 正方形， FG=合BD,EH∥FG,EH=FG. 2AB:OE+号AD:OP, ..OA=OB=OC=OD=2, ∴四边形EFGH是平行四边形 即×16×6=×10·0E+× 变动后的A点坐标为(2,0)，C点坐 9.证明：如答图，连接BD,AC 标为（一2,0）或A点坐标为(-2,0)， 10·OF,解得OE+OF=9.6,是定值， :E,H分别是 C点坐标为(2,0) 即OE+OF的值不变， AB,AD的中点， 11.(1)证明：如 A ∴.EH∥BD, 答图，延长 AE,BC交于 EH-BD, 点N, M 同理FG∥BD 四边形 答图 ABCD是正方形， FG-Z BD: 答图1 答图2 ∴.AD∥BC,∴.∠DAE=∠ENC EF∥AC,EF=AC (3)变化.如答图2，连接AO,则S△BD 又：AE平分∠DAM, ∴.EH∥FG,EH=FG =SAABO-SAADO .∠DAE=∠MAE, ,∴.∠ENC=∠MAE. ,∴.四边形EFGH是平行四边形 BD·AG-号AB.0E7AD.OE, 在△AMN中，'∠ENC=∠MAE, 又，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD 即号×16×6=号×10·0B-合× ..AM=MN. ,E是CD边的中点，∴DE=CE. ∴EH=EF,.□EFGH是菱形 10·OF, 在△ADE和△NCE中， 10.解：四边形EFGH是菱形，证明如下： 解得OE-OF=9.6,.OE,OF之间的 E,H分别是AB,AD的中点， 数量关系为OE-OF=9.6. 33