第04讲 用一元二次方程解决问题（一）（2个知识点+5种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04讲 用一元二次方程解决问题（一）（2个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2024•淮安区一模）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为步，则所列的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•宜兴市二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•江都区二模）某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为，根据题意可列方程为 　　． 【变式3】（2020秋•天宁区校级期中）在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程） 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2021秋•常州期中）近年来全国房价不断上涨，我市2008年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2010年房价平均每平方米为8500元，假设这两年房价的平均增长率均为，则关于的方程为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•沭阳县期中）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2024•响水县三模）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为　　． 【变式3】（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传播性很强，某次一名奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（假设每轮传染人数相同） 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为，则根据题意列出的方程是 ． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某天李老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后的数据如下表．与第一次锻炼相比，李老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的2倍．设李老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为注：步数平均步长=距离． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步） 10000 ①______ 平均步长（米/步） 0.6 ②______ 距离（米） 6000 6480 (1)根据题意完成表格填空（用含x的代数式表示）； (2)求x的值． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（23-24九年级上·江苏常州·期末）用一根长的铁丝围成面积是的矩形．假设矩形的一边长是，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形中，点为以为圆心，为半径的圆弧上两点，过向作垂线，垂足分别为，向作垂线，垂足分别为，交于点．若四边形均是边长为3的正方形，则 ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积． 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A． B． C． D． 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为，则依题意可得到的方程是 ． 12．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 题型五.营销问题(一元二次方程的应用) 13．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）第届亚运会于月日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ 练习试卷 一、单选题 1．（九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为210万，设新注册用户数的年平均增长率为，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）一块矩形花圃的面积是，它的长比宽多，设长为，由题意可列方程(    ) A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　） A．x （x+1）=45 B． C．x （x﹣1）=45 D． 5．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么菜地就变成正方形，求原菜地的长和宽．若设长方形的宽为，则可得方程为　　 A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）为助力当地经济发展，某地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品．据统计，第一天的销售额为1000万元，第三天的销售额达到1960万元，则第二天、第三天销售额的平均增长率为（　  ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 二、填空题 11．（22-23九年级上·北京西城·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某商店今年1月盈利3万，3月盈利万，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，设月平均增长率x，根据题意可列方程为 ． 13．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ． 14．（2023·江苏苏州·二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 15．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为 ． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 17．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是 尺． 三、解答题 19．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 21．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0． 22．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习） 年 月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有 人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）2023泰州半程马拉松于10月15日举行，商场预售一种印有我市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件，经市场调查，当售价为60元时，每天可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件． (1)若售价50元每天卖出_____件； (2)若商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度． (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 用一元二次方程解决问题（一）（2个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2024•淮安区一模）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为步，则所列的方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据这块田地的长、宽间的关系，可得出这块田地的长为步，根据该田地的面积为864平方步，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：这块田地的宽比长少12步，且这块田地的宽为步， 这块田地的长为步． 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2024•宜兴市二模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于1456，列方程即可． 【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 【变式2】（2024•江都区二模）某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为，根据题意可列方程为 　　． 【分析】设月平均增长率为，根据等量关系：一月份盈利额增长率）三月份的盈利额列出方程即可． 【解答】解：设每月盈利的平均增长率为， 根据题意，得． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用“”，减少用“”，难度一般． 【变式3】（2020秋•天宁区校级期中）在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程） 【分析】设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的建立方程即可． 【解答】解：设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．由题意，得 ． 【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的来建立方程是关键． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2021秋•常州期中）近年来全国房价不断上涨，我市2008年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2010年房价平均每平方米为8500元，假设这两年房价的平均增长率均为，则关于的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由于设这两年房价的平均增长率均为，那么2008年房价平均每平方米为元，2010年的房价平均每平方米为元，然后根据2010年房价平均每平方米为8500元即可列出方程． 【解答】解：依题意得 ． 故选：． 【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次涨价后商品的售价，再根据题意列出第二次涨价后的售价，令其等于最后价格即可． 【变式1】（2021秋•沭阳县期中）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设九年级共有个班，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数． 【解答】解：设九年级共有个班， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2024•响水县三模）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为　10　． 【分析】降低后的价格降低前的价格降低率），如果设平均每次降价的百分率是，则第一次降低后的价格是，那么第二次后的价格是，即可列出方程求解． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为，依题意列方程：， 解方程得，（舍去）． 故平均每次降价的百分率为． 【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目． 【变式3】（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【分析】（1）由一次函数关系式求出，则，即可解决问题； （2）甲种蔬菜种植面积为亩，则乙种蔬菜种植面积为亩，根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：，符合题意， ， （元， 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元； （2）由题意可知，甲种蔬菜种植面积为亩，则乙种蔬菜种植面积为亩， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 答：甲种蔬菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据“有人感染了“新冠”，第一轮传播后的人数为人， 经过两轮传染后的人数为人，即共有人感染了“新冠”列出方程，此题得解． 【详解】解：根据题意可得：， 即． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支， ， 解得：（舍去）， ∴这种植物每个支干长出7个小分支， 故答案为：7． 3．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传播性很强，某次一名奥密克戎携带者未被有效隔离，经过两轮传播后，共有100名感染者．求每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（假设每轮传染人数相同） 【答案】每轮传染中，平均每个人传染9个人． 【分析】设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有100人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中，平均每个人传染9个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设从前年到今年平均增长率都为x，则去年的产量为千克，则今年的产量为千克，据此列出方程即可． 【详解】解：设从前年到今年平均增长率都为x， 由题意得，， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元．设二、三月份每月的平均增长率为，则根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据一月份的营业额为200万元，三月份的营业额共282万元，列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为， 由题意，得：； 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某天李老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后的数据如下表．与第一次锻炼相比，李老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的2倍．设李老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为注：步数平均步长=距离． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步） 10000 ①______ 平均步长（米/步） 0.6 ②______ 距离（米） 6000 6480 (1)根据题意完成表格填空（用含x的代数式表示）； (2)求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用： （1）①直接利用李老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的2倍，得出第二次锻炼的步数；②利用王李师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可得：； ②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：； 故答案为：；； （2）解：由题意： 解得：（舍去），． 则， 答：x的值为0.1． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（23-24九年级上·江苏常州·期末）用一根长的铁丝围成面积是的矩形．假设矩形的一边长是，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据铁丝的长度及围成矩形的一边长，可得出与该边相邻的一边长是,再利用矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵铁丝的长度是，围成矩形的一边长是, ∴与该边相邻的一边长是. 根据题意得：． 故选：B． 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在正方形中，点为以为圆心，为半径的圆弧上两点，过向作垂线，垂足分别为，向作垂线，垂足分别为，交于点．若四边形均是边长为3的正方形，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，延长交于点，延长交于点，连接，易得：四边形，四边形，四边形均为矩形，设正方形的边长为，得到，，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，连接， ∵四边形均是边长为3的正方形， ∴，， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴，， 设正方形的边长为，则：，，， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 故答案为：15． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知直角三角形三边长为三个连续整数，请求出这个三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据直角三角形三边长是连续整数可设三边长分别为，由勾股定理列出方程，求出的值，再根据面积公式求解即可 【详解】解：设三边分别为a，， 三角形为直角三角形 （舍去） 三角形三边为：3，4，5 三角形面积 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2， 则有：x（x+2）=323． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为，则依题意可得到的方程是 ． 【答案】 【分析】设这三个奇数为根据题意列方程求解． 【详解】解：设第二个奇数是，则第一个为，第三个为， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用连续奇数的特点列出方程． 12．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【答案】这3个连续整数为4，5，6 【分析】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可． 【详解】设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 题型五.营销问题(一元二次方程的应用) 13．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元，若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应植多少株？设每盆植株，则可以列出的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得即可． 【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键．由题意列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）第届亚运会于月日在杭州盛大开幕，亚运会吉祥物“江南忆”由三只灵动的机器人组成．某电商在对一款成本价为元的亚运会吉祥物进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件．如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件售价应定为元，根据题意，可列得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件售价应定为元， 根据题意，得， 整理得，， 解这个方程，得，， 商家想尽快销售完该款亚运会吉祥物造型商品， 不合题意，舍去， ∴， 答：每件售价应定为元． 练习试卷 一、单选题 1．（九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 【答案】D 【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据两数之积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1）， 根据题意得：x（x+1）＝12， 解得：x1＝3，x2＝﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为210万，设新注册用户数的年平均增长率为，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设新注册用户数的年平均增长率为，则2022年新注册的用户数为万，2023年新注册的用户数为万，据此列出方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为， 由题意得，， 故选D． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）一块矩形花圃的面积是，它的长比宽多，设长为，由题意可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个矩形的长为，则宽为，根据矩形苗圃的面积为列出方程即可． 【详解】解：设这个矩形的长为，则宽为，根据题意得 ． 故选：B． 4．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　） A．x （x+1）=45 B． C．x （x﹣1）=45 D． 【答案】D 【分析】设有个球队参赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】解：依题意得， 即． 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项． 【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有， ； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 【答案】D 【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一块长方形菜地的面积是，如果它的长减少，那么菜地就变成正方形，求原菜地的长和宽．若设长方形的宽为，则可得方程为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系； 根据“如果它的长减少，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多5米，利用矩形的面积公式列出方程即可； 【详解】解：∵ 长减少 ，菜地就变成正方形， ∴设长方形的宽为 ，则长为 米， 根据题意得：． 故选： ． 9．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）为助力当地经济发展，某地市长连续三天在某直播间推介当地特色产品．据统计，第一天的销售额为1000万元，第三天的销售额达到1960万元，则第二天、第三天销售额的平均增长率为（　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键． 增长后的量增长前的量增长率），设人均年收入的平均增长率为，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设第二天、第三天销售额的平均增长率为， ． 解得：， ， 所以，（舍去）． 答：第二天、第三天销售额的平均增长率为． 故选：C． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 二、填空题 11．（22-23九年级上·北京西城·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 【答案】 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某商店今年1月盈利3万，3月盈利万，若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，设月平均增长率x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设月平均增长率为x，则2月盈利万元，则3月盈利万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为 ． 【答案】7 【分析】根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系列出方程是关键． 14．（2023·江苏苏州·二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 【答案】10 【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式，设未知数，列方程，是解决问题的关键． 根据矩形的长为x，宽为，利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】∵矩形长为x，宽比长少12， ∴宽为， ∵矩形面积为864， ∴， 故答案：． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 17．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒． 【答案】 11 1728 【分析】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得，解方程即可；三轮传播的人数为，计算即可． 【详解】设平均一个人传染了x人，根据题意，两轮传播了人，列方程得， 解方程得（舍去）， 故答案为：11； 三轮传播的人数为， 故答案为：1728． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用传播问题，熟练掌握传播问题解法是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是 尺． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得： ， 即， 解得：（不合题意舍去），， （尺， 答：门高8尺． 故答案为：8 三、解答题 19．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】根据题意，设这个数为，列方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，设这个数为，列方程， 即， ∴， 解得． ∴这个数为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：，即， 解得， 即这个数为． 21．（21-22九年级上·江苏泰州·期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0． 【答案】的值为5 【分析】由题意知第二个周期后共有个人感染，可列方程，计算求出符合要求的解即可． 【详解】解：由题意知，在第一个周期后共有个人感染 第二个周期后共有个人感染 ∴可列方程 ∴ 解得或（舍去） ∴新冠病毒的基本传染数为5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程． 22．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习） 年 月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病；感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现；在“新冠”初期，有 人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人． 由题意可得： 解得： ， （舍去） 答：每轮传染中平均一人传染了人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答的关键． 23．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）2023泰州半程马拉松于10月15日举行，商场预售一种印有我市设计的马拉松图标的T恤，已知这种T恤的进价为40元一件，经市场调查，当售价为60元时，每天可卖出300件；售价每降低1元，每天可多卖出20件． (1)若售价50元每天卖出_____件； (2)若商场还想获得每天6080元的利润，问应将这种T恤的销售单价定为多少元？ 【答案】(1)500； (2)销售单价定为56元或59元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据题意列式计算即可； （2）设这种T恤的销售单价降x元，则每件的利润为元，销售量为件，再根据利润每件的利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：件， ∴若售价50元每天卖出500件， 故答案为：500； （2）解：设这种T恤的销售单价降x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， ∴销售单价定为56元或59元． 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度． (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)2米 (2)20% 【分析】 （1）设小路的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为，根据等量关系列方程解方程即可求解． 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键． 【详解】（1）设安全区域的宽度为米，由题意得， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：安全区域的宽度为2米； （2） 设每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    【答案】(1)， (2) (3)9m 【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键． （1）利用因式分解法，求解即可； （2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可； （3）设的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴或或． ∴， 故答案为：， （2）解：方程，两边平方得， ∴． ∴． ∴． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的解为 （3）解：设的长为xm，则的长为m． 由题意得： 整理得 两边平方得， 即． 整理得． ∴． ∴ 经检验是原方程的根． 由于， ∴m． 学科网（北京）股份有限公司 $$