第14讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第14讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【例1】（2024•盐城三模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为　　 A．10 B．20 C． D． 【变式1】（2024•靖江市二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　　． 【变式2】（2024•梁溪区一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•武进区校级模拟）若圆锥的底面半径是5，母线长10，则侧面积是 　　． 【变式4】（2022秋•姜堰区月考）一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形．试求：（1）该圆锥的侧面积． （2）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 【例2】（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（沭阳县校级模拟）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是　　． 【变式3】现有一块块直径为的圆形铁片，若它做成一个有盖的油桶，并尽可能的用好这块铁片，工人师傅在圆形铁片上截取两个圆（即两底）和一个矩形（侧面），如图． （1）若把作为油桶的高时，则油桶的底面半径等于多少？ （2）当把作为油桶的高时，油桶的底面半径与（1）中的相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，请求出． 经典题型汇编 题型一、求圆锥侧面积 1．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    3．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 题型二、求圆锥底面半径 4．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 5．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 题型三、求圆锥的高 7．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 9．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请回答： （1）该圆弧所在圆心D点的坐标为 ； （2）扇形DAC的圆心角度数为 ； （3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的高．（保留根号） 题型四、求圆锥侧面展开图的圆心角 10．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 题型五、圆锥的实际问题 13．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 14．（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（22-23九年级上·期末）圆锥的底面半径为1，母线长为6，求圆锥的全面积． 题型六、圆锥侧面上最短路径问题 16．（九年级·全国·专题练习）圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为 ． 17．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 18．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 试题练习 一、单选题 1．（·江苏南通·中考真题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 2．（九年级·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的侧面积为6πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的母线长（  ） A．36cm B．18cm C．6cm D．3cm 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，用矩形纸片裁一扇形，围成圆锥侧面．若，则此圆锥底面半径为 (　　) A． B． C． D． 4．（2022·江苏南通·一模）如图是一个圆锥体的三视图（图中尺寸单位：），则它的侧面展开图的圆心角为(   ) A． B． C． D． 5．（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 7．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）若一圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面展开图的圆心角是（    ） A．45° B．90° C．180° D．270° 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）圆锥的侧面展开图的圆心角是，其底面圆的半径为2，则其侧面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 10．（九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 二、填空题 11．（2024·江苏无锡·一模）已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知圆锥的母线长13，侧面积是，则此圆锥的高是 ． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了扇形的面积，圆锥的基础知识，先求出圆锥的底面面积，进而求出圆锥侧面积，然后根据扇形面积即可求出答案． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 ． 15．（2024·江苏镇江·二模）如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数学活动课上，小明用边长为的正五边形纸片材料制作圆锥，他以为圆心，为半径作扇形，将该扇形围成圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 17．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是 ． 18．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根号）． 三、解答题 19．（20-21九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 20．（21-22九年级上·全国·课后作业）中，．把它分别沿三边所在直线旋转一周．求所得三个几何体的全面积． 21．（九年级上·江苏泰州·期中）一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，试求： (1)该圆锥的侧面积． (2)圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． (1)在图上标出的外接圆的圆心O； (2)的外接圆的半径是 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 24．（19-20九年级上·江苏南京·期末）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示． （1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ； （2）已知OB＝2 cm，SB＝3 cm， ①计算容器盖铁皮的面积； ②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ． A．6 cm×4 cm B．6 cm×4.5 cm C．7 cm×4 cm D．7 cm×4.5 cm 25．（21-22九年级上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 圆锥的侧面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【例1】（2024•盐城三模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为　　 A．10 B．20 C． D． 【分析】根据扇形面积公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 ，则圆锥母线长为 ， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则圆锥母线长为， 故选：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 【变式1】（2024•靖江市二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　6　． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得， 解得，， 即该圆锥母线的长为． 故答案为：6． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式2】（2024•梁溪区一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式计算圆锥侧面积． 【解答】解：根据题意得圆锥侧面积． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式3】（2024•武进区校级模拟）若圆锥的底面半径是5，母线长10，则侧面积是 　　． 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式可直接计算出这个圆锥的侧面积． 【解答】解：这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式4】（2022秋•姜堰区月考）一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形．试求：（1）该圆锥的侧面积． （2）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出底面半径，根据圆锥侧面积的计算方法进行计算即可； （2）根据弧长公式列方程求解即可． 【解答】解：如图，，， ， 即圆锥的底面半径，母线， 底面周长母线长 ； （2）设扇形所占的圆心角的度数为，由题意可知，圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，设扇形所占的圆心角的度数为， ， 解得， 即圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数是． 【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质，掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 【例2】（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为　　 A． B． C． D． 【分析】圆柱侧面积底面周长高． 【解答】解：根据侧面积公式可得：． 故选：． 【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积底面圆的周长高． 【变式1】（沭阳县校级模拟）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】新几何体的体积为一个圆柱和半个圆柱的体积和． 【解答】解：图2中完整的圆柱的高为．半个圆柱的高为． 体积， 故选：． 【点评】本题的关键是理解图2的图形是由哪两个图形组成的，然后利用圆柱体体积的计算公式计算即可． 【变式2】（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是　　． 【分析】根据柱的母线（高等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算． 【解答】解：这个圆柱的侧面积． 故答案为． 【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． 【变式3】现有一块块直径为的圆形铁片，若它做成一个有盖的油桶，并尽可能的用好这块铁片，工人师傅在圆形铁片上截取两个圆（即两底）和一个矩形（侧面），如图． （1）若把作为油桶的高时，则油桶的底面半径等于多少？ （2）当把作为油桶的高时，油桶的底面半径与（1）中的相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，请求出． 【分析】本题的切入口是通过圆柱的侧面展开图矩形的一条边长等于底面周长和大圆直径等于两个小圆直径加上的长，建立半径和的方程，即，． 【解答】解：（1）根据题意，得 ， 即， ． （2）与（1）中的不相等． 连接、．根据题意，得 ，， ， 即． 【点评】考查学生经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的基本过程，考查学生“用数学，做数学”的意识以及创新精神和实践能力． 经典题型汇编 题型一、求圆锥侧面积 1．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可． 【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：， 解得：， 则圆锥侧面积为：， 故选：B． 2．（2024·江苏无锡·一模）如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：母线， ． 故答案为：． 3．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 题型二、求圆锥底面半径 4．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 5．（2024·江苏淮安·一模）如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为， ∴该圆锥的高为：． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）连接，利用网格特点，作和的垂直平分线，根据垂径定理，它们的交点即为圆心M点； （2）利用（1）所画图形写出M点的坐标，然后利用勾股定理计算出的长得到圆的半径； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，据此求解即可． 【详解】（1）如图，点M为所作； （2）如图，圆心M的坐标为； ， 即的半径为； 故答案为：，； （3）该圆锥的底面圆半径为r， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理及其逆定理． 题型三、求圆锥的高 7．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r， 则， 解得， ∴这个圆锥体容器的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， ∴这个圆锥的高为 故答案为： 9．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请回答： （1）该圆弧所在圆心D点的坐标为 ； （2）扇形DAC的圆心角度数为 ； （3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的高．（保留根号） 【答案】（1）（2，0）；（2）90°；（3） 【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点D，设D（2，y），由AD=CD，利用两点间距离公式解方程即可求出y的值，即可得到圆心坐标； （2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD=∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°； （3）求得弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）作AB、BC的垂直平分线相交于点D．设D（2，y）． ∵AD=CD，∴，解得：y=0，∴D（2，0）． （2）如图；； 作CE⊥x轴，垂足为E． ∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD=∠CDE． 又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴扇形DAC的圆心角为90度； （3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧，设圆锥底面圆半径为r，高为h，则，∴． ∵，∴==． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论以及圆锥的有关计算．用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面周长． 题型四、求圆锥侧面展开图的圆心角 10．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】90 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度． 【详解】解：圆锥底面半径是1， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：90． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R，根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为，根据题意，，，整理计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R， 根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为， 根据题意，，， 整理， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握侧面展开的计算是解题的关键． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 题型五、圆锥的实际问题 13．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14．（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥母线长为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥母线长为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15．（22-23九年级上·期末）圆锥的底面半径为1，母线长为6，求圆锥的全面积． 【答案】 【分析】根据圆锥的全面积等于侧面积加底面积，进行求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为6，‘’ ∴圆锥的全面积为：． 【点睛】本题考查圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积等于侧面积加底面积，以及侧面积和底面积的公式，是解题的关键． 题型六、圆锥侧面上最短路径问题 16．（九年级·全国·专题练习）圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为 ． 【答案】1． 【详解】解：如图，连接AA′，∵底面周长为，∴弧长==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位线，∴PP′=AA′=1，故答案为1． 17．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 18．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（·江苏南通·中考真题）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是 设底面半径是r， 则 ∴ ∴圆锥的底面半径与母线长的比为1：4． 故选C． 【详解】 2．（九年级·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的侧面积为6πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的母线长（  ） A．36cm B．18cm C．6cm D．3cm 【答案】C 【详解】试题解析：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S==6π， ∴r=6cm， 故选C． 考点：圆锥的计算． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，用矩形纸片裁一扇形，围成圆锥侧面．若，则此圆锥底面半径为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面半径，根据弧长等于底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得． 故圆锥的底面半径为； 故选：A． 4．（2022·江苏南通·一模）如图是一个圆锥体的三视图（图中尺寸单位：），则它的侧面展开图的圆心角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥体的三视图可得底面圆的半径为3，然后根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长可进行求解． 【详解】解：由三视图可得：圆锥底面圆的半径为3， ∴， 解得：； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图、三视图及弧长公式，熟练掌握圆锥侧面展开图、三视图及弧长公式是解题的关键． 5．（2023·江苏·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥， 如图，过点作于点，    根据题意得：，，， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， ∴这个几何体的侧面积是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一个圆锥的母线长是，高是，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，利用勾股定理先求出圆锥底面半径，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可求解，掌握圆锥的侧面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长是，高是， ∴圆锥的半径， ∴圆锥的侧面积， 故选：． 7．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）若一圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面展开图的圆心角是（    ） A．45° B．90° C．180° D．270° 【答案】C 【分析】根据圆锥底面半径可得底面周长，根据底面周长是侧面展开图的弧长，母线长为展开图的半径，利用弧长公式即可得答案． 【详解】∵圆锥的底面半径为2， ∴圆锥的底面周长=2×2=4， 设侧面展开图的圆心角为n， ∵底面周长是侧面展开图的弧长，母线长为展开图的半径， ∴， 解得：n=180°， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）圆锥的侧面展开图的圆心角是，其底面圆的半径为2，则其侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面周长为， 侧面展开扇形的弧长为， 设扇形的半径为， 圆锥的侧面展开图的圆心角是， ， 解得：， 侧面积为， 故选：B． 9．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 10．（九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断； 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴   AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．（2024·江苏无锡·一模）已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得：， 解得：， ∴这个圆锥的母线长为 故答案为：5． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知圆锥的母线长13，侧面积是，则此圆锥的高是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，解题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应的数值代入求出半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：设底面半径为R，则底面周长， ∴侧面积为：， ∴， ∴此圆锥的高为：． 故答案为：12． 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了扇形的面积，圆锥的基础知识，先求出圆锥的底面面积，进而求出圆锥侧面积，然后根据扇形面积即可求出答案． 【详解】∵底面半径为5， ∴圆锥底面面积， ∴圆锥侧面积． 设圆锥母线得长为x，则， 解得． 所以圆锥得母线长为15． 故答案为：15． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是：先根据勾股定理求出母线长为6，设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：母线长为， 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是． 故答案为：． 15．（2024·江苏镇江·二模）如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的定义以及侧面积计算公式成为解题的关键． 先根据勾股定理求解得到的母线长，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由已知得，圆锥母线长，底面圆的半径r为8， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数学活动课上，小明用边长为的正五边形纸片材料制作圆锥，他以为圆心，为半径作扇形，将该扇形围成圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查求正多边形的内角、弧长公式等知识，解题的关键是得出圆心角度数．利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出圆锥底面圆的周长，然后根据圆的周长公式即可得到答案． 【详解】解：∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴的长为：， 设这个圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴这个圆锥底面圆的半径， 故答案为：3． 17．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，半径是，那么这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径．设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面周长等于展开以后扇形的弧长列式计算即可．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得， ， 其中，， ， 故答案为：． 18．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根号）． 【答案】8 【分析】先画出圆锥的侧面展开图，再计算即可． 【详解】∵圆锥的底面周长=2π×2=4π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n． ∴=4π，解得n=90， ∴最短路程为： =8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了面展开-最短路径问题，正确画出圆锥的侧面展开图是解题的关键． 三、解答题 19．（20-21九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 20．（21-22九年级上·全国·课后作业）中，．把它分别沿三边所在直线旋转一周．求所得三个几何体的全面积． 【答案】所得三个几何体的全面积为76.8π． 【分析】绕直角边所在直线旋转一周，得到圆锥，根据圆锥的全面积=侧面积+底面积即可求解；沿斜边所在直线旋转一周，得几何体为两个圆锥底面重合的组合体，即可得出所得三个几何体的全面积． 【详解】解：∵中，； ∴； 过点C作CD⊥AB于点D， SABC＝BC·AC＝AB·CD， 所以BC·AC＝AB·CD， 所以CD＝＝＝2.4， ①当沿AC所在直线旋转一周时，得到的是一个以BC为底面半径，AC为高，AB为母线的圆锥，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S底＝AB·（2π·BC）＋π·BC2＝×5×（2π×4）＋π×42＝36π ②当沿 BC所在直线旋转一周时，得到的是一个以AC为底面半径，BC为高，AB为母线的圆锥，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S底＝AB·（2π·AC）＋π·AC2＝×5×（2π×3）＋π×32＝24π ③当沿AB所在直线旋转一周时，得到的是一个复合几何体，这个几何体是由以AB边上的高线为底面半径的两个同底圆锥组成的，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S侧＝AC·（2π·CD）＋BC·（2π·CD）=＝BC·CD·π＋ AC·CD·π＝CD·π（BC＋AC）＝2.4π×（3＋4）＝16.8π ∴所得三个几何体的全面积S＝36π+24π+16.8π＝76.8π 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和勾股定理的应用，根据已知得出几何体的组成部分是解题关键． 21．（九年级上·江苏泰州·期中）一个水平放置的圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，试求： (1)该圆锥的侧面积． (2)圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形，可以得出圆锥底面半径为，母线长为，再用圆锥侧面积公式计算即可； （2）先计算出圆锥底面周长，圆锥侧面展开图的扇形弧长，再用弧长公式计算出圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【详解】（1）解：∵圆锥的主视图为底边长、腰长的等腰三角形， ∴圆锥底面半径为，母线长为， ∴， （2）圆锥侧面展开图的扇形弧长=圆锥底面周长=， ∴，解得：， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是要掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． (1)在图上标出的外接圆的圆心O； (2)的外接圆的半径是 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，以及圆锥的有关计算，关键是掌握三角形外心的定义． （1）作出线段中垂线，交点即为的外接圆的圆心； （2）由勾股定理求出的长，即可得到外接圆半径的长； （3）先求出的长，再根据弧长即是圆锥的底面周长求解即可． 【详解】（1）如图，线段中垂线的交点O是外接圆的圆心； （2）由勾股定理得：， ∴外接圆的半径是． 故答案为：． （3）连接， ∵，， ∴， ∴， ∴的长， ∴该圆锥底面半径． 24．（19-20九年级上·江苏南京·期末）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示． （1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ； （2）已知OB＝2 cm，SB＝3 cm， ①计算容器盖铁皮的面积； ②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ． A．6 cm×4 cm B．6 cm×4.5 cm C．7 cm×4 cm D．7 cm×4.5 cm 【答案】（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B. 【分析】（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径． 【详解】解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥； （2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积 ∴ 即容器盖铁皮的面积为6πcm²； ②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n度， 则2π×2= 解得：n=240°， 如图：∠AOB=120°， 则∠AOC=60°， ∵OB=3， ∴OC=1.5， ∴矩形的长为6cm，宽为4.5cm， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键． 25．（21-22九年级上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1)1：2 (2) 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 （2）∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 【答案】(1)见解析 (2)建立坐标系见解析，①② 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，涉及了圆的有关性质、勾股定理，圆锥的侧面展开图、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键． （1）分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦的垂直平分线即可； （2）①根据题意建立平面直角坐标系即可；观察图形，利用勾股定理求出的半径；②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线的交点即为圆心D，如图所示； （2）解：①建立平面直角坐标系如图所示： 的半径， 故答案为：； ②在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$