空间向量与空间角、距离问题讲义——2025届高三数学一轮复习

基础课41 空间向量与空间角、距离问题 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 空间向量求空间角 掌握 2023新高考Ⅰ卷 2023新高考Ⅱ卷 2023全国乙卷理 2022新高考Ⅰ卷 2022全国甲卷（理） 2021全国乙卷（理） 2021全国乙卷（文） ★★★ 直观想象逻辑推理数学运算 空间向量求空间距离 掌握 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷 ★★★ 直观想象逻辑推理数学运算 命题分析预测 从近几年高考的情况来看，空间角、距离问题是高考常考内容，一般以解答题的形式出现，试题难度中等.命题常以柱体、锥体为背景.在2025届的高考备考中，要掌握并运用向量法解空间角和距离问题，要特别重视坐标系的建立，同时要加强运算求解能力的训练 基础知识·诊断 夯实基础 一、空间向量与空间角 在立体几何中常涉及三类空间角的求解：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和两个平面的夹角.具体如表所示: 空间角 向量求法 范围 异面直线所成的角 若异面直线,所成的角为，其方向向量分别是,，则, ③ 直线与平面所成的角 设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则, ⑥ 二面角 平面与平面相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，,，则二面角为或.设二面角大小为，则 ⑧ 两个平面的夹角 若平面,的法向量分别是,，则平面与平面的夹角即为向量和的⑨夹角或其⑩补角；设平面与平面的夹角为，则,⑪⑫ ⑬ 【提醒】关注三种角的易错点 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是该异面直线所成的角． 2.直线与平面所成的角：在上述求法中要注意的是，而不是． 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，若求出两个半平面 ， 的法向量，，则需根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补． 二、空间向量与距离 直线外一点到直线的距离 如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量⑭，则点到直线的距离为⑮ 平面外一点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线的方向向量，则点到平面 的距离⑯⑰ 诊断自测 题组1 走出误区 1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”） （1） 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) （2） 两个平面的法向量所成的角就是这两个平面的夹角.( × ) （3） 若直线平行于平面 ，则直线上各点到平面 的距离相等.( √ ) （4） 若直线上两点到平面 的距离相等，则平行于平面 .( × ) 2. （易错题）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为. 【易错点】未理解直线与平面所成的角的定义. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，由于，， 所以，，，. 所以，，， 设平面的一个法向量为，则 即 令，则，，则.又设与平面所成的角为 ， 则. 题组2 走进教材 3. （人教A版选修①P35·T2改编）若正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面的距离为( B ). A. B. C. D. [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，故点到平面的距离.故选. 4. （人教A版选修①P43·T10改编）设，分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，， 则，，. 设平面的一个法向量为， 故令，则，，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 题组3 走向高考 5. [2023·新高考Ⅱ卷改编]如图，在三棱锥中，，， ，为的中点,点满足，则二面角的正弦值为. [解析]设， 由 ，可知,都为等边三角形， 所以.又， 所以， 所以，则为直角三角形，且 ， 所以，，. 又，， 平面, 平面，所以 平面. 以为坐标原点，,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系，如图所示, 则，，，， 设，则， 所以，.设平面的一个法向量为， 则即令,则,, 所以. 又.设平面的一个法向量为， 则 即令,则,,所以.所以，则.所以二面角的正弦值为. 考点聚焦·突破 考点一 空间角［多维探究］ 异面直线所成的角角度1 典例1 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为( C ). A. B. C. D. [解析]取线段的中点，连接，则，设直三棱柱的棱长为2， 以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，,， 所以. 故选. 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 1.建立空间直角坐标系； 2.用坐标表示两异面直线的方向向量； 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4.注意两异面直线所成角的范围是，，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 直线与平面所成的角角度2 典例2 [2022·全国甲卷]如图，在四棱锥中， 底面，,,,. （1）求证：. （2）求与平面所成的角的正弦值. [解析]（1）如图1，在四边形中，作于点，于点， 因为,,，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，，所以，所以， 因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以. （2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则,,，则,,， 设平面的一个法向量为， 则令,则,，所以， 则,所以与平面所成角的正弦值为. 利用空间向量求线面角的解题步骤 平面与平面所成的角角度3 典例3 [2023·新高考Ⅰ卷节选]如图，在正四棱柱中，,.点,,,分别在棱,,,上，,,.若点在棱上，当二面角为 时，求. [解析]以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,设， 则,,， 设平面的一个法向量为， 则 令，得 ,，， 设平面的一个法向量为， 则 令，得,，， ， 化简可得，，解得或， 或，. 多维训练 （一题练透）如图，在四棱锥中， 平面，,， ，,为棱的中点. （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求直线与平面所成角的正弦值; （3）若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值. [解析]依题意，以点为原点,,,所在直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系（如图）， 可得,,,.由为棱的中点,得. （1）,,, ，则,，所以,. （2）,，.设为平面的一个法向量,则即不妨令,可得， 于是,， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3），，，. 由点在棱上,设,，故. 由,得，即， 解得，即,,. 设为平面的一个法向量,则即 不妨令,可得. 取平面的一个法向量为,则. 易知二面角是锐角,故其余弦值为. 考点二 空间距离［多维探究］ 点到直线的距离角度1 典例4 [2024·徐州模拟]如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.求点到直线的距离. [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. ，，则,. 设点到直线的距离为， 则. 用向量法求点线距的三个步骤 1.求出直线的单位方向向量； 2.求出所求点到直线上一点的向量及其在直线方向向量上的投影向量； 3.代入公式计算. 点到平面、线到平面的距离角度2 典例5 （1）（同源变式）将典例4中的设问“求点到直线的距离”改为“求点到平面的距离”，试求解. （2）（同源变式）将典例4中的条件“是的中点”改为“,分别是,的中点”，试求直线到平面的距离. [解析]（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. 由是的中点，则，,, 设平面的一个法向量为，则 令，则，，得,,，而， 设点到平面的距离为，则. （2）易知,则直线到平面的距离等于点到平面的距离.后同（1）. 用向量法求点面距的四个步骤 1.建系：建立恰当的空间直角坐标系； 2.求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； 3.求向量：求出相关向量的坐标,平面 内两个不共线的向量，平面 的法向量； 4.求距离：. 【注意】用向量法求线面距，先利用平行转化为求点面距，再参照上述四个步骤. 多维训练 [2024·江苏模拟]（一题练透）如图，已知正方形的边长为1， 平面，且，，分别为，的中点. （1） 求点到平面的距离； [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则,，,,，,1,，， ,,，,,，,,， 设平面的一个法向量为，则 令,则,, 故， 点到平面的距离. （2） 求直线到平面的距离. [解析]， 直线到平面的距离即点到平面的距离， 又,,， 点到平面的距离， 直线到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$