空间向量及其运算和空间位置关系讲义——2025届高三数学一轮复习

基础课40 空间向量及其运算和空间位置关系 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 空间向量及其运算 掌握 2023年全国乙卷（文） 2021年新高考Ⅰ卷 ★★☆ 直观想象逻辑推理数学运算 命题分析预测 从近几年高考的情况来看，空间向量的线性运算在立体几何大题的地位在慢慢提升，对考生的要求也在逐渐提高，在2025届的高考备考中，需要着重训练不建系的方法去求解立体几何大题 基础知识·诊断 夯实基础 一、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反但模相等的向量 共线向量（或平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 二、空间向量的有关定理 1.共线向量定理：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数 ，使得①. 2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 3.空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，，，叫作空间的一个基底. 三、空间向量的数量积 1.两个向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫作向量与的夹角，记作,，其范围是④.若,，则称与互相垂直，记作；若,或, ,则称与互相平行或共线，记作. 2.两个向量的数量积：已知两个非零向量，，则,叫作与的数量积，记作，即,. 3.空间向量数量积的运算律 （1）结合律：. （2）交换律：. （3）分配律：. 四、空间向量的坐标表示及其应用 设，. 向量表示 坐标表示 数量积 , 共线 ⑦，， 垂直 模 夹角 , 五、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量. 2.平面的法向量：直线 平面 ，取直线的方向向量，则向量叫作平面 的法向量. 六、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， 直线的方向向量为，平面的法向量为 平面，的法向量分别为， 知识 拓展 1.在平面中,，，三点共线的充要条件是（其中），为平面内任意一点. 2.在空间中，，，，四点共面的充要条件是（其中），为空间中任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即，成立，但不满足结合律，即不一定成立. 4.在利用证明平面时，必须说明点或点不在平面内. 诊断自测 题组1 走出误区 1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”） （1） 空间中任意两个非零向量，共面.( √ ) （2） 在向量的数量积运算中,.( × ) （3） 对于非零向量，若，则.( × ) （4） 若{，，}是空间的一个基底，则，，中至多有一个零向量.( × ) 2. （易错题）在下列命题中： ①若向量,共线，则向量,所在的直线平行； ②若向量,所在的直线为异面直线，则向量,一定不共面； ③若三个向量,,两两共面，则向量,,共面； ④已知空间中三个向量,,，则对于空间的任意一个向量，总存在实数,,，使得. 其中所有假命题的序号是①②③④. 【易错点】混淆两个向量间的位置关系与两条直线的位置关系而致误. [解析]若,共线，,所在直线也可能重合，故①为假命题； 据空间向量的意义知，,所在直线异面，但,必共面，故②为假命题； 三个向量,,中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③为假命题； 只有当,,不共面时，空间任意一向量才能表示为，故④为假命题. 题组2 走进教材 3. （双空题）（人教A版选修①P7·例2改编）如图，在平行六面体中，，,, , ，则10，的长为. [解析]. 因为， 所以， 所以，即的长为. 4. （人教A版选修改编）已知,，且，则. [解析]因为，所以，解得. 题组3 走向高考 5. [2021·新高考Ⅰ卷改编]在正三棱柱中，，点满足，其中，则使得的点有2个. [解析]如图，因为，,取，的中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则，，，所以或.故点,均满足.故满足的点有2个. 考点聚焦·突破 考点一 空间向量的线性运算［自主练透］ 1. 如图所示，在长方体中，下列各式运算结果为向量的是( B ). ； ； ； . A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ [解析]，错误； ，正确； ，正确； ，错误.故选. 2. [2024·浙江模拟]在平行六面体中，为的中点，为的中点，,,，则( C ). A. B. C. D. [解析]如图，设,，则,， 所以，所以，所以. 故选. 3. 如图所示，在平行六面体中，为的中点.设,,. （1）用,,表示； （2）设是棱上的点，且，用,,表示. [解析]（1）因为为的中点，,,， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 空间向量的线性运算的三个关键点 1.结合图形，明确图形中各线段的几何关系； 2.正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义； 3.平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立. 考点二 空间向量的基本定理及应用［师生共研］ 典例1 已知，，三点不共线，为空间内任意一点，且空间内不与点，，重合的一点满足． （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点是否在平面内． [解析]（1）因为，所以， 所以， 即,故向量，，共面. （2）由（1）知向量，，共面，三个向量又有公共点，故，，，四点共面，即点在平面内. 证明空间四点,,,共面的方法 1.； 2.对空间任意一点，； 3.对空间任意一点，； 4.（或或）. 针对训练 已知,,,,,,,,为空间的9个点（如图所示），并且，，，，.求证： （1） ,,,四点共面，,,,四点共面； [解析]因为，所以，，为共面向量， 因为，，有公共点，所以，，，四点共面， 因为，所以，，为共面向量， 因为，，有公共点，所以，，，四点共面. （2） . [解析]因为，，， ， 所以，因为，无公共点，所以. 考点三 空间向量的数量积及应用［师生共研］ 典例2 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， . （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. [解析]（1）设，，， 则，，，. 因为， 所以， 所以线段的长为. （2）设异面直线与所成的角为 ， 因为，， 所以， ， 则， 即异面直线与所成的角的余弦值为. （3）因为，，所以，所以，即. 空间向量数量积的应用 求夹角 设向量,的夹角为，则，进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 利用公式，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用,，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 针对训练 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，，分别是，的中点，计算： （1）的长； （2）异面直线与所成角的余弦值． [解析]设，，, 则，. （1）因为，所以，则. （2）因为，，所以，,, 所以， 因为异面直线所成角的取值范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点四 利用空间向量证明空间位置关系［师生共研］ 典例3 [2023·新高考Ⅰ卷节选]（一题多解）如图，在正四棱柱中，,.点,,,分别在棱,,,上，,,. 求证：. [解析]（法一：建系法）以为坐标原点，,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系，如图， 则,,,,， ,， ， 又，不在同一条直线上，. （法二：基底法）由， 而,,， 所以, 即，所以. 利用空间向量法证明空间位置关系的两种方法 建系法 利用建系法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系，其核心是利用向量的数量积和线性运算的坐标运算 基底法 利用基底法证明平行、垂直关系，关键是选择恰当的基底（不建系），其核心是利用空间向量的线性运算及基本定理，结合向量的数量积和线性运算转化证明 针对训练 （一题多解）如图，在三棱柱中， ，，，在底面的射影为的中点，是的中点.求证： 平面. [解析]（法一：建系法）如图，取的中点为，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则,， 则,,,， ，,， 则所以,，又, 平面, 平面,所以 平面. （法二：基底法）设在底面上的射影为点，则为的中点， 因为,所以, 因为,所以, 又,所以 平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$