第1节集合与集合的表示方法（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1节 集合与集合的表示方法 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________． 注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 3．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 重难点题型1、集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 例1．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 例2、（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【变式训练1】、（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【变式训练2】、（23-24高一上·江西景德镇·期中）（多选题）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 重难点题型2、元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 例3.（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 例4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【变式训练3】、（21-22高一·全国·课后作业）已知集合，那么正确的是( ) A．    B．    C．     D． 【变式训练4】、（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【变式训练5】、（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 重难点题型3、集合的表示方法 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示． 但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 例6．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 例7．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【变式训练7】、（2024高三·全国·专题练习）（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 重难点题型4、常见数集的表示 例8．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例9．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 【变式训练8】、（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练9】、（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）自然数集：         正整数集： 整数集：         有理数集： 实数集：         正实数集： 重难点题型5、综合应用 例10．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【变式训练10】、（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 集合与集合的表示方法 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________． 注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 3．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 重难点题型1、集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 例1．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 例2、（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 【变式训练1】、（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 【变式训练2】、（23-24高一上·江西景德镇·期中）（多选题）下列几组对象可以组成集合的有（    ） A．高中数学必修第一册课本中所有的难题 B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员 C．小于9的所有素数 D．高一年级视力比较好的同学 【答案】BC 【详解】根据集合的知识确定正确答案. 【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合. B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合. C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合. D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合. 故选：BC 重难点题型2、元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 例3.（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合元素与集合间的关系，即可求解. 【详解】令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 所以是A的元素. 故答案为：. 例4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 例5．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意由或，解得，然后检验元素的互异性即可. 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 【变式训练3】、（21-22高一·全国·课后作业）已知集合，那么正确的是( ) A．    B．    C．     D． 【答案】A 【详解】由或 故A对，B、C、D错 故选：A 【变式训练4】、（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 【变式训练5】、（21-22高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 【答案】0 【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值. 【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性； 若，则，故，满足题设， 所以. 故答案为：0 重难点题型3、集合的表示方法 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示． 但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 例6．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 （1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1） 因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2） 设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3） 设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4） 因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 例7．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 【变式训练6】、（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【变式训练7】、（2024高三·全国·专题练习）（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 重难点题型4、常见数集的表示 例8．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 例9．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 【答案】ABD 【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断. 【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误； 对于B：当时，，则，故B错误； 对于C：只有一个元素，故C正确； 对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误. 故选：ABD. 【变式训练8】、（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断. 【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个. 故选：C. 【变式训练9】、（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）自然数集：         正整数集： 整数集：         有理数集： 实数集：         正实数集： 【答案】 或 【分析】略 【详解】略 重难点题型5、综合应用 例10．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 【变式训练10】、（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$