第6节函数的应用（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第6节 函数的应用 知识点一　用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 知识点二 常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)指数函数模型 (4)对数函数模型 (5)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 重难点题型(一) 一次函数模型的应用 一次函数为： 例1．（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 例2．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【变式训练1】、（20-21高一上·全国·课后作业）端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计 元. 【变式训练2】、（19-20高一·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水． 则正确论断是 ．(填序号) 重难点题型(二)二次函数模型的应用 二次函数：形如 例3．（20-21高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（22-23高一下·江西九江·期中）（多选题）设函数，设，则方程的解的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】、（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式训练4】、（23-24高一上·广东清远·期末）（多选题）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 重难点题型(三) 指数函数模型的应用 例5、（20-21高一上·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 例6．（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 【变式训练5】、（19-20高三·安徽·阶段练习）地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量与地震里氏震级之间的关系为.已知地区最近两次地震的震级，的值分别为，，释放的能量分别为，.记，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（22-23高一上·浙江温州·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是℃，经过一定时间t min后的温度 （单位：℃）可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min．那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感． 重难点题型(四) 对数函数模型的应用 例7、（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】、（2024·贵州贵阳·三模）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（    ）（参考数据: A．300年 B．100年 C．255年 D．125年 重难点题型(五) 分段函数模型的应用 例8．（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 例9．（19-20高一·全国·课后作业）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62℃的物体，放在15 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃. （1）求k的值（精确到0.01）； （2）若要将物体的温度降为42 ℃，32 ℃，求分别需要冷却的时间. 【变式训练8】、（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【变式训练9】、（19-20高一·全国·课后作业）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么： （1）10h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ （3）画出P关于t变化的函数图象. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6节 函数的应用 知识点一　用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 知识点二 常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)指数函数模型 (4)对数函数模型 (5)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 重难点题型(一) 一次函数模型的应用 一次函数为： 例1．（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象. 【详解】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②. 故选：A 例2．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果. 【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 【变式训练1】、（20-21高一上·全国·课后作业）端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计 元. 【答案】 【分析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，元现金可送元购物券，，可获得元购物券，，又可获得元购物券，故可得结论. 【详解】由题意可知，，元现金可送元购物券， 把元购物券当作现金加上元现金可送元购物券， 再把元购物券当作现金加上元现金可获送元购物券， 所以最多可获赠购物券(元). 故答案为： 【点睛】本题考查合情推理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题. 【变式训练2】、（19-20高一·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水． 则正确论断是 ．(填序号) 【答案】① 【分析】由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，根据进出水的情况，结合丙图的蓄水量变化来解答即可. 【详解】由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确； 从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错； 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错． 故答案为：① 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，考查数形结合的思想，考查了学生应用数学解决问题的能力. 重难点题型(二)二次函数模型的应用 二次函数：形如 例3．（20-21高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 例4．（22-23高一下·江西九江·期中）（多选题）设函数，设，则方程的解的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图像和性质，作出函数的图像，然后以为定义域，作出 的图像，然后根据图像性质求解； 【详解】       作出函数图像，如图（左），对称轴故有 令画出的图像，如图（右），定义域 由右图可知，当对应左图，有两个解； 当时，有2个与之对应，则参照左图，有4个解； 当，则有，参照左图，有1个解，当有2个解，由此共有3个解与之对应； 右图，有1个与之对应，参照左图，有2个解； 故选：BCD. 【变式训练3】、（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 【详解】由一次函数的图象可知：，， 所以二次函数的图象开口向下， 且对称轴为：， 故选：D. 【变式训练4】、（23-24高一上·广东清远·期末）（多选题）已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 重难点题型(三) 指数函数模型的应用 例5、（20-21高一上·山东青岛·期中）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据列式求解即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题. 例6．（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤 小时． 【答案】4 【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【详解】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4 【变式训练5】、（19-20高三·安徽·阶段练习）地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大.震级的大小可通过地震仪测出.中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量与地震里氏震级之间的关系为.已知地区最近两次地震的震级，的值分别为，，释放的能量分别为，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出和，可得到，然后比较的大小关系即可选出答案. 【详解】依题意，，，故，要比较与的大小关系，可比较与的大小关系，易知，而，故.同理可得，，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题. 【变式训练6】、（22-23高一上·浙江温州·期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是℃，经过一定时间t min后的温度 （单位：℃）可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min．那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间 min，才能达到最佳饮用口感． 【答案】10 【分析】由85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中茶温降到40℃需要20min代入公式得；茶温降到40℃需要min代入公式得，观察与为平方关系，可求得. 【详解】一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min，那么：，所以 一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到55℃需要min，那么：，所以， 所以，所以， 故答案为：10 重难点题型(四) 对数函数模型的应用 例7、（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 【变式训练7】、（2024·贵州贵阳·三模）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是:（其中为的初始质量）.则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（    ）（参考数据: A．300年 B．100年 C．255年 D．125年 【答案】A 【分析】由题意列出时间的方程，解方程即可. 【详解】设经过的时间为年， 由题意得，， 所以， 所以. 故选：A. 重难点题型(五) 分段函数模型的应用 例8．（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元） 【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润； （2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值. 【详解】（1）由题意可得， 所以. （2）当时，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）. 例9．（19-20高一·全国·课后作业）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62℃的物体，放在15 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃. （1）求k的值（精确到0.01）； （2）若要将物体的温度降为42 ℃，32 ℃，求分别需要冷却的时间. 【答案】（1）；（2）冷却约2min后，物体的温度为42 ℃；冷却约4min后，物体的温度为32℃. 【解析】（1）代入公式计算的值； （2）令函数值分别等于42，32，计算的值即可． 【详解】（1）将代入中，得. ，两边取对数，得. . （2）， .把代入上式， 得.当时,. 当时,. 答：，冷却约2min后，物体的温度为42 ℃；冷却约4min后，物体的温度为32℃. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题． 【变式训练8】、（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 【变式训练9】、（19-20高一·全国·课后作业）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么： （1）10h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ （3）画出P关于t变化的函数图象. 【答案】（1）81%；（2）33h；（3）见解析 【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案； （2）令，根据指数运算性质求出的值； （3）求出的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象． 【详解】（1）当时，，当时，，即. ，当时，， 即10h后，还剩81%的污染物. （2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少50%大约需要花33h. （3）图象大致如图所示.    【点睛】本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$