第1节 等式与不等式的性质（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1节 等式与不等式的性质 考点1 不等式的基本性质 考点2 常用的结论 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 考点3 作差比较法的四个步骤 重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假 例1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选题）下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】、（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】、（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）（多选题）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小 例3．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 例4．（2023高一·全国·专题练习）不等式的基本性质 序号 性质 简称 性质1 a>b⇔ 对称性 性质2 a>b，b>c⇒ 传递性 性质3 a>b⇒ 可加性 性质4 a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ 乘法法则 性质5 a>b，c>d⇒ 相加法则 性质6 a>b>0，c>d>0⇒ 相乘法则 性质7 a>b>0⇒ （n∈N，n≥2） 乘方法则 【变式训练3】、（21-22高一上·广西崇左·期中）比较大小： 填”或“ 【变式训练4】、（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围 例5．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 例6．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式 例7．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 例8．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【变式训练7】、（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式训练8】、（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 等式与不等式的性质 考点1 不等式的基本性质 考点2 常用的结论 1.a>b，ab>0⇒<； 2.b<0<a⇒>； 3.a>b>0，c>d>0⇒>； 4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 考点3 作差比较法的四个步骤 重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假 例1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 例2．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选题）下列命题为假命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得，故C为假命题； 对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题； 故选：ACD. 【变式训练1】、（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 【变式训练2】、（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）（多选题）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD. 【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：BD 重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小 例3．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：< 例4．（2023高一·全国·专题练习）不等式的基本性质 序号 性质 简称 性质1 a>b⇔ 对称性 性质2 a>b，b>c⇒ 传递性 性质3 a>b⇒ 可加性 性质4 a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ 乘法法则 性质5 a>b，c>d⇒ 相加法则 性质6 a>b>0，c>d>0⇒ 相乘法则 性质7 a>b>0⇒ （n∈N，n≥2） 乘方法则 【答案】 b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd an>bn 【解析】略 【变式训练3】、（21-22高一上·广西崇左·期中）比较大小： 填”或“ 【答案】 【分析】由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】因为，且， 所以 所以 故答案： 【变式训练4】、（2023高二上·辽宁沈阳·学业考试）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质可判断B；通过特值法可判断ACD. 【详解】取，则，此时，故A错误； 如果，由不等式的性质可得，故B正确； 当时，，故C错误； 取，得，此时，故D错误． 故选：B． 重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围 例5．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 例6．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 【变式训练5】、（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，列方程组可得，根据不等式的性质及题干条件，即得解 【详解】由题意， 故，解得 由﹣1＜a+b＜3，可得； 由2＜a﹣b＜4，可得； 故 故选：A 【变式训练6】、（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式 例7．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 例8．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【变式训练7】、（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式训练8】、（23-24高一上·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质证明即可． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$