精品解析：2024年江苏省盐城市东台市中考三模数学试题

盐城市二○二四年初中毕业与升学模拟考试数学试题 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故答案为C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键． 3. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，而， ∴成绩最稳定的同学是甲． 故选：A 5. “一路走来，还是东台”，五一小长假落下帷幕，东台文旅强劲发力，节日期间，全市共接待游客92.15万人次．数据92.15万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据92.15万用科学记数法表示为， 故选：A． 6. 为了发扬“中国航天精神”，年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 精 D. 神 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面的文字，即可解答． 【详解】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是“天”， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 7. 如图，小明在做英语作业时，无意中把直角三角板放在了英文本上，他用量角器测量出，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，再由两直线平行，同位角相等求出，最后根据得出结论即可． 【详解】解：如图， ∵，且 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键． 8. 已知点，在图象上，下列说法错误的是（ ） A. 当时，二次函数与轴总有两个交点 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 当时，的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可． 【详解】解：由， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； A.当时，，所以，二次函数与轴总有两个交点，说法正确，故选项A不符合题意； B.当时，对应点为，关于对称轴对称的点为，即；当时，图象在和之间，所以，，故选项B说法正确，不符合题意； C.若，则，当时，则两点连线的中点在对称轴右侧，所以，，故选项C说法正确，不符合题意； D.当 时，，当时，最高点为，所以，，故选项D说法错误，符合题意， 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键． 10. 把多项式分解因式的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 11. 2024年盐城市体育中考实行电子化现场考试，为取得好成绩，小颖（女）同学进行了刻苦的练习，在测试50米跑时，记录下5次所跑的成绩（单位：s）分别为：9.3，8.9，9.3，8.8，8.5．这组数据的中位数是_____． 【答案】8.9 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的中位数，熟记中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解． 【详解】解：将这组数据从小到大排序为8.5，8.8，8.9，9.3，9.3，第3个数据是8.9， ∴中位数是8.9， 故答案为：8.9． 12. 设是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则，．由此可解． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 13. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出阴影部分占整体的几分之几即可． 【详解】解：如图，连接EG，FH， 设AD=BC=2a，AB=DC=2b，则FH=AD=2a，EG=AB=2b， ∵四边形EFGH是菱形， ∴S菱形EFGH=FH⋅EG=⋅2a⋅2b=2ab， ∵M，O，P，N点分别是各边的中点， ∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b， ∵四边形MOPN是矩形， ∴S矩形MOPN=OP⋅MO=ab， ∴S阴影=S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab， ∵S矩形ABCD=AB⋅BC=2a⋅2b=4ab， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提． 14. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积存在函数关系：（如图所示）．若木板面积为则压强为__________． 【答案】3000 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出P关于S的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：3000． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式． 15. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，小明同学在研究如图1边长为7的弦图时，发现将其中的四个全等的直角三角形取出，可以分别拼成如图2边长为9的正方形和如图3所示的菱形，则图3中菱形的面积为_____． 【答案】32 【解析】 【分析】设直角三角形较长边长为a，较短边长为b，根据题意，得，后利用菱形的面积计算即可． 本题考查了勾股定理弦图计算，方程组的应用，菱形的面积，熟练掌握弦图的意义，方程组的应用是解题的关键． 【详解】设直角三角形较长边长为a，较短边长为b，根据题意，得， ∴， 解得 故菱形面积为， 故答案为：32． 16. 如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且，则即，从而把转化为，过点C作于点H，结合，设，则，得到，继而得到，即，把的最大值转化为的最大值，根据圆的性质解答即可． 【详解】过点A作直线，交的延长线于点D，交于点N，且， 则即， ∴， 过点C作于点H， ∵，设，则， ∴， ∴， 即， ∵直径是圆中最大的弦， ∴经过圆心O时，的值是最大的， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质，熟练掌握直径是圆中最大的弦，解直角三角形的应用计算，切线性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，化简绝对值，正切函数值．熟练掌握零指数幂，化简绝对值，正切函数是解题的关键． 先分别计算零指数幂，化简绝对值，正切函数值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】原不等式组的解集 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】 由不等式①得 ， 由不等式②得 ， ∴原不等式组的解集， 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内得，再运算除法，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 当 时， 则． 20. 随常移动 互联网的迅猛发展，人们购物支付方式更加多样、便捷．某超市想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合图中所给出的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中______，“其他”支付方式所对应的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）若该超市一天内有3000次支付记录，请你估计这天选择微信支付的次数． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）1350次 【解析】 【分析】（1）用支付宝的人数除以所占比例，求出总人数，用现金的人数除以总人数求出的值，其他方式所占的比例，求出圆心角度数； （2）求出微信支付的人数，补全图形即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴， ∴； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 用微信支付的人数为：；补全图形如图： 【小问3详解】 （次）． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用．解题的关键是从统计图中有效的获取信息． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到． （2）根据平行四边形的性质，证明证明． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握作图和平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 以点D为圆心，以为半径画弧，交于点F，连接，得到得到平行四边形，继而得到． 则点F即为所求． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． ． 22. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表可得共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 甲选手从A，B，C，卡片中随机抽到卡片A的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由表可知，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的情况有3种， ∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为． 23. 公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时， （1）求端点A所经过的路径长（结果保留）； （2）求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．） 【答案】（1）端点A经过的路径长为m （2）端点B距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，解直角三角形的应用； （1）根据弧长公式即可求解； （2）过点B作，垂足为E，由正弦函数得，即可求解； 掌握弧长公式：及直角三角形的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：绕点O旋转得到到， 端点A经过的路径长为 ； 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 答：端点B距离地面的高度约为． 24. 如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长交的延长线于点F． （1）与有怎样的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长和的半径． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2），的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握切线的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 【小问1详解】 解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 25. 某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5 （1）第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数关系式； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）全部售完获利为580元 （2）①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解； （2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解； ②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解； 找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克， 根据题意列出方程组为： 解得：， 全部售完获利： （元）． 【小问2详解】 解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜（）件， 根据题意 ， ②超市第二次获利不能超过第一次获利， 理由如下： ， 解得：， 由①可知，， ， 一次函数w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值， （元）， ， 超市第二次获利不能超过第一次获利． 26. 新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用． 初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值． 【详解】解：初步理解：∵， ∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点， ∴一次函数的永固点的坐标是， 故答案为：； 理解应用：， 当或时，， ∴无论m值如何变化，恒过定点和， ∴，， 故答案为：，； 知识迁移：定值． ∵， ∴顶点，， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F， 则，，， 分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则 ∴，， ∴， ∴， 即． 27. 综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． （1）折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，的形状是______三角形． （2）剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 【答案】（1）30°，等边 （2）①x的值为或；②y与x的函数关系式为；当时，y取最大值，y的最大值为． 【解析】 【分析】（1）设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形，根据性质证明，即可证明相关结论． （2）①根据矩形的性质，分，两种情况计算即可． ②设四边形的面积为y，根据构造二次函数，利用二次函数性质求最值即可． 【小问1详解】 设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形， ∴，，且， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 故答案为：30，等边． 【小问2详解】 ①根据前面的解答，得到，，，是等边三角形， ∴是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，，， 如图，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ②设四边形的面积为y， 根据题意，得 根据前面的解答，得到是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴y有最大值，且当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了矩形都会选择，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，构造二次函数求最值，分类思想，熟练掌握折叠的性质，解直角三角形的相关计算，构造二次函数求最值，分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市二○二四年初中毕业与升学模拟考试数学试题 注意事项： 1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. “一路走来，还东台”，五一小长假落下帷幕，东台文旅强劲发力，节日期间，全市共接待游客92.15万人次．数据92.15万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 为了发扬“中国航天精神”，年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A 航 B. 天 C. 精 D. 神 7. 如图，小明在做英语作业时，无意中把直角三角板放在了英文本上，他用量角器测量出，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在的图象上，下列说法错误的是（ ） A. 当时，二次函数与轴总有两个交点 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 当时，的取值范围为 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 把多项式分解因式结果为___． 11. 2024年盐城市体育中考实行电子化现场考试，为取得好成绩，小颖（女）同学进行了刻苦的练习，在测试50米跑时，记录下5次所跑的成绩（单位：s）分别为：9.3，8.9，9.3，8.8，8.5．这组数据的中位数是_____． 12. 设是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 13. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域概率是_________． 14. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积存在函数关系：（如图所示）．若木板面积为则压强为__________． 15. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，小明同学在研究如图1边长为7的弦图时，发现将其中的四个全等的直角三角形取出，可以分别拼成如图2边长为9的正方形和如图3所示的菱形，则图3中菱形的面积为_____． 16. 如图，直线与相切于点A，点C为上一动点，过点C作，垂足为B，已知的半径为，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随常移动 互联网的迅猛发展，人们购物支付方式更加多样、便捷．某超市想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合图中所给出的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中______，“其他”支付方式所对应的圆心角为______度； （2）补全条形统计图； （3）若该超市一天内有3000次支付记录，请你估计这天选择微信支付的次数． 21. 如图，四边形是平行四边形，点E为边上一点，连接． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点F，连接，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）（1）的条件下，连接分别交、于点M、N．求证：． 22. 2023年10月26日，“神舟”十七号载人飞船发射成功，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着汤洪波、唐胜杰、江新林三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片． （1）甲选手从中随机抽到卡片A的概率是________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 23. 公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时， （1）求端点A所经过的路径长（结果保留）； （2）求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．） 24. 如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长交的延长线于点F． （1）与有怎样的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长和的半径． 25. 某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5 （1）第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数关系式； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 26. 新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 27. 综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． （1）折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，的形状是______三角形． （2）剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $