专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 幂函数的定义】 2 【题型2 比较幂值的大小】 3 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 5 【题型4 求二次函数的解析式】 7 【题型5 二次函数的图象问题】 9 【题型6 二次函数的最值问题】 12 【题型7 二次函数的恒成立问题】 14 1、幂函数与二次函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 2020年江苏卷：第7题，5分 2024年天津卷：第2题，5分 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质. 【知识点1 幂函数的解题技巧】 1.幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3.比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点2 求二次函数解析式的方法】 1．二次函数解析式的求法 (1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式. (2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 【知识点3 二次函数的图象与性质】 1．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 2．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 3．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 【题型1 幂函数的定义】 【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的定义可判断各选项. 【解答过程】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可． 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解答过程】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】由幂函数的定义即可求解. 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【题型2 比较幂值的大小】 【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【解题思路】 直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增， 所以， 即“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简， ，所以，再化简，，故可得出答案. 【解答过程】∵， ，∴， ，∵， 且在R上为增函数，∴，即， 故选：C． 【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解. 【解答过程】因幂函数的图象过点，则，且， 于是得，，函数，函数是R上的增函数， 而，则有， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系. 【解答过程】因为当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 且，所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 则 所以.    故选：A. 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 【解题思路】根据幂函数的性质即可得解. 【解答过程】由题意可得且为奇数， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可. 【解答过程】当时，， 因为函数的定义域，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故A错误； 当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，符合题意，故C正确； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【解题思路】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【解答过程】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】因为函数在上为奇函数, 所以，解得，又， 即， 所以，解得，解得， 所以，， 由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增， 则不等式，即，等价于， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：C. 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数： 或或或 ． ①的最小值为；②的一次项系数为；③；④． 【解题思路】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解. 【解答过程】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以． 第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以． 第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以． 第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以． 故答案为：或或或.（不唯一）. 【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 【解题思路】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式. 【解答过程】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12， 所以，所以 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ． 【解题思路】根据得到，结合得出，根据恒成立，求出的值，即可求出函数解析式． 【解答过程】对任意，， 二次函数对称轴为， ， ， ， ， 又对任意，恒成立， ，即在上恒成立， ， ， ， ，，即函数， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是 ． 【解题思路】由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得，得函数解析式. 【解答过程】解：为，其解集为，则 ，，又函数的对称轴是，则， 两者结合解得， 所以. 故答案为：. 【题型5 二次函数的图象问题】 【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】本题可根据图像得出结果. 【解答过程】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象. 【解答过程】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，， 故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 【题型6 二次函数的最值问题】 【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数的说法正确的是（    ） A．恒成立 B．最大值是5 C．与y轴无交点 D．没有最小值 【解题思路】根据二次函数的性质即可判断各选项. 【解答过程】函数， 对于A，恒成立，A正确； 对于BD，当时，的最小值为，无最大值，BD都是错误；, 对于C，当时，，即与轴有交点，C错误. 故选：A. 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得. 【解答过程】在上有最大值， 且当时，的最大值为， 即且 ， 当且仅当时，即时，有最小值2， 故选：A． 【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）.则当变化时，的最小值为（    ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【解题思路】根据对称轴和区间的位置关系对的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可. 【解答过程】函数的对称轴为， 当，在上单调递增， 所以 ； 当，即时，在上单调递减， ； 当，即时，此时 ， 无最小值； 当，即时， ， 综上知，的最小值为， 故选： 【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（    ） A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8] 【解题思路】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解. 【解答过程】若，，函数为增函数，时，则，所以， 当时，作图如下， 为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时， 由， 即， 所以， 所以，即， 当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧， 则由， 解得， ， 当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到， ， 时，同理，当时，，当时，， 综上，的取值范围是， 故选：C. 【题型7 二次函数的恒成立问题】 【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由得，由基本不等式得，故. 【解答过程】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C. 【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答. 【解答过程】，而当时，，当且仅当，即时取等号， 则，所以m的取值范围是. 故选：C. 【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果. 【解答过程】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立， 当时，在上恒成立，所以满足条件， 当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立， 当时，显然有不恒成立， 故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C. 故选：C. 【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知，再解不等式即可得答案. 【解答过程】解：因为无论取何值时，不等式恒成立， 所以，，解得， 所以，的取值范围是 故选：D. 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【解答过程】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解答过程】由题意结合图象可知. 故选：B. 3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令中，则，排除C，D；又由可得任意的恒成立，则，，排除B，即可得出答案. 【解答过程】因为对任意的，有，令，则， 所以，排除C，D；即， 设二次函数， 所以，， 由可得，则， 所以任意的恒成立，则，，故排除B. 故选：A. 4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 5．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由对称轴求解. 【解答过程】解：函数的对称轴方程为：， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 故选：B. 6．（2023·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【解题思路】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可 【解答过程】已知幂函数经过点，可得：，解得：. 即，易知在上为单调递减函数. 由于，可得：，即； 又因为，，可得：，即； 综上所述：. 故选：B. 7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数所过的点求出解析式，分别构造、，结合其单调性判断各项正误. 【解答过程】设幂函数，图象过，则，即， 所以且， 为增函数，，故有. 为增函数，，故有. 所以A、B、C错，D对. 故选：D. 8．（2023·江西南昌·二模）已知函数的三个零点分别为1，，若函数为奇函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用，求得的表达式，由函数为奇函数，所以关于对称，可求得，利用二次函数零点分布的知识，求得满足的不等式组，求出的范围，即可求得的取值范围. 【解答过程】由，得. 所以 ， 对于函数，其开口向上， 因为函数为奇函数，所以关于对称， 其两个零点，则，且 且满足，解得：， 根据二次函数零点分布的知识有，解得： ， 故选：B. 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解. 【解答过程】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确； 对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误； 对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误； 对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误. 故选：AD. 10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【解题思路】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【解答过程】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A．或 B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【解题思路】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD. 【解答过程】因为，，所以， ，依次类推，可得，故A正确； 由A选项知，，故B正确； 当时，的对称轴， 所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误； 当时，的对称轴， 所以当时，，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 （不唯一） ． 【解题思路】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解. 【解答过程】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以为偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一）. 13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 【解题思路】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可. 【解答过程】当时，的值与无关，且，故，设 将代入，解得，故 故答案为：. 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【解答过程】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【解答过程】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 16．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式. （2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）设， 则由得：， ， . （2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 则若函数在区间上单调递增， 需满足， ， ∴实数a的取值范围为. 17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【解题思路】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【解答过程】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为 ． 18．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值； (2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可. （2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可. 【解答过程】（1）或， 又因为函数在上单调递增， ，（舍）， ，. （2），恒成立， ，恒成立． 令，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 故． 19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【解答过程】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 幂函数的定义】 2 【题型2 比较幂值的大小】 3 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 3 【题型4 求二次函数的解析式】 4 【题型5 二次函数的图象问题】 4 【题型6 二次函数的最值问题】 6 【题型7 二次函数的恒成立问题】 6 1、幂函数与二次函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 2020年江苏卷：第7题，5分 2024年天津卷：第2题，5分 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质. 【知识点1 幂函数的解题技巧】 1.幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3.比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点2 求二次函数解析式的方法】 1．二次函数解析式的求法 (1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式. (2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式. (3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式. 【知识点3 二次函数的图象与性质】 1．二次函数的图象问题 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 2．二次函数的单调性与最值 闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 3．二次函数的恒成立问题 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 【题型1 幂函数的定义】 【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2 比较幂值的大小】 【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A．2 B．3 C． D．-1 【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ） A． B． C． D． 【题型4 求二次函数的解析式】 【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数： ． ①的最小值为；②的一次项系数为；③；④． 【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ． 【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是 ． 【题型5 二次函数的图象问题】 【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【题型6 二次函数的最值问题】 【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数的说法正确的是（    ） A．恒成立 B．最大值是5 C．与y轴无交点 D．没有最小值 【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）.则当变化时，的最小值为（    ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（    ） A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8] 【题型7 二次函数的恒成立问题】 【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西南昌·二模）已知函数的三个零点分别为1，，若函数为奇函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A．或 B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 三、填空题 12．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ． 13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 16．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为. (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 18．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增． (1)求m的值； (2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$