重难点提优02 三角形全等的应用5大题型-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优2 三角形全等的应用 题型01 判定两个三角形全等的依据 1．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 2．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　） A．ASA B．HL C．SAS D．SSS 4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是____，这么做的依据是____．（　　） A．带①去，SAS B．带②去，SAS C．带③去，ASA D．①②③都带去，SSS 题型02 证明三角形全等求长度 1．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（　　） A．18m B．16m C．12m D．10m 3．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM＝55°；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到∠MDC＝35°，标记此时直杆的底端点D；最后测得DM＝5m，则攀岩墙的高度AM＝　　m． 4．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝100m，BF＝30m，求池塘FC的长． 题型03 证明三角形全等求角度 1．如图，已知A、B、C在同一条直线上，且∠A＝∠C＝56°，AB＝CE，AD＝BC，那么∠BDE的角度是 　　°． 2．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　　°． 3．如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE． （1）求证：AB＝CD； （2）求∠ACE的角度． 4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面垂直于地面的墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度EF相等，且左边这个滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，求∠DEF的度数． 题型04 尺规作图作角平分线垂线 1．老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线．这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 2．已知：直线AB和AB外一点C． 作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁． （2）以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F． （4）作直线CF，直线CF就是所求的垂线． 这个作图是（　　） A．平分已知角 B．作一个角等于已知角 C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线 3．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC＝OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 4．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． 题型05 三角形全等存在性问题 1．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（　　） A． B． C．2m/s或 D．2m/s或 2．如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是（　　） A．下滑过程中，始终有CC'＝DD' B．下滑过程中，始终有CC'≠DD' C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' 3．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　　cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 4．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 　　海里/小时． 提优练习 1．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 2．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP＝EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是（　　） A．SSS B．SSA C．ASA D．AAS 3．如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走t s后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（　　） A．50 B．60 C．80 D．100 4．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 5．如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝100m，则A，B两点间的距离为 　 　． 6．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　． 7．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度．如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C、D，使点B、C、D共线且河岸平行，AB、DE分别与河岸垂直且A、C、E三点共线，他们已测得BC＝CD、DE＝40m，河宽AB的长为 　 　． 8．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝35°，则∠DFE的度数是 　 　． 9．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约 　 　米． 10．如图，两车从路段AC的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达B、D两地，B、D两地到路段AC的距离分别为BE、DF，那么BE和DF相等吗？为什么？ 11．生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是 　 　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，连接BC、AD交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由． 12．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　 　（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　 　． 13．如图，在四边形的草坪ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，数学兴趣小组在测量中发现AE＝AF，CE＝CF，正准备继续测量BC与DC的长度时，小亮则说：不用测量了，CB＝CD．小亮的说法是否正确？请说明理由． 14．如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转90°直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了120步． （1）根据题意，画出示意图； （2）若小刚一步约0.5米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）． 15．如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 16．如图，小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离，先在岸边定出C点，使C，A，B在同一直线上，再依AC的垂直方向在岸边画CD，取它的中点O，又画DF⊥CD，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么EF的长就是浅滩B和对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？ 17．（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优2 三角形全等的应用 题型01 判定两个三角形全等的依据 1．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【分析】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 2．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：如图，连接AB、CD， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， ∴AB＝CD． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　） A．ASA B．HL C．SAS D．SSS 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：A． 【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是____，这么做的依据是____．（　　） A．带①去，SAS B．带②去，SAS C．带③去，ASA D．①②③都带去，SSS 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形， 只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，利用ASA得出全等，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用． 题型02 证明三角形全等求长度 1．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为（　　） A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（　　） A．18m B．16m C．12m D．10m 【分析】先根据“HL“定理判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质求出AB，即可求出BF． 【解答】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴AB＝DE＝8m， ∴BF＝AB+AD+DF＝8+4+6＝18（m）． 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键． 3．北关中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙AM的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于AM的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM＝55°；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到∠MDC＝35°，标记此时直杆的底端点D；最后测得DM＝5m，则攀岩墙的高度AM＝　　m． 【分析】根据题意证明出△AMB≌△DMC（AAS），进而得到AM＝DM＝5m． 【解答】解：∵∠ABM＝55°，∠AMB＝90°， ∴∠MAB＝180°﹣∠ABM﹣∠AMB＝35°， ∵∠MDC＝35°， ∴∠MAB＝∠MDC， ∵∠AMB＝∠DMC＝90°，AB＝CD， ∴△AMB≌△DMC（AAS）， ∴AM＝DM＝5m． 故答案为：5． 【点评】此题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定，关键是全等三角形性质定理的应用． 4．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝100m，BF＝30m，求池塘FC的长． 【分析】（1）先由平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可； （2）利用全等三角形的性质证明BF＝EC，再结合已知条件即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝100m，BF＝30m， ∴FC＝100﹣30﹣30＝40m． 答：FC的长是40m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 题型03 证明三角形全等求角度 1．如图，已知A、B、C在同一条直线上，且∠A＝∠C＝56°，AB＝CE，AD＝BC，那么∠BDE的角度是 　　°． 【分析】先根据SAS证明△ADB≌△CBE，所以∠1＝∠4，∠2＝∠6，DB＝BE，又根据平角定义、三角形内角和、等边对等角等知识点即可解答． 【解答】解：在△ADB和△CBE中， ， ∴△ADB≌△CBE（SAS）， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠6，DB＝BE， ∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠2+∠3+∠4＝180°，∠A＝56°， ∴∠3＝∠A＝56°， 在△DBE中，∵DB＝BE， ∴∠BDE＝∠5＝（180°﹣∠3）÷2＝62°， 故答案为：62． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边对等角，解题关键是熟练掌握以上性质． 2．如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC＝EF），且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B+∠F＝　　°． 【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF得到∠F＝∠ACB，则∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°． 【解答】解：∵AC⊥BF，ED⊥BF， ∴∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴∠B+∠ACB＝90°， ∵BC＝EF，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠F＝∠ACB， ∴∠B+∠F＝∠B+∠ACB＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3．如图，在△ABC与△CDE中，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝CE，BC＝DE． （1）求证：AB＝CD； （2）求∠ACE的角度． 【分析】（1）证明Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），由全等三角形的性质得出AB＝CD． （2）由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠CED，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABC和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）， ∴AB＝CD． （2）解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠ACB＝∠CED， ∵∠CED+∠ECD＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面垂直于地面的墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度EF相等，且左边这个滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，求∠DEF的度数． 【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△EDF得到∠EDF＝∠ABC＝35°，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠EFD＝90°，AB＝ED，AC＝EF， 在Rt△ABC和Rt△EDF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）， ∴∠EDF＝∠ABC＝35°， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝55°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 题型04 尺规作图作角平分线垂线 1．老师上课用磁力小棒设计了一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线．这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 2．已知：直线AB和AB外一点C． 作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁． （2）以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F． （4）作直线CF，直线CF就是所求的垂线． 这个作图是（　　） A．平分已知角 B．作一个角等于已知角 C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线 【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线）进行判断． 【解答】解：利用作法得CF⊥AB， 所以这个作图为过直线外一点作此直线的垂线． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC＝OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释． 【分析】根据OP是公共边，利用“HL”证明Rt△OPC和Rt△OPD全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证． 【解答】解：小明的做法有道理． 理由如下：在Rt△OPC和Rt△OPD中，， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴OP就是∠AOB的角平分线． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了直角三角形“HL”的判定方法，注意斜边为公共边是解题的关键． 4．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． 【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC＝∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【解答】解：此时轮船没有偏离航线． 理由：由题意知：DA＝DB，AC＝BC， 在△ADC和△BDC中， ， ∴△ADC≌△BDC（SSS）， ∴∠ADC＝∠BDC， 即DC为∠ADB的角平分线， ∴此时轮船没有偏离航线． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是：根据条件设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找对应角相等．要学会把实际问题转化为数学问题来解决． 题型05 三角形全等存在性问题 1．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（　　） A． B． C．2m/s或 D．2m/s或 【分析】根据三角形全等性质分BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ两类讨论求解即可得到答案． 【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点， ∴BE＝5m， ∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等， ∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ， 当BP＝CQ，BE＝CP时， ∵BE＝5m，BC＝8m， 设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得， ∴， 此时妞妞的运动速度为：m/s， 当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2， 此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：， 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论． 2．如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是（　　） A．下滑过程中，始终有CC'＝DD' B．下滑过程中，始终有CC'≠DD' C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD' 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'， 可得：CD＝C'D'， A、下滑过程中，CC'与DD'不一定相等，说法错误； B、下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，CC'＝DD'，说法错误； C、若OC＜OD，则下滑过程中，不存在某个位置使得CC'＝DD'，说法错误； D、若OC＞OD，则下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，一定存在某个位置使得CC'＝DD'，说法正确； 故选：D． 【点评】此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的对应边相等解答． 3．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　　cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s， ∵∠CAB＝∠DBA， ∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况： ①AP＝BP，AC＝BQ， 则1×t＝4﹣1×t， 解得：t＝2， 则3＝2x， 解得：x＝1.5； ②AP＝BQ，AC＝BP， 则1×t＝tx，4﹣1×t＝3， 解得：t＝1，x＝1， 故答案为：1或1.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 4．为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 　　海里/小时． 【分析】如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE， 由题意得，∠AON＝30°， ∴∠A＝60°， ∵∠OBC＝70°+50°＝120°， ∴∠OBG＝60°， ∴∠A＝∠OBG， ∵OA＝OB， ∴△AOE≌△BOG（SAS）， ∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°， ∴∠EOG＝140°， ∵∠EOF＝70°， ∴∠EOF＝∠GOF， ∵OF＝OF， ∴△EOF≌△GOF（SAS）， ∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里）， 设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时， ∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里， ∴9x+6x＝15x＝180， ∴x＝12， ∴2x＝24， 答：甲的速度为24海里/小时， 故答案为：24． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 提优练习 1．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【分析】根据全等三角形的判断方法解答． 【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 2．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP＝EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是（　　） A．SSS B．SSA C．ASA D．AAS 【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADP≌△AEP． 【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AE， 在△ADP和△AEP中， ． ∴△ADP≌△AEP（SSS）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 3．如图，两座建筑物AB，CD相距160m，小月从点B沿BC走向点C，行走t s后她到达点E，此时她仰望两座建筑物的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED．已知建筑物AB的高为60m，小月行走的速度为1m/s，则小月行走的时间t的值为（　　） A．50 B．60 C．80 D．100 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ECD（AAS），进而得出BE的长即可得出答案． 【解答】解：∵∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°． ∵∠ABE＝90°， ∴∠A+∠AEB＝90°． ∴∠A＝∠DEC， 在△ABE和△DCE中 ， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴EC＝AB＝60m． ∵BC＝160m， ∴BE＝100m． ∴小月走的时间是100÷1＝100（s）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确得出△ABE≌△ECD是解题关键． 4．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案． 【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°． ∴∠COE＝∠OBD， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD、CE分别为1.4m和1.8m， ∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m）， ∵AD＝1m， ∴AE＝AD+DE＝1.4（m）， 答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键． 5．如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝100m，则A，B两点间的距离为 　100m　． 【分析】首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案． 【解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO， ∴AC﹣AO＝BD﹣OD， 即OB＝OC， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝100m， 故答案为：100m． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及两点之间的距离，关键是掌握全等三角形对应边相等． 6．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　16米　． 【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP（ASA）， ∴CD＝AB＝16（米）， 故答案为：16米． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键． 7．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度．如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C、D，使点B、C、D共线且河岸平行，AB、DE分别与河岸垂直且A、C、E三点共线，他们已测得BC＝CD、DE＝40m，河宽AB的长为 　40m　． 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在△ABC中与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∵DE＝40m， ∴AB＝40m， 答：河宽AB的长为40m， 故答案为：40m． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 8．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC＝35°，则∠DFE的度数是 　55°　． 【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠DEF＝∠ABC＝35°， ∴∠DFE＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 9．为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约 　3　米． 【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AA S证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可 得DP＝AB＝18米，最后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，∠CDP＝∠ABP＝90°，∠APB＝69°，∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°， ∵∠CPD＝21°， ∴∠PAB＝∠CPD＝21°， ∵DB＝30米，PB＝12米， ∴DP＝BD﹣BP＝18（米）， 在△BAP和△DPC中， ， ∴△BAP≌△DPC（AAS）， ∴DP＝AB＝18米，每层楼的高度 （米）， ∴每层楼的高度大约为3米． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等 三角形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，两车从路段AC的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达B、D两地，B、D两地到路段AC的距离分别为BE、DF，那么BE和DF相等吗？为什么？ 【分析】根据垂直的定义得到∠AEB＝∠CFD＝90°，根据平行线的性质得到∠A＝∠C，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：BE和DF相等， 理由：由题意可知AB＝CD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件． 11．生活中的数学： （1）如图①，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的数学知识是 　三角形的稳定性　； （2）如图②，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段AB和CD，且AB＝CD，连接BC、AD交于点E，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段DE的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）首先证明△AEB≌△DEC，根据全等三角形的性质可得AE＝DE． 【解答】解：（1）三角形具有稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． （2）这样做合适， 理由：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， 在△AEB 与△DEC 中， ， ∴△AEB≌△DEC（ASA）， ∴AE＝DE． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形，对应边相等． 12．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，A、B两点分别为雕像底座的两端（其中A、B两点均在地面上）．因为A、B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　甲　（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　DB⊥AC　． 【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD， 故甲同学的方案可行． （2）DB⊥AC； 理由： ∵DB⊥AC， ∠ABD＝∠CBD＝90° 在Rt△DBA与Rt△DBC中， ， ∴Rt△DBA≌Rt△DBC（HL）， ∴AB＝CB． 故答案为：DB⊥AC． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 13．如图，在四边形的草坪ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，数学兴趣小组在测量中发现AE＝AF，CE＝CF，正准备继续测量BC与DC的长度时，小亮则说：不用测量了，CB＝CD．小亮的说法是否正确？请说明理由． 【分析】根据全等三角形的判定和性质余角角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：正确，理由：连接AC， 在△AEC与△AFC中， ， ∴△AEC≌△AFC（SSS）， ∴∠EAC＝∠FAC， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴CB⊥AB，CD⊥AD， ∴BC＝CD． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转90°直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了120步． （1）根据题意，画出示意图； （2）若小刚一步约0.5米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）． 【分析】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可； （2）根据三角形全等，得到AB＝DE＝120﹣20﹣20＝80步，结合一步约0.5米，代入计算即可． 【解答】解：（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下： 则画图即为所求． （2）在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（ASA）， ∴AB＝DE＝120﹣20﹣20＝80（步）， ∵一步约0.5米， ∴AB＝80×0.5＝40（米）， 答：A、B两点间的距离约为40米． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． 15．如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度． 【分析】延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A＝∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB＝DE． 【解答】解：如图，延长CE交AB于F， 则∠A+∠1＝90°，∠C+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠A＝∠C， 在△ABD和△CDE中， ， ∴△ABD≌△CDE（AAS）， ∴DB＝DE， ∵DE＝2米， ∴DB的长度是2米． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A＝∠C是解题的关键． 16．如图，小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离，先在岸边定出C点，使C，A，B在同一直线上，再依AC的垂直方向在岸边画CD，取它的中点O，又画DF⊥CD，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么EF的长就是浅滩B和对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？ 【分析】这种设计方案，有两次证明全等，即证明△AOC≌△FOD，得出∠A＝∠F，再证明△AOB≌△FOE，得出AB＝EF． 【解答】解：在△AOC和△FOD中， ， ∴△AOC≌△FOD（ASA）， ∴AO＝FO，∠A＝∠F， 在△AOB和△FOE中， ， ∴△AOB≌△FOE（ASA）， ∴AB＝EF． 【点评】本题考查了全等三角形的应用；点B在河中间，直接测量有难度，这样设计，运用两次全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 17．（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由． （2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米． 【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键； （2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米． 【解答】解：（1）△ABC与△AEG面积相等． 理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC＝∠ANG＝90°， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，AC＝AG， ∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG＝360°， ∴∠BAC+∠EAG＝180°， ∵∠EAG+∠GAN＝180°， ∴∠BAC＝∠GAN， 在△ACM和△AGN中， ， ∴△ACM≌△AGN（AAS）， ∴CM＝GN， ∵S△ABCAB•CM，S△AEGAE•GN， ∴S△ABC＝S△AEG， （2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． ∴这条小路的面积为（a+2b）平方米． 【点评】本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键． 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