第09讲 综合分析法解相似三角形（五大题型，对标中考第23题）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第09讲 综合分析法解相似三角形（五大题型，对标中考第23题） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（五大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2、知道中间比代换的重要性； 3、综合分析法解相似三角形。 一． 分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 二． 综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 三． 综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 例题1.（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）根据可得，，则，，根据相似三角形的性质结合题意可推出，由等角的补角相等得，以此即可证明； （2）由（1）可知，由相似三角形的性质得，，易证明，由相似三角形的性质得，以此即可求解． 【解析】（1）， ， ， ， ，， ， ， ，即， ； （2）， ，， ， ， ， ， ． 例题2．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明； （2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以． 【解析】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ． （2）如图2，、、分别是、、的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键． 题型1：在三角形中解相似三角形对应线段成比例问题 1．如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【解析】（1）证明： ， ， 又， ∴； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 2．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 3．已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证； （2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论． 【解析】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接DG， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键． （1）证明，即可解决问题； （2）证明，得，结合（1），即可解决问题． 【解析】（1）证明： ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ． 6．如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 题型2：在平行四边形中解相似三角形对应线段成比例问题 7．已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据，可得得出，结合已知条件可得，即可得证； （2）根据已知可证明得出，，进而证明，得出，即可得出，进而根据平行四边形的性质可得，即可得证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图所示， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 8．如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，： （1）运用三角形内角和，对顶角相等，得，结合三角形内角和以及对顶角相等，得，则即可作答． （2）先由，结合对顶角相等，证明，因为夹角相等，两边成比例，证明，结合平行四边形性质，即可作答． 【解析】（1） 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ 即 ∵对顶角相等，， ∴ ∴ ∴ 即； （2）解：如图：与相交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 题型3：在特殊平行四边形、梯形中解相似三角形 9．如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证； （）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形； （2）证明：连接，与交于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即． 10．如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先证明得，再证明，得，从而得出，即可由比例的性质得出结论． （2）由平行线分线段使得，即 ，由（1）知，从而得，即可得出，再证明，得出，，从而得出，可由菱形的判定得出结论． 【解析】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：如图， ∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ ∵∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键． 11．已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质： （1）证明，得到，证明得到，则可得，即； （2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，则，证明，进而证明,即可得到，即． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∴． 12．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出是解题关键． （1）连接交于点O，得是梯形的中位线，进而可得，再证明，由相似三角形性质即可得出结论， （2）根据垂直平分即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 13．已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，可得，结合，可得四边形是平行四边形，从而可得结论， （2）如图，连接交于点G，交于，证明梯形是等腰梯形，证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵的平分线交延长线于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）如图，连接交于点G，交于， ∵在梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 14．已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果P是线段上的点，连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质得到，进而得到，由等腰梯形的性质得到，证明，得到，即可证明结论； （2）根据结合得到，由，证明，得到，根据，推出，即可证明结论． 【解析】（1）证明：在等腰梯形中， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，三角形相似． 题型4：数字与对应线段复合式成比例问题 15．如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （2）如图，过作于，得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作于， 故，    则是等腰直角三角形， 由（1）知，， 即． 16．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以； （2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）如图，作交的延长线于，    ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 题型5：含双平方关系的对应线段成比例问题 17．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，即可得到，结论可得； （2）先证，则，再证，则可得，由，结论得证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵中，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质; （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【解析】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 在中，，， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ． 19．已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 一、解答题 1．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【解析】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，得出，求出，，则可得出答案． 【解析】（1）证明：和都是等边三角形， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 3．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键． （1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明； （2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 4．已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）先由，得到，再根据性质可得，由和等角的补角相等，得出，即可求证； （）由，得，，，则有，从而证明，可得，故可证明； 此题考查了相似三角形的性质与判定． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论； （2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论． 【解析】（1）解：证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点A作于H，如图2所示： ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据，得到，进而得到，再结合，从而可得结论； （2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案． 熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 【解析】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）， ． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， 由①②可得，． 8．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 9．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质： （1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论； （2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可． 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，（公共角）， ， ∴， （2），， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线可知，，结合点E是边中点，即得出，从而可根据直角三角形斜边中线的性质求出，得出．根据三角形外角性质，结合题意可求出，即得出，进而可证； （2）由等腰三角形三线合一的性质可知，，即得出．由（1）可得，即得出，从而可求出，进而得出，即．再由平行线的性质得出，即证明，得出，即． 【解析】（1）∵， ∴． ∵E为中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，E为中点， ∴，， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的两组边对应成比例且夹角相等，②两个三角形有两组角对应相等，③两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 11．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用已知条件证明即可； （2）通过证明，得出，再根据，得出结论． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是边上的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明． 12．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而证明，可得，再由，即可求证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且．    (1)求证：； (2)点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【解析】（1）证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 综合分析法解相似三角形（五大题型，对标中考第23题） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（五大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2、知道中间比代换的重要性； 3、综合分析法解相似三角形。 一． 分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 二． 综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 三． 综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 例题1.（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 例题2．（2024九年级下·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 题型1：在三角形中解相似三角形对应线段成比例问题 1．如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 3．已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 4．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 5．如图，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 6．如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 题型2：在平行四边形中解相似三角形对应线段成比例问题 7．已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 8．如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型3：在特殊平行四边形、梯形中解相似三角形 9．如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 10．如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 11．已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． (1)求证：； (2)当时，求证：． 12．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 13．已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 14．已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果P是线段上的点，连接，，求证：． 题型4：数字与对应线段复合式成比例问题 15．如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 16．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 题型5：含双平方关系的对应线段成比例问题 17．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． (1)求证： (2)求证：． 18．如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 19．已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 一、解答题 1．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 2．如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 3．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 4．已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 5．如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 6．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 7．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 8．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 9．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 10．如图，在梯形中，，，点E是边中点，连接并延长交的延长线于点F，，且．    (1)求证：； (2)求证：． 11．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．求证：    (1)； (2)． 12．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 13．已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且．    (1)求证：； (2)点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$