第11讲 相似三角形 单元综合检测（重点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第11讲 相似三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断四条线段是否成比例即可． 【解析】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选B． 2．下列命题中真命题是（   ） A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似 C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，根据相似三角形以及相似多边形的判定，对比每个选项，看能否举出反例即可得出答案． 【解析】解：A、四个内角都相等的两个四边形，但是四条边不一定成比例，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、菱形的四条边都对应成比例，但是四个内角不一定对应相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、所有的等边三角形三个角都等于，三个角都相等，原命题是真命题，本选项符合题意； D、一条线段有两个黄金分割点，原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：D． 3．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【解析】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【解析】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 5．如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【解析】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 6．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【解析】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B不符合题意； C、由，不能判断和相似，符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【解析】解：， 设，则， ， 故答案为：． 8．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【解析】解：设这条道路的实际长度为，则： ， 解得． 故答案是：． 9．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 10．如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解析】∵ ∴可以添加的条件为 ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 11．已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可． 【解析】∵线段c是a和b的比例中项， ∴， ∴． 故答案为： 12．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 【答案】2 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可． 【解析】解：由题意，当，即：时，； 故答案为：2． 13．如图，，，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【解析】∵，，， ∴，即 ∴． 故答案为：6． 14．如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵是的中线，，，， ， 又∵， ∴ 故答案为∶． 15．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解析】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作，交于点M，证明 推出，再证明推出 ，从而可得，即可求解． 【解析】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A作于点F．证明，推出，设这构建方程求解． 【解析】解：如图，过点A作于点F．    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设这 ∵， ∴ ∴（负根已经舍去）， ∴ 故答案为：． 18．如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【解析】解：如图所示， 为的中点，为的重心， ∵在中，， ∴ ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【解析】（1）解：， ， ； （2）设， 则，，， ， ， ， ，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 20．学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】根据题意可得，可证得，即可求解． 【解析】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可． 【解析】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 22．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．    (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定， （1）根据平行线分线段成比例得到，然后结合即可得到，进而求解即可； （2）首先证明，然后结合得到，求出，作，垂足为点，然后得到，然后利用平行线分线段成比例得到，进而求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵//， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，垂足为点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明得到即可证得结论； （2）根据等腰三角形的判定与性质得到，，进而利用三角形的内角和定理求得，证明得到即可证得结论． 【解析】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，又， ∴， 又， ∴， ∴即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C． （1）设BC与AO相交于点D， ①若BA＝BO，求证：CD＝CO； ②求：点A到直线l的距离； （2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②4；（2）或或 【分析】（1）①根据BA=BO，得到∠BAO=∠BOA，再根据垂直的定义可得∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，从而可以推出∠CDO=∠COD，从而得证； ②分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，可证△AOE∽△BOF，得到，再由可设，得到，，从而推出，再在直角三角形AEO中利用勾股定理求解即可； （2）过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，则，证明△AEB∽△BOC，得到即，则，然后分当△ABC∽△BOC时和当△ABC∽△COB时两种情况讨论求解即可． 【解析】解：（1）①∵BA=BO， ∴∠BAO=∠BOA， ∵AB⊥BC，CO⊥BO， ∴∠ABC=∠BOC=90°， ∴∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°， ∴∠COD=∠ADB， 又∵∠ADB=∠CDO， ∴∠CDO=∠COD， ∴CD=CO； ②如图所示，分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴∠AEO=∠BFO=90°， 又∵∠AOE=∠BOF， ∴△AOE∽△BOF， ∴， ∵B在直线上， ∴可设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A到直线l的距离为4； （2）如图所示，过点A作AE⊥直线l于E， 由（1）②得AE=4，OE=4AE=16， 设OB=x，则BE=OE-OB=16-x， ∴ ∵AB⊥BC，CO⊥BO，AE⊥BO， ∴∠ABC=∠BOC=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠EAB=∠ABE+∠CBO=90°， ∴△AEB∽△BOC， ∴即， ∴， ∴ ∵∠ABC=∠BOC=90°， ∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似有两种情况： 当△ABC∽△BOC时， ∴即， 解得， ∴此时； 当△ABC∽△COB时， ∴即， 解得， ∴此时或， 综上所述，当或或，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，一次函数上点的坐标特征，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定． 25．已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)函数关系式为，定义域为 (3) 【分析】（1）由平行关系可得，由，则可得，由面积关系可求得，进而由勾股定理求得结果； （2）由已知易得，由相似三角形的性质及，可得，由相似三角形的性质即可得函数关系式；再由点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合，即可确定自变量的取值范围； （3）由（2）得，则可得，进而得；由面积关系求得的长；由勾股定理可求得；由平行可得，由相似三角形的性质即可求得的值． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∴； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 由勾股定理得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合， ∴自变量x的取值范围为； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, ∴为等腰三角形时，只能是； ∴，； ∵， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， ∵， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 相似三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 2．下列命题中真命题是（   ） A．四个内角都相等的两个四边形一定相似 B．所有菱形都一定相似 C．所有的等边三角形都相似 D．一条线段只有一个黄金分割点 3．已知线段、、，求作线段，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 5．如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，那么 ． 8．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，那么这条道路的实际长度为 ． 9．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 10．如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使，这个条件可以是 ． 11．已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 12．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，． 13．如图，，，，那么 ． 14．如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 15．如图所示，已知在梯形中，，，则 ． 16．如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则 ． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在中，，点都在边上，，如果与是友好三角形，那么的长为 ． 18．如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 三、解答题 19．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 20．学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 21．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 22．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．    (1)求证：； (2)如果，，求的值． 23．已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C． （1）设BC与AO相交于点D， ①若BA＝BO，求证：CD＝CO； ②求：点A到直线l的距离； （2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 25．已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$