专题02 复数（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题02 复数 命题解读 考向 考查统计 高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低. 共轭复数、复数的除法运算 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024新高考Ⅰ卷，2 复数的乘法运算 2022·新高考Ⅱ卷，2 复数的几何意义 2023新高考Ⅱ卷，1 复数的模 2024·新高考Ⅱ卷，1 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。 试题精讲 1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用复数的除法可求，从而可求. 【详解】由题设有，故，故， 故选：D 2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】， 故选：D. 4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 三、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 一、单选题 1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】先化简复数，再求出，最后得解. 【详解】， ， . 故选：C 2．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果. 【详解】由，得到， 所以，其对应点为， 故选：C. 3．（2024·河南·三模）已知关于的方程的一个根为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解复数范围内方程可得及的值即可得解. 【详解】由可得， 故，，即. 故选：C. 4．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可. 【详解】. 故选：D 5．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 故选：B. 6．（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数相等求出，再由共轭复数概念即可求解. 【详解】因为， 所以，故， 所以复数的共轭复数为， 故选：A. 7．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据为纯虚数即可求解. 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以. 故选：A. 8．（2024·四川遂宁·三模）若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法求出，结合已知求出值即可得解. 【详解】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 9．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，将四个选项代入检验，得到答案. 【详解】由题意得， A选项，当时，，不合题意，A错误； B选项，当时，，不合要求，B错误； C选项，当时，，故C正确； D选项，当时，，D错误. 故选：C 11．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则的虚部为. 故选：A 12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 即， 故. 故选：B. 二、多选题 13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 14．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限 【答案】AC 【分析】当时，代入计算可判断A、B；由判断的实部和虚部范围可判断C、D. 【详解】当时，，故，故选项正确； ，B选项错误； 当时，，， 故对任意，点均在第一象限，故C选项正确； 不存在，使得点在第二象限，D选项错误． 故选：AC． 15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（    ） A．的最小值是1 B．的最大值是2 C．的最大值是3 D．的最大值是4 【答案】ABC 【分析】对于A，设，依题意可得，可知复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得，表示复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明，结合图形求得，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知，结合图形转化为求的最值，根据点在椭圆上，利用二次函数性质求解可得. 【详解】设， 对于A，因为，所以， 所以，复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，点到原点的最小距离为1，即的最小值是1，A正确； 对于B，因为， 所以，复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上， 由椭圆几何性质可知，点到原点的最大距离为2，即的最大值为2， 又，所以的最大值是2，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 由图可知，，所以当时，取得最大值3，C正确；    对于D，因为表示的距离， 所以的最大值为，设，则，即， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值，D错误.    故选：ABC 三、填空题 17．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的乘法运算直接求得，进而求得即可. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 18．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】， 因为是纯虚数， 所以，得. 故答案为： 19．（2024·河南南阳·三模）若，则 【答案】/ 【分析】由复数的乘除法运算法则及模长计算公式求解即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【答案】 【分析】设，结合复数的运算以及共轭复数求，并结合复数的几何意义取舍. 【详解】设，则， 因为，则， 解得或， 又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 命题解读 考向 考查统计 高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低. 共轭复数、复数的除法运算 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024新高考Ⅰ卷，2 复数的乘法运算 2022·新高考Ⅱ卷，2 复数的几何意义 2023新高考Ⅱ卷，1 复数的模 2024·新高考Ⅱ卷，1 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。 试题精讲 1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（    ） A． B． C． D． 4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 三、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，。 （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 。 综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系 ， 一、单选题 1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 2．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·河南·三模）已知关于的方程的一个根为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川遂宁·三模）若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（      ） A． B． C． D． 11．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 二、多选题 13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 14．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限 15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（    ） A．的最小值是1 B．的最大值是2 C．的最大值是3 D．的最大值是4 三、填空题 17．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ． 18．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 19．（2024·河南南阳·三模）若，则 20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$