精品解析：广西壮族自治区河池市十校联体2023-2024学年高二下学期第二次联考（5月）数学试题

2024年春季学期高二年级校联体第二次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（ ） A. 10种 B. 12种 C. 24种 D. 120种 3. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 5. 在一次投篮测试中小明投篮投中的概率是，且每次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 桨校组织部分班级参观博物馆，现已安排了5个班级参观，并且已经确定了5个班级的参观顺序，参观前临时增加了2个班级参观博物馆，现将增加的2个班级插入5个班级之间，要求原5个班级顺序不变，插入的班级即不排在首位，也不排在末位，则不同的插入方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60 8. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于展开式的判断中正确的有（ ） A. 第四项的系数是160 B. 各项系数之和等于64 C. 各二项式系数之和等于64 D. 常数项等于1 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回地从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最大值为__________. 13. 三个车间生产同样的零件，其中1号车间生产的占号车间生产的占号车间生产的占.已知1号车间，2号车间，3号车间生产的零件分别有和不合格.现有一批由1号车间，2号车间，3号车间生产的零件，从中随机地抽取一个零件，则取到的是不合格零件的概率为__________. 14. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）函数在定义域上为增函数，求的取值范围. 16. 甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 （1）求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； （2）试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 17. 某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； （2）设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 18. 某学校为了丰富学生的课外活动，利用了课余时间举行了课外趣味投篮.在投篮活动中，每位学生投篮若干次，每一次投篮的计分方法如下：第1次投篮，投中得2分，不中得1分，从第2次投篮开始，投中则获得上一次投篮所得分数两倍的得分，不中得1分，学生参加了投篮活动，该同学每次投篮投中的概率都为，每次投篮是否投中互不影响. （1）设表示学生前2次投篮的得分之和，求的分布列； （2）记学生第次投篮所得分数的数学期望为，求，，，并猜想当时，与之间的关系式.（不必写推导过程） 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季学期高二年级校联体第二次联考 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在处的导数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求导，然后代入计算即可. 【详解】由，得，所以. 故选：C. 2. 2名男生和3名女生站成一排照相，不同的站法为（ ） A. 10种 B. 12种 C. 24种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】由5名同学的全排列直接求解即可. 【详解】根据题意，2名男生和3名女生站成一排拍照，不同的站法为种. 故选：D. 3. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求，切线过切点可求，可得结论. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以. 故选：D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的概率性质可求得，进而可求的值. 【详解】， . 随机变量服从正态分布， 曲线关于对称， . 故选：B. 5. 在一次投篮测试中小明投篮投中的概率是，且每次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由独立重复试验的概率公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意，各次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率为. 故选：A. 6. 已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求导可知在上单调递增，再利用函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】函数的定义域为， 由得， 所以在上单调递增， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 即. 故选：. 7. 桨校组织部分班级参观博物馆，现已安排了5个班级参观，并且已经确定了5个班级的参观顺序，参观前临时增加了2个班级参观博物馆，现将增加的2个班级插入5个班级之间，要求原5个班级顺序不变，插入的班级即不排在首位，也不排在末位，则不同的插入方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况两个班级在一起和两个班级不在一起，利用捆绑法、插空法求解即可. 【详解】要保持原5个班级顺序不变，并且新插入的2个班级不能在首位也不能在末位， 则只需将新加入的2个班级插入原来的5个班级的中间， 新的2个班级分开插入的方法数有：种， 新的2个班级捆绑一起再插入的方法数有：种， 综上，总的方法数为种. 故选:C. 8. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量，则； ②甲､乙､丙､丁四人到4个景点游玩，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则； ③已知变量，则. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】代入二项分布的期望公式，判断①，代入条件概率公式，判断②，根据期望和方差的性质判断③. 【详解】对于①：随机变量，则，故①正确； 对于②：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”， 则，所以，故②正确； 对于③：，故③正确； 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：AD 10. 下列关于展开式的判断中正确的有（ ） A. 第四项的系数是160 B. 各项系数之和等于64 C. 各二项式系数之和等于64 D. 常数项等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项为可判断A、D，利用赋值法判断B，根据二项式系数和的性质判断C. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且），则第四项的系数为，故A正确； 令可得展开式各项系数和等于，故B不正确； 各二项式系数之和等于，故C正确； 令，即，所以展开式中常数项为，故D正确. 故选：ACD. 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回地从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，然后结合条件概率公式以及全概率公式代入计算，逐一判断，即可求解. 【详解】由题得， 根据条件概率公式，得， ，故正确，错误. 对选项， 所以， 故C正确. 对选项D，， ，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最大值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以在上单调递增，所以. 故答案为：9. 13. 三个车间生产同样的零件，其中1号车间生产的占号车间生产的占号车间生产的占.已知1号车间，2号车间，3号车间生产的零件分别有和不合格.现有一批由1号车间，2号车间，3号车间生产的零件，从中随机地抽取一个零件，则取到的是不合格零件的概率为__________. 【答案】0.025## 【解析】 【分析】利用全概率公式求出答案. 【详解】取到的是不合格零件的概率为：. 故答案为：0.025 14. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则“杨辉三角”中第30行中第12个数与第13个数之比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数表示第30行第12和第13个数，再根据组合数公式，即可求解. 【详解】第30行中第12个数与第13个数之比为 . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）函数在定义域上为增函数，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据题意转化为恒成立，转化为参变分离，求函数的最值. 【小问1详解】 由题意可知函数定义域为： 当时，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以，无极小值. 【小问2详解】 函数定义域为：， 由函数在定义域上为增函数可知在上恒成立， ，即， 令而， 当且仅当时取等号，的取值范围是. 16. 甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 （1）求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； （2）试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【答案】（1）甲､乙两人成绩的均值分别为1.9，1.9 （2）甲同学的成绩较好 【解析】 【分析】（1）利用数学期望公式可计算两名同学成绩的数学期望； （2）利用方差公式计算两名同的学的成绩的方差，可得结论. 【小问1详解】 甲､乙两人成绩的均值分别为 【小问2详解】 方差分别为 由上面的数据，可知. 这表示甲､乙两人答对题目的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同， 甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好. 17. 某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； （2）设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）分别求出三人都参加物理竞赛的概率与三人都参加化学竞赛的概率，可求“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”的概率； （2）随机变量的所有可能值为，利用超几何分布的概率公式计算可求分布列. 【小问1详解】 设“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”为事件A，事件A分三人都参加物理竞赛和三人都参加化学竞赛两类： 三人都参加物理竞赛的概率：. 三人都参加化学竞赛的概率：. . 【小问2详解】 随机变量的所有可能值为. ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 18. 某学校为了丰富学生的课外活动，利用了课余时间举行了课外趣味投篮.在投篮活动中，每位学生投篮若干次，每一次投篮的计分方法如下：第1次投篮，投中得2分，不中得1分，从第2次投篮开始，投中则获得上一次投篮所得分数两倍的得分，不中得1分，学生参加了投篮活动，该同学每次投篮投中的概率都为，每次投篮是否投中互不影响. （1）设表示学生前2次投篮的得分之和，求的分布列； （2）记学生第次投篮所得分数的数学期望为，求，，，并猜想当时，与之间的关系式.（不必写推导过程） 【答案】（1）的分布列为： 2 3 6 （2），，，【解析】 【分析】（1）由已知可知的可能取值有，，，然后利用独立事件的概率计算公式分别计算概率求解即可； （2）分别计算，，，结合题意，即可完成猜想. 【小问1详解】 由题意，的可能取值有，，， ，， ， 所以的分布列为 【小问2详解】 学生第1次投篮得分2分，1分的概率分别都为， 则， 学生第2次投篮得分4分，2分，1分的概率分别为，，， 则， 学生第3次投篮得分8分，4分，2分，1分的概率分别为，，，， 则， 当时，因为学生第次投篮所得分数的数学期望为， 所以第次投篮投中所得分数为，没投中所得分数为1分，其概率为， 所以， 可猜想：. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 当时，， 要证原不等式成立，需证成立， 即需证成立， 令， 则， 令，则，故在上单调递增， ，， 由函数零点存在定理可知，存在，使得， 则在上，在上， 即在上，在上， 则在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值， 由可得，即， 两边同时取对数得，即， 因此的最小值， 即成立， 故当时，成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，然后分为、两种情况进行分类讨论，即可得出结果； （2）根据题意将不等式转化为，然后令并求出导函数，最后令，通过求导求出函数的最小值，即可证得结果. 【小问1详解】 由已知条件得函数的定义域为， ， 因为，， 所以①当时，在上恒成立， 故在上单调递增， ②当时，当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立 （2）恒成立；恒成立 （3）恒成立； 恒成立 （4），，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $