专题01 集合与逻辑（讲义）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题01 集合与逻辑(讲义) 一、集合及其运算 1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性； 2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法； 3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x满足P｝；读法：满足条件P的x的集合； 4．空集Ø是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“，⊆”表示集合与集合间的包含关系． 6．给出下列条件： ①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素； ②集合B至少存在一个元素不在集合A中； ③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素， 如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A⊆B）； 如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）； 如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）. 注意：①A⊆B，讨论时别忘A＝Ø的情况；考察集合的关系借助韦思图； ②几个特殊数集之间的包含关系为：NZQRC（N*表示正整数集）； ③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0．{Ø}是含有一个元素Ø的集合，其关系为：Ø{0}，Ø{Ø}，Ø∈{Ø}． 7．集合的含义： （1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域； （2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域； （3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合·· 8．集合间的基本运算： (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 9．运算性质： A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C； Ø⊆A∩B＝B∩A⊆A（或B）⊆A∪B＝B∪A； A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø 10．几个结论： 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.容斥定理：记集合M中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card（A∩B)(可推广到有限个集合) 11．正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）； 被3整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）； 被4整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推． 二、命题 1.命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2.命题的形式 在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 3.真命题，假命题 命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命题. 温馨提示 一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题， (2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题。 (3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。 (4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。 (5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 三、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p⇒q”, 这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p ⇏q, 这时称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 . 2 .充要条件 一般地，如果既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作 p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q, 那么p与q互为充要条件. 3.常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p与q的关系如下： 原命题 逆命题 p与q的关系 结论 真 假 p ⇒ q 且 q ⇏p p是q的充分不必要条件 假 真 p ⇏q且q⇒ p p是q的必要不充分条件 真 真 p ⇒ q且q⇒ p p是q的充要条件 假 假 p ⇏q 且 q ⇏ p p是q的既不充分也不必要条件 四、证明命题成立的方法 1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 → →…→ →→…→ 文字 语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2．反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)反证法的证题步骤： ①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 3.常见词语的否定词语 原词 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多 有一个 至多 有n个 至少 有一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有 一、单选题 1．下列四个命题中，其中真命题的个数为（    ） ①与0非常接近的全体实数能构成集合；     ②表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集；       ④任何一个非空集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 3．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，集合，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．－2 6．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设集合，则集合M的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．32 D．31 10．若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．设集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 14．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 16．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 18．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．已知集合，用列举法表示为 . 20．设全集，集合，则 ． 21．“或”的否定形式为 ． 22．已知全集，则 . 23．用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 24．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件. 25．，或，且，则的取值范围是 . 26．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 27．已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .   .   28．设集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为 . 29．如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为    30．已知是全集，是的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ． 31．“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 32．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与逻辑(讲义) 一、集合及其运算 1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性； 2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法； 3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x满足P｝；读法：满足条件P的x的集合； 4．空集Ø是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“，⊆”表示集合与集合间的包含关系． 6．给出下列条件： ①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素； ②集合B至少存在一个元素不在集合A中； ③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素， 如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A⊆B）； 如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）； 如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）. 注意：①A⊆B，讨论时别忘A＝Ø的情况；考察集合的关系借助韦思图； ②几个特殊数集之间的包含关系为：NZQRC（N*表示正整数集）； ③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0．{Ø}是含有一个元素Ø的集合，其关系为：Ø{0}，Ø{Ø}，Ø∈{Ø}． 7．集合的含义： （1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域； （2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域； （3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合·· 8．集合间的基本运算： (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 9．运算性质： A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C； Ø⊆A∩B＝B∩A⊆A（或B）⊆A∪B＝B∪A； A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø 10．几个结论： 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.容斥定理：记集合M中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card（A∩B)(可推广到有限个集合) 11．正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）； 被3整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）； 被4整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推． 二、命题 1.命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2.命题的形式 在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 3.真命题，假命题 命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命题. 温馨提示 一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题， (2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题。 (3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。 (4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。 (5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 三、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p⇒q”, 这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p ⇏q, 这时称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 . 2 .充要条件 一般地，如果既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作 p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q, 那么p与q互为充要条件. 3.常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p与q的关系如下： 原命题 逆命题 p与q的关系 结论 真 假 p ⇒ q 且 q ⇏p p是q的充分不必要条件 假 真 p ⇏q且q⇒ p p是q的必要不充分条件 真 真 p ⇒ q且q⇒ p p是q的充要条件 假 假 p ⇏q 且 q ⇏ p p是q的既不充分也不必要条件 四、证明命题成立的方法 1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 → →…→ →→…→ 文字 语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2．反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)反证法的证题步骤： ①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． 3.常见词语的否定词语 原词 等于 (=) 大于 (>) 小于 (<) 是 都是 至多 有一个 至多 有n个 至少 有一个 否定 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 (n+1)个 一个也 没有 一、单选题 1．下列四个命题中，其中真命题的个数为（    ） ①与0非常接近的全体实数能构成集合；     ②表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集；       ④任何一个非空集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果. 【解析】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误； ②，正确； ③空集是任何非空集合的真子集，错误； ④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确. 故选：C 2．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③． 【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C. 3．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【解析】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 4．已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项. 【解析】 故选：B 5．设，集合，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．－2 【答案】C 【分析】根据集合相等即可得出答案. 【解析】因为，，所以.经检验满足题意 故选：C 【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题. 6．设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得. 【解析】全集，由，知，则，A错误，B正确； 不能判断，也不能判断，CD错误. 故选：B 7．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 8．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 9．设集合，则集合M的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．32 D．31 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合真子集的求法，即可求解. 【解析】由不等式，解得， 因为，所以， 所以集合M的真子集个数为. 故选：B． 10．若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解. 【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以. 故选：A． 11．已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可. 【解析】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 综上所述，或. 故选：B 12．设集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 先求出集合，再求交集即可. 【解析】 依题意可得， 则，则中元素的个数为. 故选：B. 13．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【解析】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 14．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集的定义求解. 【解析】集合，则. 故选：D 15．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【解析】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 16．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 17．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据命题的概念逐一判断. 【解析】 ①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 18．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 二、填空题 19．已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【解析】， 故答案为：. 20．设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的定义可求. 【解析】由题设有， 故答案为： 21．“或”的否定形式为 ． 【答案】“且” 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【解析】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 22．已知全集，则 . 【答案】或2 【分析】由补集运算法则可知需满足，解出的取值代入检验即可得出结果. 【解析】根据题意可知，需满足，解得或； 经检验，当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 故答案为：或2 23．用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【解析】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 24．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的 条件. 【答案】必要非充分 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】由题意，，但，所以，是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 25．，或，且，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果. 【解析】因为，或，且， 由图知或，得到或， 故答案为：或. 26．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可. 【解析】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 27．已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .   .   【答案】 【分析】根据集合的运算求得，可得，结合Venn图中阴影部分表示的集合为，即可得答案. 【解析】由于全集，，， 故， 则， 故Venn图中阴影部分表示的集合为， 故答案为： 28．设集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】根据韦恩图判定阴影表示的集合，结合真子集的概念计算即可. 【解析】因为，所以， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为， 故其真子集个数为个. 故答案为：7 29．如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为    【答案】 【分析】根据韦恩图及集合的运算表示即可. 【解析】由韦恩图可知阴影部分表示集合中集合的补集与集合的公共部分， 所以可以表示为. 故答案为； 30．已知是全集，是的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ． 【答案】 【分析】根据分析即可. 【解析】由题知，图中的阴影部分为， 故答案为：. 31．“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位. 【答案】70 【分析】由题意结合Venn图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计算即可得解． 【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图， 使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位， 则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人， 又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位， 则使用过“共享单车”的学生人数为， 故答案为：70．    32．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果这三天售出的水果至少有 种． 【答案】20 【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案. 【解析】设这三天售出相同种类的水果有种， 第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种， 则这三天售出水果的种类关系如图所示．    由图可知，该水果店这三天售出水果有种， 由，得，所以． 故该水果店这三天售出的水果至少有20种． 故答案为：20 ( 第 2 页 共 15 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$