精品解析：2024年中国科学技术大学强基计划数学学科笔试试题

2024年中国科学技术大学强基计划数学笔试试题 考试时间：6月12日8∶30-12∶00 数学共15道试题，其中填空题14道，每题6分，解答题1道，16分，共计100分． 一、填空题（本题共14小题，每小题6分，共84分） 1. 已知正整数a，b，c满足，则的组数是__________． 2. 若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是__________． 3 全集U有2024个元素，若，，，则__________． 4. 已知，是方程的两个复数根，则__________． 5. 函数的值域是__________． 6. 已知，则的取值范围是__________． 7. 的小数点后第100位数字是__________． 8. 投掷一个质地均匀的正方体（各面标有1，2，3，4，5，6），当各次所得数字之和为6的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是__________． 9. 数列，，则命题“，，”否定是__________． 10. 在数字和中，更大数字是__________． 11. 已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是__________． 12. 函数满足，，，且，则__________． 13. 直线与双曲线的交点个数是__________． 14. 已知，，，则y取值范围是__________． 二、解答题（本题共1小题，共16分） 15. 已知斐波那契数列满足，，求个位数字． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中国科学技术大学强基计划数学笔试试题 考试时间：6月12日8∶30-12∶00 数学共15道试题，其中填空题14道，每题6分，解答题1道，16分，共计100分． 一、填空题（本题共14小题，每小题6分，共84分） 1. 已知正整数a，b，c满足，则的组数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】变形得到，分，，，几种情况，讨论得到答案. 【详解】整理得． 当时，，只可能是，，； 当时，，解得，其中，2，3，4，共4组； 当时，，解得，无正整数解． 显然当时亦无正整数解，则共有5组正整数解． 故答案为：5 2. 若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零点定义，将问题转化为三次方程求解问题，结合韦达定理，可得答案. 【详解】由题意等价于三次方程存在一个二重根与一个根， 设其二重根为m，另一实根为n， 则由韦达定理可知，解得． 故答案为：. 3. 全集U有2024个元素，若，，，则__________． 【答案】1888 【解析】 【分析】根据集合的容斥原理可得答案. 【详解】， ， ， 由集合的容斥原理有， 等号可在时取得． 故答案为：1888. 4. 已知，是方程的两个复数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的韦达定理，结合完全平方公式可得答案. 详解】将方程整理得，因此，因此， 进而，，因此． 故答案为：. 5. 函数的值域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数变形为，则表示抛物线上的点到点和x轴的距离之和，由几何意义即可得到答案． 【详解】将变形可得， 设，则的轨迹方程为，设， 则表示抛物线上的点到点A和x轴的距离之和， 过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点， 故用 所以. 故答案为：. 6. 已知，则取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据柯西不等式可得，即可得，根据不等式性质结合两点间距离公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当，，时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：所求取值范围是． 故答案为：. 7. 的小数点后第100位数字是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】首先设，由特征方程得递推关系式为，并易知是整数，则根据的小数点后100位的数字，可确定的小数点后100位的数字. 【详解】设．则由特征方程可知其递推式为． 但注意到，都是整数，由数学归纳法可知是整数， 但显然有，因此所求小数点后第100位数字是9． 故答案为：9 8. 投掷一个质地均匀的正方体（各面标有1，2，3，4，5，6），当各次所得数字之和为6的整数倍时停止，则投掷次数的数学期望是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】分析可知投掷次数服从参数的几何分布，进而可求期望. 【详解】因为第一次数字为1，2，3，4，5，6的概率均为， 不论第一次所得是多少，其与下一次数字之和为6的整数倍是唯一的且概率均为， ， 依次类推，所以每次所得数字之和为6的整数倍的概率均为， 可知投掷次数服从参数的几何分布，其数学期望为． 故答案为：6. 9. 数列，，则命题“，，”的否定是__________． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的否定即可解答. 【详解】其否定是“，，”． 故答案为：. 10. 在数字和中，更大的数字是__________． 【答案】 【解析】 【分析】同时取e为底的对数，则转换为比较和的大小，设，根据函数的单调性即得. 【详解】同时取e为底的对数，得，， 则转换为比较和的大小， 设，则，当时，， 即在上单调递减， 由，所以，则，即， 所以在数字和中，更大的数字是. 故答案为：. 11. 已知圆锥的高为1，底面直径，则一蚂蚁从点A沿着侧面爬到点B，爬行距离的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案. 【详解】考察其侧面展开图，为扇形，其中扇形半径， 弧长，解得． 连接，则线段即为最短爬行距离， 由余弦定理得，． 故答案为： 12. 函数满足，，，且，则__________． 【答案】4047 【解析】 【分析】运用赋值法解题即可. 【详解】令可得①， 根据①且令，从而； 根据题设及①有②， 联立①②，有，即． 令可得，因此． 故答案为：4047. 13. 直线与双曲线的交点个数是__________． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的个数就可以判断方程组解的个数即可. 【详解】因为直线是二元一次方程，双曲线是二元二次方程， 所以它们联立方程组，利用二元一次方程代入消元后，得到的是关于的一元二次方程， 根据一元二次方程解的个数为0，1，2， 则可以判断方程组解的个数也为0，1，2， 即它们的交点个数就为0，1，2． 故答案为：0，1，2. 14. 已知，，，则y的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，构建函数，利用导数研究其值域，可得答案. 【详解】由，则，令，， 令，解得，可得下表： 极大值 当时，；当时，. 由题意可知： 故答案为：. 二、解答题（本题共1小题，共16分） 15. 已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 【答案】9 【解析】 【分析】采用枚举法列举出前70项的个位数，可得斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列，根据周期数列的性质求解即可. 【详解】采用枚举法列举出前70项的个位数如下表: 所以斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列， 因为， 所以的个位数与的个位数相同，即的个位数是9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$