专题03 向量的数量积（思维导图+5重点+10题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第三册）

专题03 向量的数量积 知识点1 ：两个向量的夹角 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．Θ=<a,b>=<b,a>,0≤<a,b>≤π. (2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 规定：零向量与任何向量垂直. 知识点2：向量数量积的定义 1.向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ （2）两个非零向量的数量积是一个实数.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. （3）规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的性质 (1)|a·b|≤|a||b|. (2)a·a＝|a|2或|a|＝. (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0.即a⊥b⇔a·b＝0. 知识点3 ：向量的投影与向量数量积的几何意义 （1）定义：如果a，b都是非零向量，则称|a|cos <a,b>为向量a在向量b上的投影的数量． （2）几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的乘积 （3）特别地，单位向量为e，a与e的夹角为θ，a·e＝e·a＝|a|cos θ. 知识点4 ：向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点5 ：向量数量积的坐标运算 1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y； |a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)|x1x2＋y1y2|≤. (4)设θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝. 2.两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 题型归纳 【题型01 根据定义求数量积】 满分技法 需明确两个关键点：相关向量的模和夹角． 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．（23-24高一下·吉林·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18 3．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，弦长为2， ． 【题型02根据运算律求数量积】 满分技法 当相关向量是两个或两个以上向量的线性运算时，要先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，再加以计算． 4.（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知单位向量，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5.（2024高三·江苏·专题练习） 已知向量，，， ． 6．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知是边长为的正三角形. (1)求的值； (2)设，，求的值. 【题型03 求投影的数量】 满分技法 根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算． 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 8.（23-24高一下·北京门头沟·期中）设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为 ． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在的方向上的投影数量为 ． 【题型04向量模的计算问题】 满分技法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量. ③坐标法 10．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知平面内的向量在向量上的投影数量为，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 12.（21-22高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【题型05向量夹角（函数值）的运算】 满分技法 求两个向量夹角的四个步骤： (1)求a·b的值； (2)求|a||b|的值； (3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； (4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角． 13．（23-24高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则 （  ）    A． B． C． D． 14．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)求和； (2)若，，求向量和向量的夹角的大小． 【题型06向量垂直关系的判断与应用】 满分技法 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 16．（23-24高一下·北京·阶段练习）若四边形满足，且，则此四边形的形状为 ． 17．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 . 18．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，若与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【题型07已知向量的模求数量积】 满分技法 利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算 19.（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 20．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 21．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）（1）已知单位向量与的夹角为，且，，求； （2）已知，，，求. 【题型08数量积的最值、范围问题】 满分技法 (1)直接根据数量积定义进行运算a·b＝|a||b|cos θ，进而得出最值或范围． (2)建立坐标系，引入坐标运算，即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数，进而求得最值． (3)基底表示，即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示，进而转化为“基底向量”的数量积． (4)通过几何意义，利用数形结合的思想求得最值或范围． 22．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二下·浙江·学业考试）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 【题型09求参数问题】 满分技法 根据条件，建立参数的方程（组）求解． 25．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高二下·海南·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C．5 D．6 27．（22-23高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【题型10 向量模的最值、范围问题】 满分技法 求向量模的最值、范围的常用方法 ①利用三角函数求最值(范围)． ②利用基本不等式求最值(范围)． ③建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． ④数形结合，应用图形的几何性质求最值． 28．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 29．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 过关检测 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）如果，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 7．（23-24高一下·北京·期中）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最大值为8. 则正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号） 8．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，． (1)若，求实数m的值； (2)若与的夹角为，求实数m的值． 9．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量，． (1)若，求及在上投影的数量； (2)若，求与的夹角． 10．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，. (1)若，求； (2)设，若，当取最小值时，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 向量的数量积 知识点1 ：两个向量的夹角 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．Θ=<a,b>=<b,a>,0≤<a,b>≤π. (2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 规定：零向量与任何向量垂直. 知识点2：向量数量积的定义 1.向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ （2）两个非零向量的数量积是一个实数.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. （3）规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的性质 (1)|a·b|≤|a||b|. (2)a·a＝|a|2或|a|＝. (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0.即a⊥b⇔a·b＝0. 知识点3 ：向量的投影与向量数量积的几何意义 （1）定义：如果a，b都是非零向量，则称|a|cos <a,b>为向量a在向量b上的投影的数量． （2）几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的乘积 （3）特别地，单位向量为e，a与e的夹角为θ，a·e＝e·a＝|a|cos θ. 知识点4 ：向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点5 ：向量数量积的坐标运算 1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y； |a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)|x1x2＋y1y2|≤. (4)设θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝. 2.两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 题型归纳 【题型01 根据定义求数量积】 满分技法 需明确两个关键点：相关向量的模和夹角． 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 2．（23-24高一下·吉林·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18 【答案】A 【分析】设交于点，则是中点且，根据数量积的定义计算可得． 【详解】如图，交于点，则是中点且， 由题意可得. 故选：A．    3．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在中，弦长为2， ． 【答案】2 【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解. 【详解】过作于点，则点为的中点， . 故答案为：. 【题型02根据运算律求数量积】 满分技法 当相关向量是两个或两个以上向量的线性运算时，要先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，再加以计算． 4.（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知单位向量，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可知：，，， 所以. 故选：B. 5.（2024高三·江苏·专题练习） 已知向量，，， ． 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算律，代入模长计算可得结果. 【详解】由已知可得， 因此． 故答案为：． 6．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知是边长为的正三角形. (1)求的值； (2)设，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律及定义计算可得； （2）用、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得 【详解】（1）依题意 . （2）因为，， 所以， ， 所以 . 【题型03 求投影的数量】 满分技法 根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算． 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影数量为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两边同时平方，可求得，进而由可求向量在向量方向上的投影数量． 【详解】将两边同时平方， 可得，得， 故向量在向量方向上的投影数量为． 故选：A． 8.（23-24高一下·北京门头沟·期中）设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为 ． 【答案】 【分析】由向量的投影公式即可求解. 【详解】由题意在方向上的投影数量为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在的方向上的投影数量为 ． 【答案】/ 【分析】利用数量投影的定义可求答案. 【详解】向量，，在的方向上的数量投影为. 故答案为： 【题型04向量模的计算问题】 满分技法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量. ③坐标法 10．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知平面内的向量在向量上的投影数量为，且，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：，又，， 所以，所以， 故选：A. 11．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，连接，，由向量的线性运算和数量积运算可得，从而根据向量的数量积以及模长运算公式求解即可. 【详解】连接，，如图，可知. 所以，即，可得. 从而，，所以. 故选：C 12.（21-22高一下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为，由题意求出，，从而可求出其长度，进而可得结果 【详解】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为， 因为、、， 所以， 所以，， 所以， ， 因为， 所以较长的对角线长为， 故选：B 【题型05向量夹角（函数值）的运算】 满分技法 求两个向量夹角的四个步骤： (1)求a·b的值； (2)求|a||b|的值； (3)根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； (4)由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角． 13．（23-24高三上·辽宁·期中）已知向量，，，则 （  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 14．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，化简得，代入即可. 【详解】向量满足 ， ,即, , , 故选：A. 15．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)求和； (2)若，，求向量和向量的夹角的大小． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）由列方程可求出，再由列方程可求出，从而可求出和； （2）先求出向量和向量的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 故，； （2），， 设向量和向量的夹角为， 则， 因为，所以， 即向量和向量的夹角的大小为． 【题型06向量垂直关系的判断与应用】 满分技法 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 16．（23-24高一下·北京·阶段练习）若四边形满足，且，则此四边形的形状为 ． 【答案】菱形 【分析】根据平面向量加法的平行四边形和垂直的向量表示可判断. 【详解】根据题意，由，可知四边形为平行四边形， ， 所以，则四边形的形状为菱形. 故答案为：菱形. 17．（23-24高一下·广西·阶段练习）已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 . 【答案】 3 / 【分析】利用向量共线的充要条件即得；利用向量垂直的充要条件求得，再由向量夹角的坐标公式计算即得向量与的夹角. 【详解】若，则，解得． 若，则，即，解得， 则，． 设向量与的夹角为，则， 因，故． 故答案为：3；. 18．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，若与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的数量积公式及计算即可； （2）两个向量垂直则这两个向量数量积为，把条件代入计算即可. 【详解】（1）， . （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得， 所以当时，向量与向量互相垂直. 【题型07已知向量的模求数量积】 满分技法 利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算 19.（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可求得，进而计算可求. 【详解】由，两边平方可得， 所以，所以. 故选：B. 20．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 21．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）（1）已知单位向量与的夹角为，且，，求； （2）已知，，，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先求出，再根据数量积的运算律计算可得； （2）将两边平方，由数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）∵单位向量与的夹角为， ∴. ∴. （2）∵，，， ∴，即， ∴. 【题型08数量积的最值、范围问题】 满分技法 (1)直接根据数量积定义进行运算a·b＝|a||b|cos θ，进而得出最值或范围． (2)建立坐标系，引入坐标运算，即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数，进而求得最值． (3)基底表示，即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示，进而转化为“基底向量”的数量积． (4)通过几何意义，利用数形结合的思想求得最值或范围． 22．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 23．（2024高二下·浙江·学业考试）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，结合的取值范围，即可得解. 【详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则， 所以，， 所以. 故选：B 24．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）如图，扇形所在圆的半径为3，它所对的圆心角为，点满足，点是线段上的一点，，点是弧上的一点.    (1)若点是弧的中点，求与夹角的余弦值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，直接用数量积变形公式求得与夹角的余弦值； （2）设，则，再用表示出，根据三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为，，扇形所在圆的半径为3， 所以，， ， 所以，又点是弧的中点，所以， ， 所以. （2）设，则， . 因为，所以当时，的最小值为. 【题型09求参数问题】 满分技法 根据条件，建立参数的方程（组）求解． 25．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的坐标，然后利用与垂直，可得，列方程可求得答案. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直， 所以，解得， 故选：D 26．（22-23高二下·海南·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，， 所以， 由，得， 所以， 因为，， 所以，解得. 故选：C 27．（22-23高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【详解】（1）由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. （2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 【题型10 向量模的最值、范围问题】 满分技法 求向量模的最值、范围的常用方法 ①利用三角函数求最值(范围)． ②利用基本不等式求最值(范围)． ③建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． ④数形结合，应用图形的几何性质求最值． 28．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出的表达式，利用二次函数的最值即得. 【详解】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 29．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合模长公式整理得，结合余弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故选：D. 30．（23-24高二下·重庆·期中）已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为 ． 【答案】2 【分析】建立如图平面直角坐标系，设．根据向量数量积的坐标表示求得，进而或，分类讨论结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】令．建立如图平面直角坐标系，    不妨设． ， ，则， ． ．由，得或， 根据对称性，只研究的情况，因为，要求的最小值， 只需求，当时，， 当时，， 综上，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是先确定出或，分情况讨论，求得. 过关检测 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）如果，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A. 2．（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】把给出的两个等式两边平方化简后，解方程组即可求解. 【详解】解：由，可得，① 由，可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选：D. 3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面垂直向量的坐标表示可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 则，又， 所以 故选：B 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用数量积的坐标表示，再利用三角函数性质求解即得. 【详解】依题意，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在矩形中，，，E为的中点，F为的中点，Q为边上的动点（包括端点），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数，结合向量数量积的坐标公式将表示成的函数，由此即可得解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意，设， 从而， 所以的取值范围是. 故答案为：. 7．（23-24高一下·北京·期中）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为； ②的最小值为； ③的最大值为； ④的最大值为8. 则正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号） 【答案】② 【分析】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可. 【详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为，设， 则 可得， 则，即 则，其中， 所以，故①③错误； 因为 则， 其中， 又因为，所以，故②正确，④错误； 故答案为：②. 8．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，． (1)若，求实数m的值； (2)若与的夹角为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对和两边分别平方化简可求出实数m的值； （2）先求出，，再利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，得， 由，得， 所以，整理得， 因为，所以 （2）因为，， 所以， 由，得，则， 所以， 因为与的夹角为， 所以， ，解得， 因为，所以 9．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量，． (1)若，求及在上投影的数量； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，可先确定的值，再根据投影向量的概念计算可得； （2）根据向量垂直，则数量积为零，可先确定的值，再根据夹角公式计算可得. 【详解】（1），． ．又，，． ，． 在上投影的数量为． （2），，，． ，，， ，与的夹角为． 10．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，. (1)若，求； (2)设，若，当取最小值时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求解即可. （2）根据垂直的坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求得，然后利用数量积模的运算律求得，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）若，则，即， 又，解得，， 所以； （2）若，则， 又，所以，， 所以. 又，所以， 所以， 所以当时，取得最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$