易错03函数及其性质（10个易错点错因分析与分类讲解+6个易错核心题型强化训练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

易错03函数及其性质（10个易错点错因分析与分类讲解+6个易错核心题型强化训练） 易错点错因分析与分类讲解 易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误 1.[江苏三校2023联考]已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） 2. [江苏扬州高邮2022调研]已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ） 易错点2 忽视函数定义域而致误 3.[重庆2023一诊]已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 . 4.[安徽黄山2022一模]连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ） 5.[河南中原顶级名校2022联考]函数的零点个数为（ ） 易错点3 忽视分段函数交界处的函数值的大小 6.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 . 易错点4 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误 7.[吉林部分学校2023大联考]已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） 易错点5 对数型复合函数的定义域为和值域为理解不透彻致误 8.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 易错点6 函数的图象画的不准确而致误 9.[河北2023联考]已知函数 若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） 易错点7 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误 10.[江苏常州一中2023调研]若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） 易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误 11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当时，，则的取值范围是 . 易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误 12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 . 易错点10 忽视函数图象端点的取值致错 13.[陕西安康2022期末]已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ） 【易错核心题型强化训练】 一．函数的图象与图象的变换（共2小题） 1．（2024•长安区校级一模）函数的图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 2．（2024•临渭区三模）下列可能是函数的图象的是　　 A． B． C． D． 二．函数的最值及其几何意义（共2小题） 3．（2024•天心区校级模拟）已知函数，则　　 A．的最小值为1 B．，（1） C． D． 4．（2024•庄浪县校级一模）设，，且（1）． （1）求的值及的定义域． （2）求在区间，上的最大值． 三．函数奇偶性的性质与判断（共2小题） 5．（2024•安宁区校级模拟）设函数为奇函数，则实数的值为　　 A．0 B．1 C． D．2 6．（2024•涪陵区校级模拟）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则　　 A．4为的一个周期 B． C．由（1）（2）（3）（4）可知，（2） D．函数的所有零点之和为0 四．抽象函数及其应用（共17小题） 7．（2024•山东模拟）已知函数的定义域为，若，，则　　 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024•安徽模拟）若定义在上的函数，满足，且（1），则（1）（2）　　 A．0 B． C．2 D．1 9．（2024•遵义二模）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 10．（2024•鄠邑区三模）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（1）（2）　　 A．0 B．50 C．2509 D．2499 11．（2024•保定二模）已知定义域为的函数满足，则　　 A． B． C．是奇函数 D．存在函数以及，使得的值为 12．（2024•泊头市模拟）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B．为偶函数 C． D． 13．（2024•开封模拟）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 14．（2024•汕头模拟）已知定义域为的函数．满足，且，，则　　 A．（1） B．是偶函数 C． D． 15．（2024•茂名模拟）已知函数的定义域为，且，（1），为偶函数，则　　 A．（3） B．为奇函数 C．（2） D． 16．（2024•保定一模）若函数的定义域为，且（a）（b），（4），则　　 A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 17．（2024•如皋市模拟）设为常数，，，则　　 A． B．恒成立 C． D．满足条件的不止一个 18．（2024•秦皇岛二模）已知函数满足：对，，都有，且（2），则下列说法正确的是　　 A．（1） B． C． D． 19．（2024•友谊县校级模拟）已知函数的导函数为，，，且为奇函数，若，则　　 A．（3） B．的一个周期为2 C．（4） D． 20．（2024•河南一模）已知函数的定义域为，，，则　　 A． B． C．的一个周期为3 D． 21．（2024•玉林模拟）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则　　 A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D．（1）（2） 22．（2024•安徽三模）已知函数的定义域为，且，（1），（2），则下列说法中正确的是　　 A．为偶函数 B．（3） C．（5） D． 23．（2024•青羊区校级模拟）已知函数的定义域为，对于任意实数、均满足，若（2），（5），则　　． 五．函数的周期性（共1小题） 24．（2024•玄武区三模）已知是定义在上的函数，（1），且对于任意都有，，若，则　　． 六．函数恒成立问题（共10小题） 25．（2024•榆林三模）已知，若当，时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 26．（2024•牡丹江一模）已知是定义在上的奇函数，且在区间，上单调递减，若关于实数的不等式（3）恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 27．（2024•龙岗区校级模拟）已知对任意，恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 28．（2024•呼和浩特模拟）若在上恒成立，则的最大值为　　 A． B． C． D． 29．（2024•江苏模拟）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为　　 A． B． C．0 D．8 30．（2024•新县校级模拟）已知，函数恒成立，则的最大值为 　　． 31．（2024•马鞍山模拟）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 　　． 32．（2024•3月份模拟）若存在实数，对任意实数，，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　． 33．（2024•江西模拟）若不等式在，上恒成立，则的最大值为 　　． 34．（2024•萍乡二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为． （1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质； （2）任意，恒有成立，求实数的取值范围； （3）正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错03函数及其性质（10个易错点错因分析与分类讲解+6个易错核心题型强化训练） 易错点错因分析与分类讲解 易错点1 对复合函数定义域的理解不透彻致误 1.[江苏三校2023联考]已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） 特别提醒： （1）已知的定义域为，则的定义域为的解集； （2）已知的定义域为，则的定义域为在上的值域. 【解析】因为函数的定义域，所以，所以，所以函数的定义域为 要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是故选D. 【答案】D 2. [江苏扬州高邮2022调研]已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（ ） 特别提醒： （1）已知的定义域为，则的定义域为不等式的解集； （2）已知的定义域为，则的定义域为在上的值域. 【解析】因为，且的定义域为，值域为，所以的定义域为，值域为.由得，所以的定义域为，值域为，则，，所以.故选. 【答案】 易错点2 忽视函数定义域而致误 3.[重庆2023一诊]已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 . 特别提醒：本题中的定义域，在解不等式时，要保证且. 【解析】因为且，令，则，令，，则，所以不等式，即即，解得，所以不等式的解集 4.[安徽黄山2022一模]连续函数是定义在上的偶函数，当时，若，则的取值范围是（ ） 特别提醒：本题中的定义域为，在解不等式时，要保证且. 【解析】当时，由得；当时，由得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.由可得，所以解得.故选. 【答案】 5.[河南中原顶级名校2022联考]函数的零点个数为（ ） 特别提醒：在本题中，若忽视定义域为且，则得到的函数有2个零点，因此在利用数形结合判断函数零点时，将零点个数转化成两个函数图象交点的个数，需要注意一些特殊点（如定义域或端点）和特殊位置（如直线与曲线的切点、曲线的间断点等）. 【解析】令，则，.令，，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，易得这两个函数的图象只有1个交点，所以原函数只有1个零点.故选. 易错点3 忽视分段函数交界处的函数值的大小 6.[湖北鄂西北四校 2022 联考]已知满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是 . 特别提醒：本题中的函数在处是两端的交界，研究该函数在上单调递减时，一定要保证当时，第一段的函数值不小于第二段的函数值，即 【解析】因为对于任意实数，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所有实数的取值范围是. 易错点4 不能正确理解分段函数在定义域内的单调性致误 7.[吉林部分学校2023大联考]已知函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） 特别提醒：分段函数在定义域内是单调函数，不仅需要限制每段内是单调性相同的单调函数，还需要限制交界处函数值的大小.本题中的分段函数在处是两段的交界，当在上单调递增时，需限制，当在上单调递减时，需限制. 【解析】是上单调递增， 若在上单调递增， 则解得 综上，的取值范围是.故选. 【答案】B 易错点5 对数型复合函数的定义域为和值域为理解不透彻致误 8.[河北“五个一”名校2023联考]已知函数的值域为，那么的取值范围是 . 特别提醒：（1）若的定义域为，当时不符合题意，当时需且； （2）若的值域为，当时符合题意，当时需且 【解析】令的值域为，若的值域为，则，若，则，符合题意； 若，则当即时，，符合题意. 综上, ,所以的取值范围是. 易错点6 函数的图象画的不准确而致误 9.[河北2023联考]已知函数 若函数有3个零点，则的取值范围是（ ） 特别提醒：利用函数的图象解决问题时，需准确画出函数的图象，注意特殊点、渐近线的位置，否则可能导致解题错误.本题中画函数 的图象时，注意当时，单调递减，当时，的图象与直线无限接近，忽略这点可能导致解题错误. 【解析】要使函数有3个零点，则有3个不相等的实根，即的图象与直线有3个交点.画出函数的图象与直线如图所示. 由图象可以看出，若的图象与直线有3个交点，则，故选. 【答案】 易错点7 利用数形结合法求方程根的个数时，所画的两函数的图象的位置不准确而致误 10.[江苏常州一中2023调研]若函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） 特别提醒：本题的D选项，确定方程的实数根的个数，即与的图象的交点个数时，需画出两函数的图象，在画函数的图象时需要注意到，当时，，而当时，，所以当时，与的图象无交点.本题的易错之处在于不能准确把握与的图象的位置. 【解析】因为为奇函数，所以的图象关于点（-1，0）对称，.因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，，则，，所以的周期为8，结合题意，作出的图象，如图所示. 对于，，故正确 对于，的图象关于点（-1，0）对称，周期为8，则的图象关于点（7，0）对称，则为奇函数，故正确； 对于，在（6，8）上单调递增，故正确； 对于，的实数根的个数即为与的图象的交点个数，如图，由图可知与的图象有6个交点，所以方程有6个实数根，故D 错误. 【答案】D 易错点8 底数含参数的对数函数忽视分类讨论而致误 11.[江苏南京师大附中2022开学考改编]当时，，则的取值范围是 . 特别提醒：若对数函数的底数中含有参数，则要注意按照底数大于1和底数大于0小于1两种情况讨论，以免漏解，同时需要注意对数函数的真数要大于0. 【解析】分别记函数，. 当时，作出和的大致图像， 如图①所示，由图①知，当时，不满足题意. 当时，作出和的大致图像，如图②所示， 要使当时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得 易错点9 对数型复合函数单调性判断不清致误 12.[四川泸州江阳区2022期末]若函数与互为反函数，则的单调递减区间是 . 特别提醒：一般地，若，则函数的单调性与函数的单调性相同，若，则函数的单调性与函数的单调性相反. 【解析】因为与互为反函数，所以，则.设，则，由，解得或，因为 在其定义域上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，所以的单调递减区间是 易错点10 忽视函数图象端点的取值致错 13.[陕西安康2022期末]已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（ ） 特别提醒：在本题中，若忽视当时，则得到在上有个不同的实数根，会得到故解答此类问题，既要注意最值，也要注意端点值，有时需要着重检验断点的取值是否符合题意 【解析】设，则，作出函数的大致图象，如图所示. 则函数有6个零点等价于方程在上有2个不同的实数根，则 解得，故选 【易错核心题型强化训练】 一．函数的图象与图象的变换（共2小题） 1．（2024•长安区校级一模）函数的图象的大致形状是　　 A． B． C． D． 【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性以及极限思想进行判断即可． 【解答】解：， 则， 则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，， 当，且，，排除， 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想进行排除是解决本题的关键． 2．（2024•临渭区三模）下列可能是函数的图象的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数定义域和特殊值可排除． 【解答】解：函数定义域为，排除选项，当时，，排除选项， 故选：． 【点评】本题考查函数的识图问题，注意利用函数的奇偶性、定义域进行筛选，特殊值验证法的应用，属于中档题． 二．函数的最值及其几何意义（共2小题） 3．（2024•天心区校级模拟）已知函数，则　　 A．的最小值为1 B．，（1） C． D． 【分析】根据对数函数的单调性即可求解，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解． 【解答】解：，当且仅当时，取得最小值1，正确； 因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以（1），所以（1），错误； 因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，正确； 因为，所以，所以正确． 故选：． 【点评】本题考查对数型函数的单调性判断、最值的求法及其应用，属于中档题． 4．（2024•庄浪县校级一模）设，，且（1）． （1）求的值及的定义域． （2）求在区间，上的最大值． 【分析】（1）由（1），求出的值，由对数的真数大于0，求得的取值范围，即得定义域； （2）化简，考查在区间，上的单调性，求出最大值． 【解答】解：（1），， （1）， ； ， ， 解得； 的定义域是． （2）， 且； 当时，在区间，上取得最大值，是． 【点评】本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，根据定义域求出最值，是基础题． 三．函数奇偶性的性质与判断（共2小题） 5．（2024•安宁区校级模拟）设函数为奇函数，则实数的值为　　 A．0 B．1 C． D．2 【分析】法一：由函数为奇函数，根据奇函数的性质得到，分别代入列出关于的方程，即可求出的值． 法二：由奇函数的性质可知，为偶函数，根据偶函数的性质可知，函数的对称轴可求 【解答】解：由题意可得，，， ， 整理可得，对任意都成立， ， ， 故答案为：． 法二：是奇函数， 由奇函数的性质可知，为偶函数， 根据偶函数的性质可知，函数的对称轴， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，当函数为偶函数时有；当函数为奇函数时有，熟练掌握此性质是解本题的关键 6．（2024•涪陵区校级模拟）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则　　 A．4为的一个周期 B． C．由（1）（2）（3）（4）可知，（2） D．函数的所有零点之和为0 【分析】根据已知条件得到的对称性、周期性，进而画出草图逐项判断即可． 【解答】解：因为函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数， 所以的图象关于对称，关于对称， 即，， 所以，，即函数的周期，正确； 根据题意，画出可能的两个周期内的图象： 由为奇函数，所以（1），（3），所以（3），正确； 若（1）（2）（3）（4），结合（2）（4），（1）（3），所以（4），（2），所以错误； 的所有零点，即为与图象交点的横坐标，这两个函数都是偶函数， 所以它们的交点也是关于对称成对出现，所以所有零点之和为0，正确． 故选：． 【点评】本题考查函数的零点、方程的根以及两函数图象交点间的关系，属于中档题． 四．抽象函数及其应用（共17小题） 7．（2024•山东模拟）已知函数的定义域为，若，，则　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据得出为奇函数，且；根据，得出的图象关于对称，从而得出的周期为4，计算即可． 【解答】解：因为的定义域为，且，所以为奇函数，所以； 又因为，所以的图象关于对称，所以； 所以，所以，所以的周期为4， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与对称性应用问题，是基础题． 8．（2024•安徽模拟）若定义在上的函数，满足，且（1），则（1）（2）　　 A．0 B． C．2 D．1 【分析】利用赋值法，先后求出，，再令，得到，则问题可解． 【解答】解：由，且（1）， 令，可得（1）（1）（1），所以， 再令，，所以，可得， 再令，可得， 由得，即， 所以（1）（2） （1）（2）． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及赋值法的应用，属于中档题． 9．（2024•遵义二模）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是　　 A． B．的周期为4 C．关于对称 D．在单调递减 【分析】根据给的抽象函数的性质，构造特殊函数，结合，可取，然后利用函数，逐项判断即可． 【解答】解：因为符合余弦函数模型，所以令， 因为，所以代入可得或， 取，即进行验证， 对于，，故错误； 对于，，的周期为，故错误； 对于，，此时，取得最大值，故为对称轴，正确； 对于，因为是周期函数，故在不可能单调递减，错误． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的性质，余弦函数的性质及应用，属于中档题． 10．（2024•鄠邑区三模）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（1）（2）　　 A．0 B．50 C．2509 D．2499 【分析】根据的图象关于点对称，判断的图象关于点对称，由，得出的图象关于直线对称，且的图象关于点对称，判断是周期函数，由此求解即可． 【解答】解：因为的图象关于点对称， 所以，即， 用代替，得， 即， 所以的图象关于点对称． 所以， 由，可得， 即． 令，则， 则的图象关于直线对称． 又因为， 则的图象关于点对称， 即，， 又， 所以， 即， ， 所以， 故是以4为周期的函数， 因为，（1），（2），（3）（1）， 所以（1）（2）（3），即（1）（2）（3）（4）， 所以（1）（2）（1）（2） ． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，属于难题． 11．（2024•保定二模）已知定义域为的函数满足，则　　 A． B． C．是奇函数 D．存在函数以及，使得的值为 【分析】根据题意，利用赋值法对选项逐一分析，即可判断，，，． 【解答】解，对于，由，取，得，选项正确． 对于，令，得（1）（1），解得（1）． 令，得（1）， 所以，选项错误． 对于，令，得， 所以是奇函数，选项正确． 对于，当时，在两边同时除以， 得， 令，则， 当时，， 所以， 所以（e），选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 12．（2024•泊头市模拟）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B．为偶函数 C． D． 【分析】利用赋值法，求出，即可判断选项，求出（1）与，即可判断选项； 计算与的值，判断选项； 判断（1），（2），（3），，是等比数列，求出首项和公比，求和即可判断选项． 【解答】解：对于，令，，得（1）（1），所以（1）， 因为（1），所以，解得，选项正确； 对于，令，，得（1），所以，选项错误； 对于，令，得（1），所以，所以， 所以，选项正确； 对于，由知，（1），（2），（3），，是等比数列，且首项为（1），公比为2， 由等比数列的前项和公式，得，所以，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 13．（2024•开封模拟）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 【分析】根据余弦函数的和差化积公式，构造函数，然后逐项判断即可． 【解答】解：根据，且（1），不妨设， 显然，对； 因为（3），所以是的对称轴，即，对； 该函数最小正周期为，对； 对于选项，由正确可知，，错． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及对称性的判断及应用，属于中档题． 14．（2024•汕头模拟）已知定义域为的函数．满足，且，，则　　 A．（1） B．是偶函数 C． D． 【分析】通过对抽象等式中的自变量进行赋值求值，依次判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再利用周期性求出若干值，对选项依次判断求解． 【解答】解：对于项，由， 令，则，故项正确； 对于项，令，则（1）， 因，故， 令，则（1）①， 所以函数关于点成中心对称， 令，则（2）（1）， 令，则（2）②， 由①可得：③，由②③可知：， 且函数的定义域为，则函数是偶函数，故项正确； 对于项，令，则， 因为，，，代入上式中得， 故得：，故项正确； 对于项，由上可知：，则， 故函数的一个周期为4，故（4）， 令，，则（3）（2）（1）， 所以（1）（2）（3）（4）， 则，故项错误． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性的判断和应用，属于中档题． 15．（2024•茂名模拟）已知函数的定义域为，且，（1），为偶函数，则　　 A．（3） B．为奇函数 C．（2） D． 【分析】利用赋值法，结合为偶函数，得到的奇偶性与周期性，再逐项计算求解、判断即可． 【解答】解：因为函数的定义域为，且， （1），为偶函数， 令，得，再令，则， 显然不恒为零，所以，即为奇函数，正确； 所以，所以，所以，即的周期为4， 则（3）（1），错误； ，正确； 由，，可知，（1），（2），（3），（4），且的周期为4， 所以（1）（2）（3）（4），正确． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性的判断和应用，赋值法的应用，属于中档题． 16．（2024•保定一模）若函数的定义域为，且（a）（b），（4），则　　 A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性逐项判断即可． 【解答】解：对于：令，则（4）（4），，错误； 对于时，（a）（a）（a）， （a），为偶函数，正确； 对于：令，，由选项可知，（4）（2），（2）， （2）， 关于点对称，正确； 对于：由知是以8为周期的周期函数，且每个周期内函数值之和为0，又2024可被8整除， ，正确． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的性质，赋值法在研究抽象函数中的应用，属于中档题． 17．（2024•如皋市模拟）设为常数，，，则　　 A． B．恒成立 C． D．满足条件的不止一个 【分析】利用赋值法，对每一项进行判断． 【解答】解：令，可得（a），结合，解得（a），故正确； 令，原式化为（a）， 代入可得，所以原式即：，故正确； 再令得，即函数值非负， 令，可得（a），即（负值舍去），故正确； 所以仅有一个函数关系式满足条件，故错误． 故答案为：． 【点评】本题考查函数性质的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题． 18．（2024•秦皇岛二模）已知函数满足：对，，都有，且（2），则下列说法正确的是　　 A．（1） B． C． D． 【分析】利用赋值法，即可求出和（1）的值，判断选项和； 由题意，判断为偶函数，利用赋值法，推导出，判断选项； 由为偶函数，且，推导出是周期函数，由此计算的值，判断选项． 【解答】解：对于，分别令和，得， 所以（2）， 又因为（2），所以（2）， 令，，则（1）（1）（1）（2），选项正确； 对于，结合选项，解得或， 若，则（1）（2），所以（2）， 此时与（2）矛盾，舍去； 若，则（1）（2），解得（2）， 因为（2），所以（2），选项错误； 对于，令，则（1）， 因为（1），，所以，所以为偶函数， 令，则（1）（2）（2）， 所以， 令，则，即，选项正确； 对于，由为偶函数，所以， 则，则， 即，所以是周期为4的周期函数， 又（1）（2）（3）（4）（3）（4）（1）， 所以（1）（2）（3）（4）（1）（2）（1）（2），选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与周期性应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题． 19．（2024•友谊县校级模拟）已知函数的导函数为，，，且为奇函数，若，则　　 A．（3） B．的一个周期为2 C．（4） D． 【分析】由为奇函数，得，令求得（3）的值，即可判断选项，求出是周期函数，判断选项； 对两边求导数，求得（4）的值，判断选项，对两边求导数，求得（1）和，对两边求导数，求得（4），根据周期性求出的值，判断选项． 【解答】解：选项中，由为奇函数，得，令，得（3）（3），解得（3），所以对； 选项中，因为，所以，又因为，所以，即， 所以，所以的一个周期为4，所以错； 选项中，由，两边求导数，得，令，得（4）（4），所以（4），所以对； 选项中，由，两边求导数，得，令，得（1）， 由，两边求导数，得，所以的一个周期为4， 所以，（4），（1）， 所以，所以错． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的周期性与奇偶性应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 20．（2024•河南一模）已知函数的定义域为，，，则　　 A． B． C．的一个周期为3 D． 【分析】根据抽象等式，利用赋值法，变形得到函数的奇偶性和周期性，根据函数的性质，依次判断、、选项，最后结合周期性以及函数值求解选项． 【解答】解：对于，令，则，所以，选项正确； 对于，令，则，即， 所以（3），令，则（3）（3）， 令，则（3），所以（3）， 因为（3），所以（3）， 所以， 因为，所以，（3），选项正确； 对于，令，则， 所以，， 所以，所以， 由此知，的一个周期为6，选项错误； 对于，因为，且， 令，， 令，， 且（3），， 所以， 由知，，所以（6）， 因为的一个周期为6，且， 所以，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了利用赋值法求函数的周期、对称性、特殊点的函数值应用问题，是中档题． 21．（2024•玉林模拟）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则　　 A．的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的周期为2 D．（1）（2） 【分析】选项中，由的图象关于点对称，得出，判断的图象关于点对称； 选项中，由，得出，判断的图象关于直线对称； 选项中，由，得出的图象关于点对称，判断是以4为周期的函数； 选项中，由是周期函数，由此计算即可求出（1）（2）的值． 【解答】解：对于，因为的图象关于点对称，所以，即， 所以，即，所以的图象关于点对称，选项正确． 对于，由，得，所以， 所以的图象关于直线对称，选项正确． 对于，， 则的图象关于点对称，所以是以4为周期的函数，即，选项错误． 对于，因为，（1），（2），（3）（1）， 所以（1）（2）（1）（2），选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的对称性与周期性应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 22．（2024•安徽三模）已知函数的定义域为，且，（1），（2），则下列说法中正确的是　　 A．为偶函数 B．（3） C．（5） D． 【分析】利用和差角公式证明正弦平方差公式：，符合题意，据此构造函数，再逐项验证选项即可； 【解答】解：先介绍正弦平方差公式：， 证明过程如下： ； 由题意，可以令，因为为奇函数，故选项错误； 因为（3），故选项正确； 因为（5），故选项正确； 因为，，故，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的函数值、奇偶性、周期性的判断及应用，属于较难的题目． 23．（2024•青羊区校级模拟）已知函数的定义域为，对于任意实数、均满足，若（2），（5），则　2167　． 【分析】由，，可得（3），由，，可得（4），计算（6），猜想的解析式，利用数学归纳法证明，即可计算的值． 【解答】解：因为，且（2），（5）， 令，，可得，所以（3）， 令，，可得，所以（4）， 由，得， 所以， 结合（2），（3），（4），（5），（6）， 可猜想． 用数学归纳法证明： 当时，由上述知成立． 假设当时有， 则当时，不妨设， ． 所以成立，所以． 故答案为：2167． 【点评】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了猜想与数学归纳法的应用问题，是难题． 五．函数的周期性（共1小题） 24．（2024•玄武区三模）已知是定义在上的函数，（1），且对于任意都有，，若，则　10　． 【分析】解决此题关键是要分析出或的性质，根据，，若，不难得到是一个周期函数，且周期，则只要根据（1），求出（1）就不难求出的其它函数值． 【解答】解：由知，从而有 则 又由得 则有： 得，即是周期为1的周期函数， 又（1）（1） 故答案为 10 【点评】对于抽象函数问题的处理，有两种思路，一是“凑”出题目中要求的值，二是分析函数性质根据函数的性质解题．若题干中出现：；；；类的条件时一般采用第一种思路，而本题中未出现这种情况，一般要采用第二种思路． 六．函数恒成立问题（共10小题） 25．（2024•榆林三模）已知，若当，时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用，（1）得，，由此可知函数的对称轴落在上，则只需△，解出的范围． 【解答】解：当时，，当时，， 所以函数的对称轴： ， 所以， 即，结合，解得． 故选：． 【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解题方法，三角不等式的解法，属于中档题． 26．（2024•牡丹江一模）已知是定义在上的奇函数，且在区间，上单调递减，若关于实数的不等式（3）恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】根据是定义在上的奇函数，可知是偶函数，然后结合单调性构造关于的不等式求解． 【解答】解：因为是定义在上的奇函数， 所以是偶函数，， 所以（3）可化为： （3），又在区间，上单调递减，所以在上递增， 所以，即或， 即或． 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于中档题． 27．（2024•龙岗区校级模拟）已知对任意，恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】令，，由题意可知：对任意，恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可． 【解答】解：令，，则， 由题意可知：对任意，恒成立，且， 可得，解得， 若，令，， 则， 则在，上递增，可得， 即对任意，恒成立， 则在，上递增，可得， 综上所述：符合题意，即实数的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查利用函数的单调性求出函数的最值，进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题． 28．（2024•呼和浩特模拟）若在上恒成立，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】显然，然后原式可化为，令函数，，结合隐零点问题的解题思路，求其最小值，令其大于等于零，解出的范围即可． 【解答】解：因为，结合有意义可知，，所以， 原式可化为，令函数，， ，显然该函数为增函数，时，，时，， 所以存在，使得，，可得，， 且时，，递减，时，，递增， 令 ， 即，所以，解得． 故选：． 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，函数最值的求法，属于中档题． 29．（2024•江苏模拟）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为　　 A． B． C．0 D．8 【分析】结合与在上的图象判断即可． 【解答】解：画出与在上的图象如图所示时， 不等式对任意恒成立， 由得，得（负值舍去）， 此时，结合，得，或，， 所以或． 故选：． 【点评】本题考查不等式的解法和性质，数形结合思想的应用，属于中档题． 30．（2024•新县校级模拟）已知，函数恒成立，则的最大值为 　7　． 【分析】显然为奇数，然后只需研究时，恒成立，整理得，再研究函数在上最小值即可． 【解答】解：当为正偶数时，当时，且，此时不恒成立， 所以为正奇数，则当时，恒成立， 所以只需研究时，恒成立即可，即，恒成立， 令函数，，令，则， ，递增，，递减， 所以（e）， 所以． 故答案为：7． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，解决不等式恒成立的解题思路，属于中档题． 31．（2024•马鞍山模拟）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】分离参数，然后令，将原式化为函数，再研究的范围，利用函数的单调性求值域． 【解答】解：原不等式可化为：，令， 则不等式右边可化为， 时，； 时，， 因为或，所以，或， 所以，所以要使原式恒成立，只需． 故答案为：，． 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，基本不等式的应用等，属于中档题． 32．（2024•3月份模拟）若存在实数，对任意实数，，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　． 【分析】原式可化为对任意实数，恒成立，由此得到的关于的不等式有解，进而求出的范围． 【解答】解：不等式等价于：对任意实数，恒成立， 令，，，令得：（负值舍去）， 时，，递减，时，，递增， 所以，（1）， 则关于的不等式有解， 只需能成立，所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解题思路，导数的应用，属于中档题． 33．（2024•江西模拟）若不等式在，上恒成立，则的最大值为 　6　． 【分析】结合，原式可化为，利用函数，，为增函数，即函数在，上为单调函数，则的最值在0和2处取得，据此构造关于，的不等式组，即可求得的最大值． 【解答】解：因为，所以可化为， 令，，，则， 故在，上单调递增，即， 所以，，即，， 故，当且仅当， 时，上式成立， 所以的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查函数的单调性与最值的关系，含绝对值不等式的性质等，属于中档题． 34．（2024•萍乡二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为． （1）写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质； （2）任意，恒有成立，求实数的取值范围； （3）正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可； （2）构造函数，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求的取值范围即可； （3）方法一、求出，，，猜想，用数学归纳法证明即可． 方法二、构造数列，根据，利用递推公式求解即可． 【解答】解：（1）①导数：，，证明如下： ， ②二倍角公式：，证明如下： ； ③平方关系：，证明如下： ； （2）令，，， ①当时，由，又因为，所以，等号不成立， 所以，即为增函数， 此时，对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，，则，可知是增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 所以当时，，则在上为减函数， 所以对任意，，不合题意； 综上知，实数的取值范围是，； （3）方法一、由，函数的值域为，， 对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比双曲余弦函数的二倍角公式，由， ，，猜想：， 由数学归纳法证明如下：①当时，成立； ②假设当为正整数）时，猜想成立，即，则 ，符合上式， 综上知，； 若，设，则，解得：或， 即，所以，即． 综上知，存在实数，使得成立． 方法二、构造数列，且， 因为，所以，则， 因为在上单调递增，所以，即是以2为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 又因为，解得或， 所以， 综上知，存在实数，使得成立． 【点评】本题考查了函数与数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$