专题13 预备知识十三：幂函数-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题13 预备知识十三：幂函数 1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质； 2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 对点特训一：求幂函数的值 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 精练 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是幂函数，则 ． 对点特训二：求幂函数的解析式 典型例题 例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 精练 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则 . 对点特训三：求幂函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 精练 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数在区间，上的值域． 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 对点特训四：幂函数的图象问题 典型例题 例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   精练 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 对点特训五：幂函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 精练 1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 2．（20-21高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ． 对点特训六：幂函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 精练 1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 对点特训七：幂函数的奇偶性 典型例题 例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 精练 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是 . 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 三、填空题 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 四、解答题 11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 12．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 预备知识十三：幂函数 1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质； 2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 对点特训一：求幂函数的值 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数是幂函数，则 ． 【答案】4 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得，，. 故答案为： 对点特训二：求幂函数的解析式 典型例题 例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 精练 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数. 【详解】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则 . 【答案】1 【分析】由幂函数和偶函数的性质求解即可. 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是奇函数，图象不关于轴对称； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1. 故答案为：. 对点特训三：求幂函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【答案】，值域为 【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域. 【详解】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足； 故， 当时，， 即函数的值域. 精练 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求函数在区间，上的值域． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可； （2）求出的解析式，根据函数的单调性求出函数的值域即可． 【详解】解：设函数的解析式为， 则，解得：， 故，； （2）由（1）， 在递增， 故， ， 故函数的值域是． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的值域以及函数的单调性问题，属于基础题． 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数（其中，）满足： ①在区间上为减函数； ②对任意的，都有. 求幂函数的解析式，并求当时，的值域. 【答案】，值域为 【解析】根据条件分析，0，1，依次检验①②，即可得解. 【详解】解：，，，0，1. 对任意，都有，即，是偶函数. 当时，，满足条件①②； 当时，，不满足条件①； 当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为. 【点睛】此题考查根据幂函数的概念结合单调性和奇偶性求函数解析式，根据函数解析式求函数值域. 对点特训四：幂函数的图象问题 典型例题 例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：函数的定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 精练 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 对点特训五：幂函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得. 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 精练 1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 2．（20-21高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】由幂函数的图象过，将代入，可求出答案. 【详解】幂函数的图象过， 将代入，可得， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点的性质，属于基础题. 对点特训六：幂函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 精练 1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果. 【详解】由题可知：函数是幂函数 则或 又对任意的且，满足 所以函数为的增函数，故 所以，又， 所以为单调递增的奇函数 由，则，所以 则 故选：B 【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数. 【详解】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 对点特训七：幂函数的奇偶性 典型例题 例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【答案】或 【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解. 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值. （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 精练 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以， 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，又， 故为偶函数，满足要求， 当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去. 故答案为： 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解； （2）根据的定义域以及单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 则，即，解得或1， 又因为函数关于轴对称， 当时，则为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：实数的值为. （2）函数，则函数在定义域内单调递减， 由可得:，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 所以，. 故选：A. 4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论． 【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”， 所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为， 在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为. 故选：D 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案. 【详解】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求. 故选：A 6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】把的取值逐个代入检验可得答案. 【详解】当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以不成立，此时不符合题意； 当时，若，则，不满足，不合题意. 故选：C 7．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的定义域是 D．为偶函数 【答案】BC 【分析】先求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质即可判断. 【详解】由幂函数， 则，即， 且，解得， ，则A错误，B正确； 的定义域为，故C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数. 【详解】因为对，则在上为减函数， 又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可， 故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案； （2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案. 【详解】（1）依题意可得， 解得，所以； （2）为奇函数． 理由如下： 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数． 12．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以， 即在区间上的值域为. 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