（新知衔接）专题04 长方体和正方体的体积（新知讲练+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学五升六年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题04 长方体和正方体的体积 （新知讲练+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体的体积计算 7 考点二：正方体的体积计算 8 考点三：长方体的体积公式应用 9 考点四：正方体的体积公式应用 11 考点五：长方体和正方体的切拼体积计算 12 考点六：组合体的体积 13 考点七：不规则物体的体积算法 15 考点八：体积的等积变形 16 基础达标练 17 能力拔高练 19 教学目标： 1、经历操作、观察、猜想、验证、交流和归纳等数学活动的过程，探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能应用公式正确计算长方体和正方体的体积，并能解决相关的简单实际问题。 2、在活动中进一步积累探索数学问题的经验，增强空间观念，发展数学思考。 教学重点：正方体和长方体体积的计算方法。 教学难点：理解长方体的体积计算公式。 例1：下图中的长方体是用1立方厘米的小正方体摆成的。它的长、宽、高各是多少厘米？摆 这个长方体用了多少个1立方厘米的小正方体？长方体的体积是多少立方厘米？ 摆这个长方体用了 12 个 1 立方厘米的小正方体。 12立方厘米 用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并填写下表。 例2：用1立方厘米的小正方体摆出下面的长方体，各需要多少个？先想一想，再摆一摆。 这3个长方体的体积各是多少立方厘米？ 从例1、例2中，你发现长方体的体积与什么有关？可以怎样求长方体的体积？ 长方体的体积=长×宽×高 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以可以写成：V=abh 正方体的棱长有什么特点？可以怎样求正方体的体积？ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，上面的公式可以写成： V=a·a·a a·a·a也可以写成 a ³，读作a的立方。 a3表示三个a相乘。正方体的体积公式一般写成： V=a³ 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a³。 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 怎样计算长方体和正方体的底面积？ 想一想，长方体和正方体体积还可以怎样计算？ 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 你能说说这个公式是怎样得到的吗？ 如果用S表示底面积，上面的公式可以写成：V=Sh 1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 2. 体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh 一、长方体的体积 概念：长方体的体积是指其内部空间的大小，即该长方体所能容纳的物体的多少。 计算公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 用字母表示即：V = a × b × h 其中，V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高。 示例：假设一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，则其体积为：V = 5厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 30立方厘米。 体积关系：如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么其体积将扩大到原来的n^3倍。 二、正方体的体积 概念：正方体的体积是指其内部空间的大小，即该正方体所能容纳的物体的多少。由于正方体的长、宽、高都相等，所以其体积计算相对简单。 计算公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 用字母表示即：V = a³ 其中，V表示体积，a表示正方体的棱长。 示例：假设一个正方体的棱长为4厘米，则其体积为：V = 4厘米 × 4厘米 × 4厘米 = 64立方厘米。 三、长方体和正方体体积的统一计算公式 长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高 用字母表示即：V = S × h 其中，V表示体积，S表示底面积，h表示高。这个公式适用于长方体和正方体，因为正方体可以看作是特殊的长方体（长、宽、高都相等）。 四、总结归纳 理解体积概念：体积是物体所占空间的大小，是三维空间中的度量。 掌握计算公式：长方体的体积计算公式为V = a × b × h，正方体的体积计算公式为V = a^3。同时，两者都可以用V = S × h的公式统一表示。 注意单位换算：在计算体积时，要注意单位的一致性。常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，它们之间的换算关系是1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米。 运用实际问题：在解决实际问题时，要根据题目给出的长、宽、高或棱长，选择正确的公式进行计算。同时，要注意单位的选择和换算。 一、长方体体积的易错点 概念混淆： 错误：学生可能会混淆体积和表面积的概念，错误地以为两者是同一回事或者计算公式相同。 正确理解：体积是物体所占空间的大小，而表面积是物体外部所有面的面积之和。两者的概念和计算公式完全不同。 计算公式的误用： 错误：学生可能会忘记或混淆长方体体积的计算公式，如将长、宽、高进行错误的组合，或者忘记乘以某个维度。 正确公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，即 V = a × b × h。 单位换算错误： 错误：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位不正确。 正确做法：在计算前，要确保所有维度的单位都是一致的，或者在计算后进行正确的单位换算。 对实际问题的理解不足： 错误：在解决实际问题时，学生可能会忽略题目中的实际条件，如容器是否装满、物体是否完全浸入液体等，导致计算结果不符合实际情况。 正确做法：在解题时，要仔细阅读题目，理解题目中的实际条件，并根据条件进行正确的计算。 二、正方体体积的易错点 与长方体混淆： 错误：学生可能会将正方体的体积计算与长方体的体积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的体积计算公式是不同的。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，即 V = a^3。 对棱长变化的影响理解不足： 错误：当正方体的棱长发生变化时，学生可能会错误地估计体积的变化程度。 正确理解：正方体的体积与其棱长的三次方成正比。当棱长扩大n倍时，其体积将扩大n^3倍。 考点一：长方体的体积计算 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下边的长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成的。它们的表面积和体积各是多少？ 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·随堂练习）先计算长方体和正方体的底面积，再计算它们的体积。 【变式演练02】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）求如图所示图形的体积。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）根据如图所示长方体的表面展开图，计算长方体的体积。 考点二：正方体的体积计算 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）计算下面形体的表面积和体积。（单位：厘米） 【变式演练01】（2024六年级下·全国·专题练习）求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） （1） （2） 【变式演练02】（19-20六年级上·江苏宿迁·期中）求下列长方体和正方体的表面积和体积（单位：厘米）。 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 考点三：长方体的体积公式应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）学校自然实验室买来两箱仪器，从外面看两个箱子同样大。 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下面的图形表示的是正方体还是长方体？先估计哪个体积最大，再分别计算它们的体积和表面积。 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一种长方体的煤气灶包装箱，长8分米，宽4分米，高1.5分米。 （1）做这个包装箱至少要用多少平方分米硬纸板？是多少平方米？ （2）包装箱的体积是多少立方分米？是多少立方米？ 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏徐州·期末）如图，一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现一头抬高后如图2所示，AB＝4厘米。 （1）这些水的体积是多少？ （2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口正好与缸口重合，如图3所示，这时CD长是多少厘米？ 考点四：正方体的体积公式应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一件雕塑的底座是用混凝土浇筑成的棱长2.6米的正方体。 （1）这件雕塑的底座占地多少平方米？ （2）浇筑这件雕塑的底座需要混凝土多少立方米？ （3）给底座四面贴上花岗石，贴花岗石的面积是多少平方米？ 【变式演练01】（23-24六年级上·山西大同·期中）下面的长方体容器中盛有水，水面高5厘米。将一个棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在容器中的水里，水会溢出吗？请计算说明。    【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·期中）在一个长3分米，宽24厘米，高22厘米的玻璃缸中，水深18厘米，水接触玻璃的面积有多大？将一个棱长15厘米的正方体铁块放入水中后，缸中的水会溢出来吗？（通过计算来说明） 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）一个长40厘米，宽25厘米，高30厘米长方体水槽，里面装了一半的水。 （1）求出这个水槽的容积； （2）这时水跟水槽接触部分的面积是多少平方厘米？ （3）如果将一个棱长6厘米的正方体铁块放进去，水面会上升多少厘米？ 考点五：长方体和正方体的切拼体积计算 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·课后作业）先用12个同样大的小正方体摆一摆，再与同学交流你的摆法。 （1）摆1个较大的正方体和1个长方体。 （2）摆3个体积不同的长方体。 （3）摆3个体积相同、形状不同的物体。 【变式演练03】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 考点六：组合体的体积 【典例精讲】（22-23六年级下·山西晋中·期末）明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是( )cm3。 【变式演练01】（2020·江苏·小升初模拟）如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·课后作业）商店把同样的盒装饼干摆成3堆（如下图）。这3堆饼干的体积相等吗？为什么？ 【变式演练03】（20-21六年级上·江苏·单元测试）下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 考点七：不规则物体的体积算法 【典例精讲】（21-22六年级上·江苏扬州·期末）小冬做测量“不规则物体体积”的实验，他先将一个石块放入棱长10厘米的正方体容器中，然后在容器中注满水，石块完全浸没，接着将石块取出，他发现容器里的水面下降了1.5厘米。这个石块的体积大约是（    ）立方厘米。 A．150 B．3 C．23 D．无法计算 【变式演练01】（（23-24六年级上·山西大同·期末）求下面石块的体积。 【变式演练02】（（23-24六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【变式演练03】（（23-24六年级上·福建宁德·期末）一个长方体容器从里面量，长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，容器里原来装有6厘米高的水，放入（完全浸没）一个铁块后，水面高度是9厘米。这个铁块的体积是多少？容器中水与容器的接触面积增加了多少平方厘米？ 考点八：体积的等积变形 【典例精讲】（2022六上·雨花台期中）有一个鱼缸，长6分米，宽3分米，高5分米，水深4.5分米。把小鱼和水草放进去后水面距离缸口0.3分米。小鱼和水草的体积是多少立方分米？ 【变式演练01】（2022六上·灌云期中）测量铁球体积的过程：把5个相同铁球放入（完全浸没）盛有200毫升水的量杯中，水面刻度上升到500毫升；每个铁球的体积是　 　立方厘米。 【变式演练02】（2023六上·月考）一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽5厘米，高5厘米，里面装有4厘米高的水（如图）。如果以右面为底竖着放，那么水的高度是多少厘米？ 【变式演练03】（2022六上·灌云期中）张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。（6分） （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？ （玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些小金鱼，水面上升了0.4分米。这些小金鱼的体积一共是多少立方分米？ 基础达标练 1．（2024五下·茂名期中）把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（　　）立方分米。 A．27 B．54 C．729 D．64 2．（2023六上·月考）用若干个边长2分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的体积是（　　）立方分米。 A．6 B．7 C．48 3．把一块长，宽，高分别是9分米，5分米，7分米的长方体木料锯成最大的正方体木块，正方体的体积是（　　）立方分米。 A．81 B．315 C．49 D．125 4．（2024五下·邯郸期中）小华在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是　 　立方厘米。 5．（2023六上·临漳月考）大、小正方体的棱长比是3：2。大、小正方体的棱长和的比是　 　；大、小正方体的表面积的比是　 　，比值是　 　；大、小正方体的体积的比是　 　，比值是　 　。 6．（2023六上·上思）计算下面图形的体积。 （1） （2） 7．（2023六上·期中）下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎样拼？请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。 （2）拼出的两个长方体的表面积、体积各是多少？ 8．把2升的水，倒进成一个长是25厘米，宽是8厘米，高是15厘米的玻璃鱼缸中。 （1）此时水面高是多少厘米？ （2）此时水与玻璃鱼缸接触的面积是多少平方厘米？ 9．（2023六上·如皋月考）王师傅把一根6米长的木条按3：2：1截成3段，做成一个互为直角的架子放在墙角（如图）搭成鸡圈。这个鸡圈所占空间是多少立方米？如果把这个鸡圈外面都蒙上塑料网，至少需要多少平方米？ 10． （2023六上·洪泽月考）一个长方体沙坑的长6米，宽4米，深0.8米。挖这个沙坑一共要挖出多少立方米的泥土？如果要在沙坑的四周抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 11． （2023六上·鹿邑期中）南京奥体中心的体育场里部分场馆翻修，铺设了20块长30米、宽3.5米、厚0.3分米的木质地板，所铺地板的体积一共是多少立方米？ 12．（2022六上·古田期中）一个长方体的长、宽、高分别是9分米、4分米、4分米。 （1）这个长方体有　 　个面面积相等，它的棱长总和是　 　，表面积是　 　。 （2）如果把它切成最大的正方体，最多能切　 　个。 （3）如果把它切成两个长方体，这两个长方体表面积比原长方体表面积最多将增加　 　平方分米。 能力拔高练 13．（2022六上·岑溪期中）一个长方体，如果高增加2厘米，那么就变成棱长是1分米的正方体。原来长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．200 B．320 C．800 D．1000 14．（2020六上·东兴期末）如图所示，下面图形的体积是（　　）。（单位：厘米） A．400立方厘米 B．8立方厘米 C．392立方厘米 15．（2020六上·大名期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装（　　）罐。 A．12 B．16 C．20 16．（2023六上·上思） 两个正方体的体积相等，则表面积也相等。（　　） 17．把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。（　　） 18．（2021六上·鼓楼期末）图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到AB的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是　 　厘米。 19．（2022六上·徐州月考）用4个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是　 　平方厘米，也可能是　 　平方厘米。拼成的长方体的体积是　 　立方厘米。 20．一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块，它的体积是　 　立方厘米。把它锯成棱长2厘米的正方体木块，最多可以锯成　 　块。 21．（2023六上·南和月考）下图是一个长方体水箱的模型，模型是按1：100缩小制作的，这个水箱的实际体积是多少立方米？ 22．（2023六上·泗阳）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 23．（2023六上·中江月考）一个正方体，切掉一个高2厘米的最大长方体后，得到一个长方体，表面积比原来减少64平方厘米，此时长方体的体积是多少立方厘米？ 24．（2023六上·中江月考）将一块长为50cm，宽为30cm的长方形铁皮的四个角上剪去边长为4cm的正方形，然后将它焊成无盖的盒子，这个盒子的表面积和容积各是多少？ 25．（2023六上·中江月考）工人师傅修建一个长10米、宽8米、深2米的蓄水池。 （1）在离水池口0.5米处画一条水位线，这条水位线长多少米？ （2）给水池的四周和底部贴上瓷砖，瓷砖是边长2分米正方形，贴完共需多少块瓷砖？ （3）将144吨的水注入蓄水池后，水面距离池口多少米？（1立方米水重1吨） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 长方体和正方体的体积 （新知讲练+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体的体积计算 7 考点二：正方体的体积计算 9 考点三：长方体的体积公式应用 12 考点四：正方体的体积公式应用 16 考点五：长方体和正方体的切拼体积计算 20 考点六：组合体的体积 23 考点七：不规则物体的体积算法 26 考点八：体积的等积变形 29 基础达标练 31 能力拔高练 36 教学目标： 1、经历操作、观察、猜想、验证、交流和归纳等数学活动的过程，探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能应用公式正确计算长方体和正方体的体积，并能解决相关的简单实际问题。 2、在活动中进一步积累探索数学问题的经验，增强空间观念，发展数学思考。 教学重点：正方体和长方体体积的计算方法。 教学难点：理解长方体的体积计算公式。 例1：下图中的长方体是用1立方厘米的小正方体摆成的。它的长、宽、高各是多少厘米？摆 这个长方体用了多少个1立方厘米的小正方体？长方体的体积是多少立方厘米？ 摆这个长方体用了 12 个 1 立方厘米的小正方体。 12立方厘米 用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并填写下表。 例2：用1立方厘米的小正方体摆出下面的长方体，各需要多少个？先想一想，再摆一摆。 这3个长方体的体积各是多少立方厘米？ 从例1、例2中，你发现长方体的体积与什么有关？可以怎样求长方体的体积？ 长方体的体积=长×宽×高 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以可以写成：V=abh 正方体的棱长有什么特点？可以怎样求正方体的体积？ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，上面的公式可以写成： V=a·a·a a·a·a也可以写成 a ³，读作a的立方。 a3表示三个a相乘。正方体的体积公式一般写成： V=a³ 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a³。 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 怎样计算长方体和正方体的底面积？ 想一想，长方体和正方体体积还可以怎样计算？ 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 你能说说这个公式是怎样得到的吗？ 如果用S表示底面积，上面的公式可以写成：V=Sh 1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 2. 体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh 一、长方体的体积 概念：长方体的体积是指其内部空间的大小，即该长方体所能容纳的物体的多少。 计算公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 用字母表示即：V = a × b × h 其中，V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高。 示例：假设一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，则其体积为：V = 5厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 30立方厘米。 体积关系：如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么其体积将扩大到原来的n^3倍。 二、正方体的体积 概念：正方体的体积是指其内部空间的大小，即该正方体所能容纳的物体的多少。由于正方体的长、宽、高都相等，所以其体积计算相对简单。 计算公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 用字母表示即：V = a³ 其中，V表示体积，a表示正方体的棱长。 示例：假设一个正方体的棱长为4厘米，则其体积为：V = 4厘米 × 4厘米 × 4厘米 = 64立方厘米。 三、长方体和正方体体积的统一计算公式 长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高 用字母表示即：V = S × h 其中，V表示体积，S表示底面积，h表示高。这个公式适用于长方体和正方体，因为正方体可以看作是特殊的长方体（长、宽、高都相等）。 四、总结归纳 理解体积概念：体积是物体所占空间的大小，是三维空间中的度量。 掌握计算公式：长方体的体积计算公式为V = a × b × h，正方体的体积计算公式为V = a^3。同时，两者都可以用V = S × h的公式统一表示。 注意单位换算：在计算体积时，要注意单位的一致性。常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，它们之间的换算关系是1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米。 运用实际问题：在解决实际问题时，要根据题目给出的长、宽、高或棱长，选择正确的公式进行计算。同时，要注意单位的选择和换算。 一、长方体体积的易错点 概念混淆： 错误：学生可能会混淆体积和表面积的概念，错误地以为两者是同一回事或者计算公式相同。 正确理解：体积是物体所占空间的大小，而表面积是物体外部所有面的面积之和。两者的概念和计算公式完全不同。 计算公式的误用： 错误：学生可能会忘记或混淆长方体体积的计算公式，如将长、宽、高进行错误的组合，或者忘记乘以某个维度。 正确公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，即 V = a × b × h。 单位换算错误： 错误：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位不正确。 正确做法：在计算前，要确保所有维度的单位都是一致的，或者在计算后进行正确的单位换算。 对实际问题的理解不足： 错误：在解决实际问题时，学生可能会忽略题目中的实际条件，如容器是否装满、物体是否完全浸入液体等，导致计算结果不符合实际情况。 正确做法：在解题时，要仔细阅读题目，理解题目中的实际条件，并根据条件进行正确的计算。 二、正方体体积的易错点 与长方体混淆： 错误：学生可能会将正方体的体积计算与长方体的体积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的体积计算公式是不同的。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，即 V = a^3。 对棱长变化的影响理解不足： 错误：当正方体的棱长发生变化时，学生可能会错误地估计体积的变化程度。 正确理解：正方体的体积与其棱长的三次方成正比。当棱长扩大n倍时，其体积将扩大n^3倍。 考点一：长方体的体积计算 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下边的长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成的。它们的表面积和体积各是多少？ 【答案】24平方厘米， 8立方米；52平方厘米， 24立方米。 【思路点拨】长方体和正方体都是用棱长1厘米的正方体摆成，通过观察图可知，正方体的棱长是2厘米，长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 即正方体的表面积为24平方厘米，体积为8立方米； （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方米） 即长方体的表面积为52平方厘米，体积为24立方米。 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·随堂练习）先计算长方体和正方体的底面积，再计算它们的体积。 【答案】长方体的底面积是320m2，体积是3200m3；正方体的底面积是25cm2，体积是125cm3 【思路点拨】长方体的底面积＝长×宽，长方体的体积＝底面积×高； 正方体的底面积＝棱长×棱长，正方体的体积＝底面积×高；代入数据解答即可。 【规范解答】20×16＝320（m2） 320×10＝3200（m3） 5×5＝25（cm2） 25×5＝125（cm3） 长方体的底面积是320m2，体积是3200m3；正方体的底面积是25cm2，体积是125cm3。 【变式演练02】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）求如图所示图形的体积。 【答案】176立方厘米 【思路点拨】观察题意可知，立体图形的体积等于两个长方体的体积和，根据长方体的体积＝长×宽×高，分别用5×4×4和3×8×4即可求出两个长方体的体积，再相加即可。 【规范解答】5×4×4＋3×8×4 ＝80＋96 ＝176（立方厘米） 这个图形的体积是176立方厘米。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）根据如图所示长方体的表面展开图，计算长方体的体积。 【答案】210立方厘米 【思路点拨】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是10厘米，宽是7厘米，高是3厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【规范解答】10×7×3 ＝70×3 ＝210（立方厘米） 这个长方体的体积是210厘米。 【考点评析】本题考查了对立体图形的空间想象能力和长方体体积的计算。能依据展开图想象出长方体的长、宽、高，再利用长方体体积公式计算体积是解答的关键。 考点二：正方体的体积计算 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）计算下面形体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】880平方厘米，1600立方厘米；96平方厘米，64立方厘米 【思路点拨】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【规范解答】（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 20×10×8＝1600（立方厘米） 4×4×6＝96（平方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 【变式演练01】（2024六年级下·全国·专题练习）求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）表面积：57平方厘米；体积：27立方厘米 （2）表面积：244平方厘米；体积：219立方厘米 【思路点拨】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可； （2）观察图形可知，该图形的表面积等于下方长方体的表面积加上上方正方体的侧面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，据此代入数值进行计算即可；该图形的体积等于上方正方体的体积加上下方长方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【规范解答】（1）表面积： （4.5×2＋4.5×3＋3×2）×2 ＝（9＋13.5＋6）×2 ＝28.5×2 ＝57（平方厘米） 体积：4.5×3×2 ＝13.5×2 ＝27（立方厘米） 图形的表面积是57平方厘米，体积是27立方厘米。 （2）表面积： （8×4＋8×6＋6×4）×2＋3×3×4 ＝（32＋48＋24）×2＋3×3×4 ＝104×2＋3×3×4 ＝208＋36 ＝244（平方厘米） 体积：8×4×6＋3×3×3 ＝192＋27 ＝219（立方厘米） 图形的表面积是244平方厘米，体积是219立方厘米。 【变式演练02】（19-20六年级上·江苏宿迁·期中）求下列长方体和正方体的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】长方体体积：504立方厘米；长方体表面积：396平方厘米；正方体体积：512立方厘米；正方体的表面积：384平方厘米 【思路点拨】根据长方体的体积＝abh，长方体的表面积＝2×（ab＋ah＋bh），正方体的体积＝a×a×6，正方体的表面积＝a3，代入数据进行解答即可。 【规范解答】长方体的体积：7×12×6 ＝84×6 ＝504（立方厘米） 长方体的表面积：2×（7×12＋7×6＋12×6） ＝2×（84＋42＋72） ＝2×198 ＝396（平方厘米） 正方体的体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 正方体的表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏泰州·期末）计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：736平方厘米；体积：1176立方厘米 【思路点拨】组合体的表面积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的表面积＋棱长是6厘米的正方体的侧面积；根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出组合体的表面积； 组合体的体积＝长是12，宽是10，高是8的长方体的体积＋棱长是6厘米的正方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【规范解答】（12×10＋12×8＋10×8）×2＋6×6×4 ＝（120＋96＋80）×2＋36×4 ＝（216＋80）×2＋144 ＝296×2＋144 ＝592＋144 ＝736（平方厘米） 12×10×8＋6×6×6 ＝120×8＋36×6 ＝960＋216 ＝1176（立方厘米） 考点三：长方体的体积公式应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）学校自然实验室买来两箱仪器，从外面看两个箱子同样大。 【答案】体积相等；容积不等 【思路点拨】根据题意判断两个箱子的体积是否相等；从图观察两个箱子的容积，判断容积是否相等。 【规范解答】从外面看两个箱子同样大，说明两个箱子的体积相等； 从图看，两个箱子的厚度不一样，所容纳物体的体积不一样，右上角的箱子薄些，右下角的箱子厚些，右上角箱子的容积比右下角箱子的容积大些，所以两个箱子的容积不同。 答：两个箱子的体积相等，容积不等。 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·课后作业）下面的图形表示的是正方体还是长方体？先估计哪个体积最大，再分别计算它们的体积和表面积。 【答案】见详解 【思路点拨】根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。 【规范解答】 是长方体；是正方体；是长方体； 第一个长方体的体积可能最大，因为它的长大于其他两个图形的长。 6×4×6 ＝24×6 ＝144（立方厘米） （6×4＋6×6＋4×6）×2 ＝（24＋36＋24）×2 ＝（60＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） （4×4＋4×3＋4×3）×2 ＝（16＋12＋12）×2 ＝（28＋12）×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 第一个长方体的体积是144立方厘米，表面积是168平方厘米； 第二个正方体的体积是64立方厘米，表面积是96平方厘米； 第三个长方体的体积是48立方厘米，表面积是80平方厘米。 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一种长方体的煤气灶包装箱，长8分米，宽4分米，高1.5分米。 （1）做这个包装箱至少要用多少平方分米硬纸板？是多少平方米？ （2）包装箱的体积是多少立方分米？是多少立方米？ 【答案】（1）100平方分米；1平方米 （2）48立方分米；0.048立方米 【思路点拨】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出做这个包装箱至少要用硬纸板的面积，再根据进率“1平方米＝100平方分米”换算单位。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出包装箱的体积，再根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【规范解答】（1）（8×4＋8×1.5＋4×1.5）×2 ＝（32＋12＋6）×2 ＝50×2 ＝100（平方分米） 100平方分米＝1平方米 答：做这个包装箱至少要用100平方分米硬纸板，是1平方米。 （2）8×4×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方分米） 48立方分米＝0.048立方米 答：包装箱的体积是48立方分米，是0.048立方米。 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏徐州·期末）如图，一个长30厘米、宽15厘米、高20厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现一头抬高后如图2所示，AB＝4厘米。 （1）这些水的体积是多少？ （2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口正好与缸口重合，如图3所示，这时CD长是多少厘米？ 【答案】（1）3600立方厘米； （2）6厘米 【思路点拨】（1）观察图2可知：水的体积等于长是30厘米、宽是15厘米、高是（20－4）厘米的长方体体积的一半（如下图）。根据长方体的体积＝长×宽×高，用30×15×（20－4）求出长方体的体积，再除以2求出水的体积是3600立方厘米。 （2）观察图3可知：水的体积等于长是EC、宽是15厘米、高是20厘米的长方体体积的一半（如下图）。根据长方体的体积计算公式可知：长＝长方体的体积÷宽÷高，据此用3600×2÷15÷20可求出EC的长；再用30厘米减去EC的长可求出CD的长。 【规范解答】（1）30×15×（20－4）÷2 ＝450×16÷2 ＝7200÷2 ＝3600（立方厘米） 答：这些水的体积是3600立方厘米。 （2）30－3600×2÷15÷20 ＝30－7200÷15÷20 ＝30－480÷20 ＝30－24 ＝6（厘米） 答：CD长是6厘米。 考点四：正方体的体积公式应用 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏·课后作业）一件雕塑的底座是用混凝土浇筑成的棱长2.6米的正方体。 （1）这件雕塑的底座占地多少平方米？ （2）浇筑这件雕塑的底座需要混凝土多少立方米？ （3）给底座四面贴上花岗石，贴花岗石的面积是多少平方米？ 【答案】（1）6.76平方米 （2）17.576立方米 （3）27.04平方米 【思路点拨】（1）求底座的占地面积，用正方形的面积公式即可求解； （2）求浇筑这个雕塑底座需要混凝土多少立方米，就是求正方体的体积，依据正方体的体积公式解答； （3）求贴花岗石的面积实际上是求正方体侧面的面积，就是求正方体四个面的面积，据此解答即可。 【规范解答】（1）（平方米） 答：这件雕塑的底座占地6.76平方米。 （2） （立方米） 答：浇筑这件雕塑的底座需要混凝土17.576立方米。 （3） （平方米） 答：贴花岗石的面积是27.04平方米。 【考点评析】本题考查正方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积和体积计算公式。 【变式演练01】（23-24六年级上·山西大同·期中）下面的长方体容器中盛有水，水面高5厘米。将一个棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在容器中的水里，水会溢出吗？请计算说明。    【答案】水不会溢出。 【思路点拨】用8－5＝3厘米，求出长方体容器内没有水部分长方体的高；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，先求出长方体容器内没有水部分的体积，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再和长方体容器内没有水部分的体积比较，大于没有水部分的体积，水会溢出，小于没有水部分的体积，水不会溢出。 【规范解答】10×8×（8－5） ＝80×3 ＝240（立方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） ，水不会溢出。 答：水不会溢出。 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·期中）在一个长3分米，宽24厘米，高22厘米的玻璃缸中，水深18厘米，水接触玻璃的面积有多大？将一个棱长15厘米的正方体铁块放入水中后，缸中的水会溢出来吗？（通过计算来说明） 【答案】2664平方厘米；会 【思路点拨】3分米＝30厘米，水接触玻璃的面积相当于无盖的长方体表面积，无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出水接触玻璃的面积；先根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出玻璃缸的体积以及水的体积，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出铁块的体积，最后把水和铁块的体积相加，结果和玻璃缸的体积比较即可。 【规范解答】3分米＝30厘米 24×30＋24×18×2＋30×18×2 ＝720＋864＋1080 ＝2664（平方厘米） 玻璃缸的体积：30×24×22＝15840（立方厘米） 水的体积：30×24×18＝12960（立方厘米） 铁块体积：15×15×15＝3375（立方厘米） 12960＋3375＝16335（立方厘米） 16335＞12960 答：水接触玻璃的面积是2664平方厘米；水会溢出来。 【考点评析】本题主要考查了长方体表面积公式、长方体体积公式、正方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【变式演练03】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）一个长40厘米，宽25厘米，高30厘米长方体水槽，里面装了一半的水。 （1）求出这个水槽的容积； （2）这时水跟水槽接触部分的面积是多少平方厘米？ （3）如果将一个棱长6厘米的正方体铁块放进去，水面会上升多少厘米？ 【答案】（1）30升 （2）2950平方厘米 （3）0.216厘米 【思路点拨】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2sh＋2bh，把数据代入公式解答。 （3）根据正方体的体积公式：V＝a3，求出铁块的体积，然后用铁块的容积除以水槽的底面积即可。 【规范解答】（1）40×25×30 ＝1000×30 ＝30000（立方厘米） 30000立方厘米＝30升 答：这个水槽的容积是30升。 （2）30÷2＝15（厘米） 40×25＋40×15×2＋25×15×2 ＝1000＋1200＋750 ＝2950（平方厘米） 答：这时水跟水槽接触部分的面积是2950平方厘米。 （3）6×6×6÷（40×25） ＝36×6÷（40×25） ＝216÷1000 ＝0.216（厘米） 答：水面会上升0.216厘米。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式、长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 考点五：长方体和正方体的切拼体积计算 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏泰州·期中）如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】(1)14 (2)4n＋2 (3)25 【思路点拨】每个小正方体有6个完全相同的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”，求出一个正方形的面积，再乘正方形的个数，就是拼成长方体的表面积。 （1）1个正方体有6个面，6＝4×1＋2； 2个正方体拼成的长方体有10个面，10＝4×2＋2； 3个正方体拼成的长方体有14个面，14＝4×3＋2； 据此得出3个这样的小正方体拼成的长方体表面积。 （2）由上一题可得出，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积为（4n＋2）平方厘米。 （3）已知拼成的长方体的表面积是102平方厘米，即4n＋2＝102，求出n的值，即是拼成长方体所用的小正方体的个数；根据正方体的体积公式V＝a3，求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就是拼成的这个长方体的体积。 【规范解答】（1）1×1＝1（平方厘米） 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（个） 1×14＝14（平方厘米） 3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是14平方厘米。 （2）n个这样的小正方体拼成的长方体的正方形的个数：（4n＋2）个； 1个正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 拼成的长方体的表面积：（4n＋2）×1＝（4n＋2）（平方厘米） 所以，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 （3）4n＋2＝102 解：4n＋2－2＝102－2 4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 1×1×1＝1（立方厘米） 1×25＝25（立方厘米） 如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是25立方厘米。 【考点评析】找出若干个小正方体并排拼成一个大长方体时，表面积变化的规律，按规律解题。 【变式演练01】（23-24六年级上·江苏·课后作业）先用12个同样大的小正方体摆一摆，再与同学交流你的摆法。 （1）摆1个较大的正方体和1个长方体。 （2）摆3个体积不同的长方体。 （3）摆3个体积相同、形状不同的物体。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）要摆1个较大的正方体和1个长方体，根据正方体的特征可知，每条棱上至少可以放2个小正方体，这样至少需要小正方体的个数是2×2×2＝8个，据此摆出一个较大的正方体；还剩下4个小正方体摆成1个小长方体即可。 （2）要摆3个体积不同的长方体，那么每个物体用到小正方体的个数不相等。可以把12个小正方体分成三组，每组用到小正方体分别是3个、4个、5个小正方体，再摆成3个长方体即可。 （3）要摆3个体积相同、形状不同的物体，那么每个物体用到小正方体的个数相等。因此把12个小正方体平均分成三组，每组4个小正方体，据此摆出的3个物体只要形状不同即可。 【规范解答】（1）用8个小正方体摆成1个较大的正方体，用4个小正方体摆成1个长方体。 （长方体摆法不唯一） （2）用3个小正方体、4个小正方体、5个小正方体摆成3个体积不同的长方体。 （答案不唯一） （3）摆3个体积相同、形状不同的物体。 （摆法不唯一） 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·随堂练习）用1立方厘米的正方体摆成一些长方体（或正方体），说说它们的长、宽、高（或棱长）各是多少厘米，体积各是多少立方厘米？ 【答案】见详解 【思路点拨】根据题意，一个小正方体的体积是l立方厘米，则小正方体的棱长是1厘米，分别数出摆出的立体图形的长、宽、高或棱长，再根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【规范解答】1×1×1＝1（立方厘米） 棱长是1厘米的小正方体，体积是1立方厘米。 长是5厘米，宽是3厘米，高是3厘米， 体积是5×3×3 ＝15×3 ＝45（立方厘米） 答：体积各是45立方厘米。 长是8厘米，宽是2厘米，高是1厘米， 体积是8×2×1＝16（立方厘米） 答：体积各是16立方厘米。 【变式演练03】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【思路点拨】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【规范解答】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【考点评析】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 考点六：组合体的体积 【典例精讲】（22-23六年级下·山西晋中·期末）明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是( )cm3。 【答案】5 【思路点拨】从上面看，几何体最下层有3个小正方体；从正面看，有2层，下层有2个小正方形体，上层有2个小正方体；从左面看有2层，上层1个小正方体，下层2个小正方体，可知这个几何体是，共有5个小正方体组成；根据正方体的体积：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，进而求出几何体的体积。 【规范解答】根据分析可知，几何体为，一共由5个小正方体组成。 1×1×1×5 ＝1×1×5 ＝1×5 ＝5（cm3） 明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是5cm3。 【变式演练01】（2020·江苏·小升初模拟）如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 【答案】 910 660 【思路点拨】剩余部分的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式求出它们的体积差即可，剩余部分的表面积等于正方体的表面积加上长方体的左右两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方形的面积：S＝ab，把数据代入公式求出它们的面积和即可。 【规范解答】10×10×10－（10－4－3）×5×（10－4） ＝1000－3×5×6 ＝1000－90 ＝910 10×10×6＋5×（10－4）×2 ＝100×6＋5×6×2 ＝600＋60 ＝660 答：剩余部分的体积是910，表面积是660。 【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式演练02】（23-24六年级上·江苏·课后作业）商店把同样的盒装饼干摆成3堆（如下图）。这3堆饼干的体积相等吗？为什么？ 【答案】相等；原因见详解 【思路点拨】数出三堆的饼干盒数即可解答。 【规范解答】这3堆饼干的体积相等。 左边堆：8盒饼干； 中间堆：8盒饼干； 右边堆：8盒饼干； 因为每盒饼干的体积一定，每堆饼干的数量相等，所以这三堆饼干的体积相等。 【变式演练03】（20-21六年级上·江苏·单元测试）下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 【答案】39立方厘米： 84平方厘米 【思路点拨】由图可知，体积＝长方体体积＋两个小正方体的体积之和；表面积＝长方体表面积＋两个小正方体的侧面积之和，据此解答。 【规范解答】体积： 6×2×2.5＋2×2×2＋1×1×1 ＝30＋8＋1 ＝39（立方厘米） 表面积： （6×2＋6×2.5＋2×2.5）×2＋2×4×2＋1×4×1 ＝（12＋15＋5）×2＋16＋4 ＝64＋16＋4 ＝84（平方厘米） 答：它的体积是39立方厘米，表面积是84平方厘米。 【考点评析】此题主要考查组合体体积和表面积的计算，体积＝各个几何体体积之和，求表面积时要认真分析图形，找出表面积包括哪些面再解答。 考点七：不规则物体的体积算法 【典例精讲】（21-22六年级上·江苏扬州·期末）小冬做测量“不规则物体体积”的实验，他先将一个石块放入棱长10厘米的正方体容器中，然后在容器中注满水，石块完全浸没，接着将石块取出，他发现容器里的水面下降了1.5厘米。这个石块的体积大约是（    ）立方厘米。 A．150 B．3 C．23 D．无法计算 【答案】A 【思路点拨】下降了1.5厘米的水的体积就是石块的体积。用10×10＝100平方厘米，得到底面积，再用100×1.5即是石块的体积。据此解答。 【规范解答】10×10×1.5 ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 故答案为：A 【考点评析】理解石块的体积就是下降1.5厘米的水的体积，再用议长方体体积公式进行计算是解答本题的关键。 【变式演练01】（（23-24六年级上·山西大同·期末）求下面石块的体积。 【答案】270cm3 【思路点拨】观察前后水面变化，水面上升的体积就是石块的体积，长×宽×水面上升高度＝石块的体积，据此列式计算。 【规范解答】20×9×（8.5－7） ＝180×1.5 ＝270（cm3） 【变式演练02】（（23-24六年级上·江苏·课后作业）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.3分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）74平方分米； （2）2分米； （3）6立方分米 【思路点拨】（1）求做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求鱼缸前、后、左、右、下，5个面的面积，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2解答即可。 （2）水的体积不变，根据长方体体积公式：V＝abh可得：h＝V÷a÷b，代入数据计算即可； （3）鹅卵石的体积等于上升的水的体积，将数据代入长方体体积公式：V＝abh计算即可。 【规范解答】（1）5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 【变式演练03】（（23-24六年级上·福建宁德·期末）一个长方体容器从里面量，长、宽、高分别是15厘米、8厘米、10厘米，容器里原来装有6厘米高的水，放入（完全浸没）一个铁块后，水面高度是9厘米。这个铁块的体积是多少？容器中水与容器的接触面积增加了多少平方厘米？ 【答案】360立方厘米；138平方厘米 【思路点拨】根据题意，将一个铁块完全浸入有水的长方体容器中，水面上升了（9－6）厘米，那么这个铁块的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长15厘米、宽8厘米、高（9－6）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个铁块的体积。 容器中水与容器增加的接触面积等于前后面与左右面增加的面积之和，前后面增加了两个长15厘米、宽（9－6）厘米的长方形，左右面增加了两个长8厘米、宽（9－6）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 【规范解答】15×8×（9－6） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（立方厘米） 15×（9－6）×2＋8×（9－6）×2 ＝15×3×2＋8×3×2 ＝90＋48 ＝138（平方厘米） 答：这个铁块的体积是360立方厘米，容器中水与容器的接触面积增加了138平方厘米。 【考点评析】求不规则物体的体积，关键是将求铁块的体积转移到求水上升部分的体积，再根据长方体的体积公式列式计算。 求水与容器的增加的接触面积，关键是分析出增加的接触面积是哪些面的面积，再根据长方形的面积公式求解。 考点八：体积的等积变形 【典例精讲】（2022六上·雨花台期中）有一个鱼缸，长6分米，宽3分米，高5分米，水深4.5分米。把小鱼和水草放进去后水面距离缸口0.3分米。小鱼和水草的体积是多少立方分米？ 【答案】解：5-4.5=0.5（分米） 0.5-0.3=0.2（分米） 0.2×6×3 =1.2×3 =3.6（立方分米） 答：小鱼和水草的体积是3.6立方分米。 【思路点拨】小鱼和水草的体积=鱼缸的长×宽×上面没有水的高度；其中，上面没有水的高度=鱼缸的高-水深-放进去小鱼和水草后水面距离缸的高度。 【变式演练01】（2022六上·灌云期中）测量铁球体积的过程：把5个相同铁球放入（完全浸没）盛有200毫升水的量杯中，水面刻度上升到500毫升；每个铁球的体积是　 　立方厘米。 【答案】60 【规范解答】解：500-200=300（毫升） 300÷5=60（毫升）=60（立方厘米） 故答案为：60。 【思路点拨】上升后的水面刻度-上升前的水面刻度=5个球的体积，5个球的体积÷5=每个铁球的体积。 【变式演练02】（2023六上·月考）一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽5厘米，高5厘米，里面装有4厘米高的水（如图）。如果以右面为底竖着放，那么水的高度是多少厘米？ 【答案】解：20×5×4÷（5×5） ＝400÷25 ＝16（厘米） 答：水的高度是16厘米。 【思路点拨】长方体的体积=长×宽×高，根据此公式代入数据即可求出水箱中水的体积，如果以右面为底竖着放，水的体积不变，长和宽都变为5厘米，用水的体积除以长和宽即可求出水的高度。 【变式演练03】（2022六上·灌云期中）张军家有一个长方体无盖鱼缸，长6分米，宽5分米，高4分米。（6分） （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入2.5分米深的水，鱼缸里的水是多少立方分米？ （玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些小金鱼，水面上升了0.4分米。这些小金鱼的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）解：6×5+6×4×2+5×4×2 =30+48+40 =118（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃118平方分米。 （2）解：6×5×2.5=75（立方分米） 答：鱼缸里的水是75立方分米。 （3）解：6×5×0.4=12（立方分米） 答：这些小金鱼的体积一共是12立方分米。 【思路点拨】（1）长方体的长×宽+长×高×2+宽×高×2=无盖的长方体的表面积； （2）长方体的长×宽×水的高度=鱼缸里的水的体积； （3）长方体的长×宽×水面上升的高度=鱼缸里的鱼的体积。 基础达标练 1．（2024五下·茂名期中）把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（　　）立方分米。 A．27 B．54 C．729 D．64 【答案】A 【规范解答】解：18÷2=9平方分米，3×3=9平方分米，3×3×3=27立方分米，所以原来正方体的体积是27立方分米。 故答案为：A。 【思路点拨】正方体一个面的面积=增加的表面积÷2，那么正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 2．（2023六上·月考）用若干个边长2分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的体积是（　　）立方分米。 A．6 B．7 C．48 【答案】C 【规范解答】解：2×2×2×6 =8×6 =48(立方分米) 故答案为：C。 【思路点拨】由题意可知，该模型是由6个小正方体搭成，根据正方体体积=棱长×棱长×棱长求出小正方体的体积，再乘上小正方体的个数即可。 3．把一块长，宽，高分别是9分米，5分米，7分米的长方体木料锯成最大的正方体木块，正方体的体积是（　　）立方分米。 A．81 B．315 C．49 D．125 【答案】D 【规范解答】解：5×5×5=125（立方分米） 故答案为：D。 【思路点拨】从长方体上锯下的最大正方体的棱长与长方体最短的棱长度相等，所以这个长方体上锯成最大的正方体的棱长是5分米，然后计算正方体体积即可。 4．（2024五下·邯郸期中）小华在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是　 　立方厘米。 【答案】90 【规范解答】解：6×5×3=90（立方厘米） 故答案为：90。 【思路点拨】长是6个小正方体，宽是5个，高是3个，用长乘宽乘高即可求出容积。 5．（2023六上·临漳月考）大、小正方体的棱长比是3：2。大、小正方体的棱长和的比是　 　；大、小正方体的表面积的比是　 　，比值是　 　；大、小正方体的体积的比是　 　，比值是　 　。 【答案】3：2；9：4；；27：8； 【规范解答】解：大、小正方体的棱长和的比是3∶2； （3×3）∶（2×2）=9∶4，9÷4=； （3×3×3）∶（2×2×2）=27∶8，27÷8=。 故答案为：3∶2；9∶4；；27∶8；。 【思路点拨】两个正方体的棱长和的比=棱长比；两个正方体的表面积比=棱长的平方比，两个正方体的体积比=棱长的立方比；用前项除以后项计算出比值。 6．（2023六上·上思）计算下面图形的体积。 （1） （2） 【答案】（1）解：5×2×3=30（立方分米） （2）解：4×10=40（立方分米） 【思路点拨】（1）长方体体积=长×宽×高，根据公式计算体积； （2）根据体积公式，用横截面的面积乘长即可求出体积。 7．（2023六上·期中）下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎样拼？请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。 （2）拼出的两个长方体的表面积、体积各是多少？ 【答案】（1）解：按a所拼的表面积最大，按b所拼的表面积最小 （2）解：a的表面积：（10×3+10×4+3×4）×2=164（cm2） b的表面积：（5×6+5×4+6×4）×2=148（cm2） 体积都是：3×5×4×2=120（cm3） 【思路点拨】（1）把面积小的一面拼接在一起，这样得到的物体表面积比较大；把面积大的一面拼接在一起，这样得到的物体表面积比较小； （2）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2；长方体的体积=长×宽×高。 8．把2升的水，倒进成一个长是25厘米，宽是8厘米，高是15厘米的玻璃鱼缸中。 （1）此时水面高是多少厘米？ （2）此时水与玻璃鱼缸接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）解：2升=2000立方厘米 2000÷25÷8 =80÷8 =10（厘米） 答：此时水面高是10厘米。 （2）解：25×8+25×10×2+8×10×2 =200+500+160 =860（平方厘米） 答：此时水与玻璃鱼缸接触的面积是860平方厘米。 【思路点拨】（1）把2升换算成2000立方厘米，用水的体积除以长再除以宽即可求出水面的高度； （2）水与鱼缸接触的面有5个，长25、宽8的面1个，长25、宽10的面2个，长8、宽10的面2个，把这些面的面积相加就是水与鱼缸接触的面积。 9．（2023六上·如皋月考）王师傅把一根6米长的木条按3：2：1截成3段，做成一个互为直角的架子放在墙角（如图）搭成鸡圈。这个鸡圈所占空间是多少立方米？如果把这个鸡圈外面都蒙上塑料网，至少需要多少平方米？ 【答案】解：6÷（3＋2＋1） =6÷6 =1（米） （3×1）×（2×1）×（1×1） =3×2×1 =6×1 =6（立方米） 3×2＋3×1＋2×1 =6＋3＋2 =9＋2 =11（平方米） 答：这个鸡圈所占空间是6立方米；至少需要塑料网11平方米。 【思路点拨】这个鸡圈所占的空间=长×宽×高；其中，长、宽、高分别=木条的长×总份数×各自分别占的份数；至少需要塑料网面积=长×宽＋长×高＋宽×高。 10．（2023六上·洪泽月考）一个长方体沙坑的长6米，宽4米，深0.8米。挖这个沙坑一共要挖出多少立方米的泥土？如果要在沙坑的四周抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】解：6×4×0.8=19.2（立方米） 6×0.8×2+4×0.8×2 =9.6+6.4 =16（平方米） 答：挖这个沙坑一共要挖出19.2立方米的泥土，抹水泥的面积是16平方米。 【思路点拨】沙坑的长×宽×深=挖出的泥土的体积；长×深×2+宽×深×2=抹水泥的面积。 11．（2023六上·鹿邑期中）南京奥体中心的体育场里部分场馆翻修，铺设了20块长30米、宽3.5米、厚0.3分米的木质地板，所铺地板的体积一共是多少立方米？ 【答案】解：0.3分米＝0.03米　 30×3.5×0.03×20 =105×0.03×20 =3.15 ×20 =63（立方米） 答：所铺地板的体积一共是63立方米。 【思路点拨】把分米换算成米。用长乘宽乘高求出一块地板的体积，用一块地板的体积乘20即可求出20块地板的体积。 12．（2022六上·古田期中）一个长方体的长、宽、高分别是9分米、4分米、4分米。 （1）这个长方体有　 　个面面积相等，它的棱长总和是　 　，表面积是　 　。 （2）如果把它切成最大的正方体，最多能切　 　个。 （3）如果把它切成两个长方体，这两个长方体表面积比原长方体表面积最多将增加　 　平方分米。 【答案】（1）3；68分米；176平方分米 （2）2 （3）72 【规范解答】解：（1）这个长方体有3个面面积相等；（9+4+4）×4=68（分米）所以它的棱长总和是68分米；（9×4+9×4+4×4）×2=176（平方分米），所以表面积是176平方分米； （2）9÷4=2……1，所以最多能切2个； （3）9×4×2=72平方分米，所以这两个长方体表面积比原长方体表面积最多将增加72平方分米。 故答案为：（1）3；68分米；176平方分米；（2）2；（3）72。 【思路点拨】（1）长方体有3对相对面，所以有3个面面积相等； 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4；长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2； （2）这个长方体的宽和高相等，所以长方体的长里面有多少个宽，那么最多能切多少个； （3）长方体的长×宽、长×高、宽×高中，哪个数值最大，那么把这个数乘2就是最多增加的表面积。 能力拔高练 13．（2022六上·岑溪期中）一个长方体，如果高增加2厘米，那么就变成棱长是1分米的正方体。原来长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．200 B．320 C．800 D．1000 【答案】C 【规范解答】解：1分米=10厘米 10-2=8（厘米） 10×10×8 =100×8 =800（立方厘米） 故答案为：C。 【思路点拨】原来长方体的体积=原来的长×原来的宽×原来的高；其中，原来的长=原来的宽=1分米；原来的高=变成正方体的棱长-高增加的长度。 14．（2020六上·东兴期末）如图所示，下面图形的体积是（　　）。（单位：厘米） A．400立方厘米 B．8立方厘米 C．392立方厘米 【答案】C 【规范解答】解：10×5×8-2×2×2 =400-8 =392（立方厘米） 故答案为：C。 【思路点拨】用长方体体积减去缺少的小正方体体积就是这个图形的体积，长方体体积=长×宽×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长。 15．（2020六上·大名期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装（　　）罐。 A．12 B．16 C．20 【答案】B 【规范解答】解：28÷7=4（罐） 14÷7=2（罐） 4×2×（24÷12） =4×2×2 =8×2 =16（罐） 故答案为：B。 【思路点拨】最多能装的罐数=长边装的罐数×宽边装的罐数×装的层数。 16．（2023六上·上思） 两个正方体的体积相等，则表面积也相等。（　　）（判断对错） 【答案】正确 【规范解答】解：两个正方体的体积相等，则表面积也相等。原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】两个正方体的体积相等，说明这两个正方体完全相同，那么它们的表面积也一定相等。 17．把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。（　　）（判断对错） 【答案】正确 【规范解答】解：把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。原题说法正确。 故答案为：正确。 【思路点拨】棱长1厘米的小正方体的体积是1立方厘米，用若干个棱长1厘米的小正方体拼成的图形体积就是若干立方厘米。 18．（2021六上·鼓楼期末）图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到AB的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是　 　厘米。 【答案】19 【规范解答】解：（8+30）÷2 =38÷2 =19（厘米） 故答案为：19。 【思路点拨】如图：把第二个图形这样分割，水箱放平后就相当于把左边三角形的部分补充到右边三角形部分，那么此时水的深度实际就是（8+30）厘米的一半。 19．（2022六上·徐州月考）用4个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是　 　平方厘米，也可能是　 　平方厘米。拼成的长方体的体积是　 　立方厘米。 【答案】18；16；4 【规范解答】解：（4×1＋4×1＋1×1）×2 =（4＋4＋1）×2 =9×2 =18（平方厘米） （2×1＋2×2＋1×2）×2 =（2＋4＋2）×2 =8×2 =16（平方厘米） 1×1×1×4 =1×4 =4（立方厘米）。 故答案为：18；16；4。 【思路点拨】把4个棱长1厘米的正方体拼成一层，这个长方体的长是4厘米、宽是1厘米、高是1厘米；把4个棱长1厘米的正方体拼成两层，这个长方体的长是2厘米、宽是1厘米、高是2厘米；长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；拼成长方体的体积=平均每个小正方体的体积×小正方体的个数。 20．一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块，它的体积是　 　立方厘米。把它锯成棱长2厘米的正方体木块，最多可以锯成　 　块。 【答案】160；16 【规范解答】解：体积：8×5×4=160（立方厘米）； 最多可以锯成： 8÷2=4，5÷2≈2，4÷2=2；4×2×2=16（块）。 故答案为：160；16。 【思路点拨】长方体体积=长×宽×高，根据公式计算体积。用长方体的长宽高分别除以正方体木块的棱长（结果采用去尾法保留整数），把三个商相乘即可求出锯成的块数。 21．（2023六上·南和月考）下图是一个长方体水箱的模型，模型是按1：100缩小制作的，这个水箱的实际体积是多少立方米？ 【答案】解：2×100=200(厘米)=2(米) 3×100=300(厘米)=3(米) 5×100=500(厘米)=5(米) 2×3×5=30(立方米) 答：这个水箱的实际体积是30立方米。 【思路点拨】首先根据实际距离=图上距离÷比例尺，分别求出实际的长、宽、高；再换算成以米为单位的长度，最后根据“长方体体积=长×宽×高”代入数值计算解答。 22．（2023六上·泗阳）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 【答案】解：（20×16×7）÷（16×10） =2240÷160 =14（厘米） 答：水的高度是14厘米。 【思路点拨】竖起来放时水面的高度=（平放时的长×宽×水面的高度）÷（竖放时的长×宽）。 23．（2023六上·中江月考）一个正方体，切掉一个高2厘米的最大长方体后，得到一个长方体，表面积比原来减少64平方厘米，此时长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：64÷4＝16（平方厘米） 16÷2＝8（厘米） （8-2）×8×8 ＝6×8×8 ＝384（立方厘米） 答：长方体的体积是384立方厘米. 【思路点拨】此时长方体的体积=长×宽×高；其中，长=原来正方体的棱长-切掉的长度；其中，原来正方体的棱长=减少的表面积÷减少面的个数÷切掉的长度。 24．（2023六上·中江月考）将一块长为50cm，宽为30cm的长方形铁皮的四个角上剪去边长为4cm的正方形，然后将它焊成无盖的盒子，这个盒子的表面积和容积各是多少？ 【答案】解：50×30-4×4×4 ＝1500-64 ＝1436（cm2） 50-4×2＝42（cm） 30-4×2＝22（cm） 42×22×4 ＝924×4 ＝3696（cm3） 答：这个盒子的表面积是1436cm2，容积是3696cm3。 【思路点拨】这个盒子的表面积=长方形铁皮的长×宽-剪去小正方形的边长×边长×个数，这个盒子的容积=长×宽×高；其中，长=长方形铁皮的长-剪去小正方形的边长×2，宽=长方形铁皮的宽-剪去小正方形的边长×2，高=剪去小正方形的边长。 25．（2023六上·中江月考）工人师傅修建一个长10米、宽8米、深2米的蓄水池。 （1）在离水池口0.5米处画一条水位线，这条水位线长多少米？ （2）给水池的四周和底部贴上瓷砖，瓷砖是边长2分米正方形，贴完共需多少块瓷砖？ （3）将144吨的水注入蓄水池后，水面距离池口多少米？（1立方米水重1吨） 【答案】（1）解：（10+8）×2 ＝18×2 ＝36（米） 答：这条水位线长36米。 （2）解：10×8+10×2×2+8×2×2 ＝80+40+32 ＝152（平方米） 152平方米＝15200平方分米 15200÷（2×2） ＝15200÷4 ＝3800（块） 答：贴完共需3800块瓷砖。 （3）解：144÷1÷10÷8 ＝14.4÷8 ＝1.8（米） 2﹣1.8＝0.2（米） 答：水面距离池口0.2米。 【思路点拨】（1）这条水位线的长度=（长＋宽）×2； （2）贴完共需瓷砖的块数=共贴瓷砖的面积÷平均每块瓷砖的面积；共贴瓷砖的面积=长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；平均每块瓷砖的面积=瓷砖的边长×边长； （3）水面距离池口的米数=蓄水池的高-注入水的高度；其中，注入水的高度=注入水的体积÷蓄水池的长÷宽。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$