§19.2证明举例（4）教案 2023—2024学年沪教版（上海）数学八年级第一学期

§19.2证明举例（4） 教学目标： 1．初步掌握证明两条直线垂直的基本方法． 2．进一步学习演绎推理和规范表达，体会图形的分解与组合的数学思想方法，形成证明思路． 教学重点及难点： 重点：两条直线垂直的基本证明方法． 难点：等腰三角形的构造． 教学过程： 教师活动 学生活动 设计意图 1． 复习引入： 师：我们知道两条直线的位置关系有平行、垂直，在前几节课我们已经学习过证明两条直线平行的方法，今天这节课，让我们一起来研究如何证明两条直线垂直． 2． 新课探究： 例题7 已知：如图，DB⊥AB,DC⊥AC， 且∠1=∠2. 求证:AD⊥BC. 分析： ( B C A D 1 2 B C A 图1 图2 )问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？ 问2：图形1的目的是什么？ 证明:∵DB⊥AB,DC⊥AC(已知), ∴∠ABD=∠ACD=90°(垂直的定义). 在△ABD与△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(A.A.S). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). ∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2, ∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一). 【适时小结】 1. 例1中将证明两条直线垂直的问题转化为证明两条线段相等的问题； 2. 利用等腰三角形“三线合一”的性质，可证明两条直线垂直． 3. 运用性质时，要找“等腰”和“一线（顶角平分线或底边上的中线）”． 练习：书P94页，第1题 已知：如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，点M在CD上，∠AOM=∠BOM． ( B A C D O M ) 求证：OM⊥CD． 分析：分别联结OC、OD，构造全等三角形，得到等腰三角形． 师：除了利用等腰三角形“三线合一”的性质证明两条直线垂直，是否还有其他方法也可以证明两条直线垂直？ 例题8 已知:如图，在中,AC⊥BD,垂足为点C,AC=BC.点E在AC上,且CE=CD.联结BE并延长交AD于点F. ( B A C D E 1 2 4 3 )求证:BF⊥AD. 分析： ( B A C F E 1 2 B A C D E 1 2 4 3 )问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？ （图1） 问2：图形1的目的是什么？ 证明:∵AC⊥BD(已知), ∴(垂直的定义). . ∴≌. ∴(全等三角形的对应角相等). 在中, (三角形的内角和等于180°), 同理，在中, , ∵（对顶角相等） ∴(等式性质). ∴BF⊥AD (垂直的定义). 【适时小结】 证明两条直线垂直的基本方法： 1. 利用等腰三角形“三线合一”的性质． 2. 利用垂直的定义． 练习：书P94页，第2题 三．自主小结 证明两条直线垂直的基本方法： 1.利用等腰三角形“三线合一”的性质． 2.利用垂直的定义． 3. 将复杂图形分解成几个基本图形（可从全等三角形、等腰三角形等方面思考） 四．作业： 练习册 习题19.2（4） 答1：全等三角形（图1），等腰三角形（图2）． 答2：图1通过全等三角形得到两条边相等，构造图2的△ABC为等腰三角形。因而可利用等腰三角形“三线合一”证出“AD⊥BC”． 证明：联结OC、OD. ∵OA⊥AC,OD⊥BD(已知), ∴∠A=∠B=90°(垂直的意义). 在△OAC与△OBD中, OA=OB (已知), ∠A=∠B (已证), OA=OB (已知), ∴△OAC≌△OBD(S.A.S ). ∴OC=OD (全等三角形的对应边相等 ). ∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等 ). 又∵∠AOM=∠BOM(已知), ∴∠3=∠4(等式性质). ∵△OCD是等腰三角形,且∠3=∠4, ∴OM⊥CD(等腰三角形的三线合一 ). 答1：全等三角形（图1），蝴蝶形（图2）． （图2） 答2：图1通过全等三角形得到两个角相等，构造图2中两个三角形中有了两组角相等，因而可利用三角形内角和得到，即AD⊥BC． 通过从组合图形中分解出两组基本图形，帮助学生分析例题7的证明思路．先从图1中得到两个三角形全等，即可得到图2的等腰三角形，从而运用等腰三角形“三线合一”的性质，可证明两条直线垂直． 本例利用全等三角形性质结合等腰三角形三线合一证明两直线垂直,要引导学生在解题后反思,小结证明两条直线垂直的基本方法． 通过练习1进一步利用等腰三角形“三线合一”的性质可证明两条直线垂直的方法． 例题8的证明思路的分析，仍旧从组合图形中分解基本图形入手，引导学生从“已知条件”看到图1中△BCE≌△ACD；再从“待证结论”找到图2，探寻所需条件，把问题转化为证明. 例7和例8的证明，对知识的运用有一定的综合性，对证明过程的表达也有一定的要求，教师在教学中应多加以引导、分析，做好讲评和小结． 在本题中利用了全等三角形性质与三角形内角和定理来证明两直线垂直,证法有一定的典型性,要引导学生在解题后反思,小结证明两条直线垂直的基本方法. 练习2是用两种方法画出互相垂直的两条直线，方法一可利用腰三角形“三线合一”的性质说明；方法二利用垂直的定义说明． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$