精品解析：浙江省金华市浦江县第五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

七（下）数学学科期中考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，之间的位置关系是（ ） A. 互为同位角 B. 互为内错角 C. 互为同旁内角 D. 互为对顶角 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 若分式的值为零，则x的值为（　　） A. B. C. 或 D. 5. 某种生物细胞直径是，用科学记数法表示，正确的是（　　） A B. C. D. 6. 判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A. ﹣m2+4 B. ﹣x2–y2 C x2y2﹣1 D. （m﹣a）2﹣（m+a）2 7. 代数式能写成一个整式的完全平方的形式，则（　　） A. 12 B. C. 4 D. 8. 化简的结果（　　） A. B. C. D. 9. 数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画如图所示，已知，且，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知，是整数，且，则的值有（　　）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是方程的一个解，则=_______ 12. 如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记）___________，使得． 13. 已知， 计算的值________ 14. 若，则分式的值___________ 15. 长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm． 16. 如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠． （1）若图中，则_______； （2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为______度． 三、解答题 17. 计算或解方程组 （1） （2） 18. 化简 （1） （2） 19. 因式分解 （1） （2） 20. 如图所示，在每个小正方形边长均为个单位长度的方格内，有一个，且的每个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格内，将向下平移个单位长度得到，请画出， （2）求三角形平移到的过程中，所扫过的面积． 21. 已知，求： ①的值， ②的值 22. 某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 23. 配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 24. （1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有，，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由． （2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图3，直线上有两点A、C分别引两条射线，，，射线分别绕A点、C点以和的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七（下）数学学科期中考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，故该选项错误； B．，正确； C．，故该选项错误； D．，故该选项错误. 故选B. 考点：1.合并同类项；2.同底数幂的乘除法；3.幂的乘方与积的乘方. 2. 如图，，之间的位置关系是（ ） A. 互为同位角 B. 互为内错角 C. 互为同旁内角 D. 互为对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角叫做同旁内角）即可得． 【详解】解：由图可知，之间的位置关系是互为同旁内角， 故选：C． 【点睛】本题考查了同旁内角，熟记定义是解题关键． 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式变为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，是进行单项式乘以多项式的运算，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； B．因式分解，故选项正确，符合题意； C．，等式的右边不是整式的乘法，故选项错误，不符合题意； D．，右边不是整式的乘法，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 若分式的值为零，则x的值为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型．根据分式的值为零的条件即可求出答案． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴， ∴． 故选：B． 5. 某种生物细胞的直径是，用科学记数法表示，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 6. 判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A. ﹣m2+4 B. ﹣x2–y2 C. x2y2﹣1 D. （m﹣a）2﹣（m+a）2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式：进行逐一求解判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式． 7. 代数式能写成一个整式的完全平方的形式，则（　　） A. 12 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的完全平方式的含义，熟记两个完全平方式的特点是解本题的关键．由两个完全平方式的特点可得答案． 【详解】解：∵代数式能写成一个整式的完全平方的形式， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 8. 化简的结果（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 9. 数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画如图所示，已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点C作，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知，是整数，且，则的值有（　　）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法及解二元一次方程组，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．由，得，进而得或或或，求解即可得、，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，是整数， ∴或或或， 解得或或或， ∴或或或， ∴的值有个， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若是方程的一个解，则=_______ 【答案】7 【解析】 【分析】把代入方程后，方程两边在乘3后整体代入即可解答． 【详解】解：把代入方程，得 2a-b=2，方程两边同时乘3得， 6a-3b=6， 则=6+1=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等量代换和整体思想，解题的关键是掌握相关知识点． 12. 如图所示，请你添加一个条件（图中不得添加另外标记）___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴添加的条件为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知， 计算的值________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据题意可得，再根据同底数幂的乘法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 14. 若，则分式的值___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，变换代入是解题的关键． 首先得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 15. 长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，根据长方形ABCD的长和宽列出方程组求解． 【详解】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是， 根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者， 则， 大长方形的长可以表示为， 则， ，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解． 16. 如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠． （1）若图中，则_______； （2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为______度． 【答案】 ①. 55 ②. 45 【解析】 【分析】（1）根据平行线和折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得的值． 【详解】（1）根据上下边互相平行可知，． 由折叠的性质可知， ∴． 故答案为：55； （2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等， 根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为， ∴，即， 由（1）同理可得：． 故答案为：45． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角平分线的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键． 三、解答题 17. 计算或解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键， （1）根据实数的运算法则，正确的计算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为． 18. 化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式及分式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式及平方差公式计算后，再合并即可得解； （2）先把除法变为乘法，再按分式的乘法法则计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式因式分解即可． （2）先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图所示，在每个小正方形边长均为个单位长度的方格内，有一个，且的每个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格内，将向下平移个单位长度得到，请画出， （2）求三角形平移到的过程中，所扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）根据图形平移的性质画出图形即可； （2）扫过的面积即长方形BCFE的面积． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求． 【小问2详解】 解：所扫过的面积． 21. 已知，求： ①的值， ②的值 【答案】①4；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及分式的混合运算，解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简． ①由已知得，，两边除以得； ②利用完全平方公式求得，则所求式． 【详解】①∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴，即 ∴． 22. 某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． （1）求m和n的值； （2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ （3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 【答案】（1）m的值为80，n的值为60 （2）1100 （3）该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【解析】 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1100元； 【小问3详解】 解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 23. 配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，②13；（3）的最大值，此时x为 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把29分为两个整数的平方和，即可； 5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； ②根据题意得：， ，， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 24. （1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有，，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由． （2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图3，直线上有两点A、C分别引两条射线，，，射线分别绕A点、C点以和的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t 【答案】（1）平行．理由见解析；（2）与水平线的夹角为；（3）存在，秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，一元一次方程的应用，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． （1）根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得，然后根据平角等于求出的度数，再加上即可得解； （3）分三种情况分别画出图形，分别列方程进行进行解答即可． 【详解】（1）解：平行．理由如下： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ∴， ∵入射光线a与水平线的夹角为，b垂直照射到井底， ∴， ∴， ∴与水平线的夹角为：． （3）解：存在，分三种情况讨论 如图①，与 在的两侧时， ，， ，， 要使 ， 则 ， ， 解得 舍去 ； 如图② ，旋转到都在的右侧时， ，，， ， 要使 ，则 ， 即 ， 解得 ， 此时 ， ； 如图③ ，旋转到都在的左侧时， ，， ； ； 要使 ，则 ， 即 ； 解得 ， 此时 ， ， 此情况不存在． 综上所述，为秒时， 与平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$