精品解析：2024年湖南省长沙市长沙县中考模数学试题

2024年长沙县中考数学5月模拟试题 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 长沙晚报掌上长沙5月5日讯“五一”假期，人们旅游热情高涨，记者5日从长沙市文旅广电局获悉，大数据建模分析显示：2024年“五一”劳动节假期5天，长沙市共计接待游客617.48万人次，游客总花费达72.46亿元，则数据“72.46亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法即可解答． 【详解】解：72.46亿． 故选：C 3. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式乘法逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 故选D． 5. 如图，直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 6. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表： 每周课外阅读时间（小时） 学生数（人） 下列说法错误的是（　　） A. 众数是 B. 平均数是 C. 样本容量是 D. 中位数是 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意； B. 平均数是，故该选项正确，不符合题意； C. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意； D. 中位数是第5个和第6个数的平均数即，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键． 7. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（ ） A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝ 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知：这个函数必须为减函数，根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质可得：只有A选项为减函数，故选A． 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，若， ∴， ∴． 故选D． 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，关键是熟练掌握菱形的性质． 连接，交于O．先证明是等边三角形，由，得到，即可得到，利用勾股定理求出的长度，进而求得的长度即可． 【详解】解：连接，交于O． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，若四边形的面积为2，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于得到方程，求解即可． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由图可知函数的图象位于第一象限， ∴． 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解：原式＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解． 12. 在函数，自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 14. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若该工件内槽宽的长为，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，由点C，D分别是的中点可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵点C，D分别是的中点， ∴． 故答案为：4 15. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为_________米． 【答案】17.6#### 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 如图，过F作于Q，交于H，可得，证明，可得，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过F作于Q，交于H，则，，，， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 故答案为：． 16. 如图，在中，，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E．若，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定及性质；由线段垂直平分线的性质得 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得： 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查绝对值，负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，先计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组， 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】， 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为．B点在A点的南偏东方向处，C点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求出发点A和检查点C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）由平角求出，再由三角形内角和定理即可求出答案； （2）过点A作，垂足为D，在中，求出，，在中求出即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， ， ， ∴行进路线和所在直线的夹角的度数为； 【小问2详解】 过点A作，垂足为D， 在中，， ， ， 在中，， ∴出发点A和检查点B之间的距离． 20. 为丰富学生的课余生活，促进学生全面发展．某学校积极开展课后服务，提供多样化的社团活动供学生选择，其中包含：A文学社科类；B体育健康类；C乐舞美学类；D科技创新类．该校为了解学生对以上各类课后服务的兴趣，随机对部分学生进行了问卷调查，并将结果绘制成以下两幅统计图．请根据图中信息，完成下列问题： 社团类别 学生人数 A文学社科类 24 B体育健康类 32 C乐舞美学类 m D科技创新类 8 （1）本次抽查的学生人数是_____，统计表中的______； （2）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“B体有健康类”社团的学生人数； （3）若小文、小明随机选取四个社团（A文学社科类；B体育健康类；C乐舞美学类；D科技创新类）中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体、概率： （1）抽查的学生人数为人； （2）估计该校学生选择“B体育健康类”社团的学生人数约为人； （3）根据列树状图或列表的方法求解即可． 【小问1详解】 抽查的学生人数（人） 故答案为： 【小问2详解】 （人） 答：估计该校学生选择“B体育健康类”社团的学生人数约为人． 【小问3详解】 列树状图如图所示： 列表如图所示： 小明 小文 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由上可得，所有可能的结果共种，其中他们选择同一社团的结果有种， 他们选择同一社团的概率为． 21. 已知：如图，点D为线段上一点，． （1）求证：； （2）若，点D为线段的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：， ∴， ， 在和中， ， ， ． （2）6． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质． （1）通过证明得出，进而推出，即可求证； （2）根据全等三角形的性质得出，结合中点的定义和全等三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ， 为线段的中点， 由（1）可知：， ． 22. 春夏之交，正适合去山野间漫游．蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．长沙县某公司准备在周末组织一次露营活动，需要租用A、B两种型号的帐篷，若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需520元；若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需280元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金； （2）若该公司需要租用A、B两种型号的帐篷共20顶，租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？租用帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每顶A种型号帐篷租金60元，每丁顶B种型号帐篷和金100元； （2）租用A种型号帐篷5顶，租用B种型号帐篷15顶，总费用最低为1800元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设每顶A种型号帐篷租金m元，每顶B种型号帐篷租金n元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租用A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则租用B种型号帐篷顶，先根据题意列出不等式，求出x的取值范围，再根据题意列出w关于x的函数关系式，结合一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设每顶A种型号帐篷租金m元，每顶B种型号帐篷租金n元， 根据题意得：， 解得， ∴每顶A种型号帐篷租金60元，每丁顶B种型号帐篷和金100元； 【小问2详解】 解：设租用A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则租用B种型号帐篷顶， ∵租用A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的， ， 解得， 根据题意得：， 随x的增大而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为（元），， 答：租用A种型号帐篷5顶，租用B种型号帐篷15顶，总费用最低为1800元． 23. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，垂足为O，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形，        ∴， 又∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为矩形，则，证明，进而结论得证； （2）如图，连接，由是的垂直平分线，可得，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 24. 如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接． （1）若，求证：是的切线； （2）若，设的面积分别为，当时，求的值； （3）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） 证明：是的直径, , ， , ，即，且是的直径， 是的切线． （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由圆周角定理可得，即，再结合，最后根据切线的定义即可解答； （2）先说明可得，然后结合得到，然后求解即可； （3）如右图，过点B作于点H．则，再证明，进而得到，设，再证可得，然后代入相关数据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上的高相等． ， , , , ，即,解得（舍去负值）． 【小问3详解】 解：如右图，过点B作于点H．则， 由（1）得, ，且 ， ， 设， ， ， ， ，即, ,解得：（舍去负值）． ． 25. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． （1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； （3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解； （2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值； （3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，二次函数中，，，， ∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数与反比例函数图象的交点为，， 即二次函数的“共赢点”是，； 【小问2详解】 ∵二次函数与x轴的交点为M，N， ∴令，则， ∴交点M，N的横坐标满足，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”， ∴由得， ∴， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，， 纵坐标，， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点M，N， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴，，，， ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，， ∴，是方程，即的两个根， ∴，， ∵ ， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙县中考数学5月模拟试题 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 长沙晚报掌上长沙5月5日讯“五一”假期，人们旅游热情高涨，记者5日从长沙市文旅广电局获悉，大数据建模分析显示：2024年“五一”劳动节假期5天，长沙市共计接待游客617.48万人次，游客总花费达72.46亿元，则数据“72.46亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表： 每周课外阅读时间（小时） 学生数（人） 下列说法错误的是（　　） A. 众数是 B. 平均数是 C. 样本容量是 D. 中位数是 7. 下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（ ） A. y＝－3x＋2 B. y＝2x＋1 C. y＝2x2＋1 D. y＝ 8. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，若四边形的面积为2，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 在函数，自变量x的取值范围是_________． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______． 14. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若该工件内槽宽的长为，则的长为_________． 15. 在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为_________米． 16. 如图，在中，，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E．若，，则_________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为．B点在A点的南偏东方向处，C点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求出发点A和检查点C之间的距离（结果保留根号）． 20. 为丰富学生的课余生活，促进学生全面发展．某学校积极开展课后服务，提供多样化的社团活动供学生选择，其中包含：A文学社科类；B体育健康类；C乐舞美学类；D科技创新类．该校为了解学生对以上各类课后服务的兴趣，随机对部分学生进行了问卷调查，并将结果绘制成以下两幅统计图．请根据图中信息，完成下列问题： 社团类别 学生人数 A文学社科类 24 B体育健康类 32 C乐舞美学类 m D科技创新类 8 （1）本次抽查的学生人数是_____，统计表中的______； （2）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“B体有健康类”社团的学生人数； （3）若小文、小明随机选取四个社团（A文学社科类；B体育健康类；C乐舞美学类；D科技创新类）中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 21. 已知：如图，点D为线段上一点，． （1）求证：； （2）若，点D为线段的中点，求的长． 22. 春夏之交，正适合去山野间漫游．蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．长沙县某公司准备在周末组织一次露营活动，需要租用A、B两种型号的帐篷，若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需520元；若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需280元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金； （2）若该公司需要租用A、B两种型号的帐篷共20顶，租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？租用帐篷的总费用最低为多少元？ 23. 如图，在正方形中，E为上一点，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，垂足为O，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，为的直径，点B是圆上的动点，点D在外，连接交于点E，连接． （1）若，求证：是的切线； （2）若，设的面积分别为，当时，求的值； （3）在（1）的条件下，若，求的值． 25. 我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． （1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； （2）已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； （3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $