精品解析：江苏省连云港高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

连云港高级中学2023-2024第二学期 高一月考数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 如果两条直线与没有公共点，那么与 A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线与的位置关系. 【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则与平行或异面. 故选：D 【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题. 2. 一组数据1，5，2，3，4的标准差和上四分位数分别是 （ ） A. 2，4 B. ，4 C. 2，2 D. ，2 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，求出这组数据的平均数，根据方差公式直接计算方差即可得标准差，再根据上四分位数的定义的求解步骤即可求解上四分位数. 【详解】将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，则平均数为， 所以这组数据的方差为， 故这组数据的标准差为， 因为，所以第四位数据4是这组数据的上四分位数. 故选：B. 3. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位，所得图象的解析（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换知识直接推导计算即可. 【详解】函数图象上每个点横坐标变为原来的倍后得到的函数为， 再将得到的函数的图象向左平移个单位， 得到函数为，即， 故选：C. 4. 数学兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中任选2人参加校数学竞赛，则参赛学生中至少有1名男生的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布概率计算公式，结合对立事件分析，即可计算这个选取问题的概率. 【详解】根据题意，记取出的2人中至少有一名是男生为事件，其对立事件为取出的2人都为女生； 则，即， 故选：A. 5. 记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （ ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可. 【详解】抛掷一颗骰子，向上的点数可能为，，，，，， 对①②，则事件与不可能同时发生，也可以都不发生，故与互斥，但是不对立，故①正确，②错误； 对③，事件与不可能同时发生，但是与一定有一个会发生，故与对立，故③正确； 对④，事件与可以同时发生，如出现点，事件与事件均发生，故与不互斥，故④错误； 故正确只有①③共个. 故选：B 6. 已知，则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式求出的最小值，进而求出的最大值. 【详解】因为， 所以由均值不等式，， 当且仅当时，即时，不等式取等号， 故，即的最大值为. 故选：B. 7. 函数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，从而得到函数最大值； 【详解】 所以函数的最大值为. 故选：C. 8. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果. 【详解】由余弦定理可知， ， ， AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形， 是中点，， 由图可知向量在上的投影向量为 ， . 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 二、多选题 （每题6分，共18分） 9. 已知平面和直线m，n，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若， 则. D. 若，则. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点线面位置关系、判定定理和性质地理即可判断求解. 【详解】对于A，根据面面平行判定定理可知A正确； 对于B，直线可能在面内，故B错； 对于C，直线可能在面内，故C错； 对于D，由线面平行性质定理可知D正确 故选：AD. 10. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（ ） A. 估计 这一组的频数是15 B. 估计这组数据的众数74.5 C. 估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D. 估计这组数据的中位数是72.8 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用频率和频数公式求解利用频率分布直方图的公式求众数、中位数、平均数进行逐项判断. 【详解】对于A，频率；频数，A正确； 对于B，一组的频率最大，人数最多，则众数为，B正确； 对于C，平均分为： ，C错误； 对于D，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以中位数在区间内， 设中位数为，所以中位数为72.8，D正确. 故选：ABD. 11 已知向量，，则（ ） A. 若 则 B. 若， 则 C. 若，则与的夹角为 D. 若与垂直，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标表示判断B，根据夹角公式判断C，由数量积的坐标表示判断D. 【详解】对于A：由可得，解得，故A正确； 对于B：若，则，， 则，故B正确； 对于C：当时，，所以，故C错误； 对于D：，若与垂直， 则，解得，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l， 则由πl=2πr得l=2r， 而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π 故r2=1 解得r=1，所以直径为2． 故答案为2． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 13. 已知则复数___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件和复数的代数乘法运算，结合共轭复数和复数相等概念即可求解. 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，或， 故或. 故答案为：或. 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 （共77分） 15. 在中， 已知，，， 求和 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理求出，利用两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】在中，因为，所以， 因为，，由正弦定理，即，解得， 又因为 ， 所以. 16. 如图，在正三棱柱中， 点 D在边上， . （1）求证：平面 （2）如果点E是的中点， 求证：平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据条件证明，结合即可根据线面垂直判定定理得证. （2）由（1）得为中点，则证明即可由线面平行判定定理得证平面. 【小问1详解】 由正三棱柱性质得面，又面, 所以，又，，、平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）平面，平面， 所以，又由题是正三角形，故为中点， 又E是的中点，所以,又由棱柱性质可知， 所以四边形是平行四边形， 所以，且，由棱柱性质可知，且， 故，且， 所以四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 17. （1） 化简 （2） 若 ，且、都是锐角，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式先降幂，再根据两角和与差的余弦公式即可化简； （2）根据已知条件求出的值和判断的范围，进而判断的范围，再求即可求解. 【详解】（1）由题 . （2）、都是锐角，故， 由题意， 所以，故， 所以，故. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，记甲在第轮猜对成语为事件，乙在第轮猜对成语为事件. （1）求甲在两轮活动中恰好猜对1个成语的概率； （2）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记“星队”在两轮活动中共猜对3个成语为事件，由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记甲在两轮活动中恰好猜对1个成语为事件， 则. 【小问2详解】 记“星队”在两轮活动中共猜对3个成语为事件， 则 ， 即“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 19. 如图所示，正方体棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积； （2）求三棱锥的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积，即可求得剩余部分的体积， （2）利用等体积法求解即可 【小问1详解】 因为 所以剩余部分的体积， 【小问2详解】 由（1）知， 设三棱锥的高为， 由正方体的性质可知为等边三角形，且边长为，则 ， 所以， 解得. 所以三棱锥的高为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连云港高级中学2023-2024第二学期 高一月考数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 如果两条直线与没有公共点，那么与 A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2. 一组数据1，5，2，3，4的标准差和上四分位数分别是 （ ） A. 2，4 B. ，4 C. 2，2 D. ，2 3. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位，所得图象的解析（ ） A. B. C. D. 4. 数学兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中任选2人参加校数学竞赛，则参赛学生中至少有1名男生的概率是 （ ） A. B. C. D. 5. 记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”为事件，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3，4”为事件，下列判断正确的有 （ ）个 ①与互斥； ②与对立； ③与对立； ④与互斥； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知，则的最大值是( ) A. B. C. D. 7. 函数 最大值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 二、多选题 （每题6分，共18分） 9. 已知平面和直线m，n，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若， 则. D. 若，则. 10. 从参加环保知识竞赛学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（ ） A. 估计 这一组频数是15 B. 估计这组数据的众数74.5 C. 估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D. 估计这组数据的中位数是72.8 11. 已知向量，，则（ ） A. 若 则 B. 若， 则 C. 若，则与夹角为 D. 若与垂直，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为______． 13. 已知则复数___________． 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 四、解答题 （共77分） 15. 在中， 已知，，， 求和 16. 如图，在正三棱柱中， 点 D在边上， . （1）求证：平面 （2）如果点E是的中点， 求证：平面 17. （1） 化简 （2） 若 ，且、都是锐角，求的值． 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，记甲在第轮猜对成语为事件，乙在第轮猜对成语为事件. （1）求甲在两轮活动中恰好猜对1个成语的概率； （2）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 19. 如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥. （1）求剩余部分的体积； （2）求三棱锥的高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$