精品解析：河南省商丘市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

2023—2024学年第二学期高二5月联考 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分: 150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得： ，即焦点坐标为 . 本题选择B选项. 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为，所以, 即曲线在点处的切线的斜率为-1， 故选：B 3. 已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】如图所示，因为为的中点，，且， 则. 故选：D. 4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ） A. 24种 B. 60种 C. 96种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有A同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算. 【详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学， 当有两位同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法； 当只有A同学选择了浙江大学时，则这4 位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法； 所以同学选择浙江大学的不同方法共有种. 故选：B 5. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中项的系数，得到答案. 【详解】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 6. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可. 【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”. 由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故. 而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名， 故选取方式有种，从而. 故，A正确. 故选：A. 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可. 【详解】解：如图，设，因为, 所以， 由双曲线的定义得：， 所以， ，，，， 所以，在中，， 在中， 因为， 所以，即， 所以 故选：B 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列是递增的等差数列，前项和为，满足则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 时，的最小值为7 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列基本量计算关系可得，进而判断AB选项，结合和，即可判断CD. 【详解】因为数列是递增的等差数列， 所以，A对； 又因为，得到，B对； 前项和为， 所以当或者时，有最小值，C错； ，得到（舍去）或者， 所以时，的最小值为12，D错. 故选：AB 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及复合函数的求导法则逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，故错误； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为， 所以，故错误； 对于D，因为， 所以，故正确. 故选：BD. 11. 若随机变量，下列说法中正确的有（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，则，， ， 由期望的性质可得， 由方差的性质可得，AC对，BD错. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相内切，则实数a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】分两步：第一步先计算从A到B的走法种数，第二步：再计算从B到C走法种数，相乘即可. 【详解】A到B共2种走法，从B到C共种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C 地，最近的走法共有种. 故答案为：20 【点睛】本题考查分步乘法原理及简单的计数问题的应用，考查学生的逻辑分析能力，是一道中档题. 14. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【详解】， 故， . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，且 （1）求； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用结合题意求解； （2）由（1）得，然后利用错位相减法求. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，由，得， 所以，得， 所以， 所以数列是以3为公比，1为首项的等比数列， 所以 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 所以 所以 16. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】（1） 在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则， 于是，显然， 则，而平面； 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为，， 设平面的一个法向量，则，取，得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 17. 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. （1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； （2）将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案； （2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为. 【小问2详解】 根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率. 由题意可知，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 18. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过且与椭圆交于两点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）利用焦点坐标以及椭圆经过点结合椭圆定义，求出，，然后求解椭圆的标准方程． （2）设直线的方程为：，与联立，消，表示出三角形的面积公式，化简整理，通过基本不等式求出最值． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，长,短半轴长分别为a,b，椭圆的焦点为，则， ， 故， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设,，,，易知直线的斜率不为0，设其方程为：， 与联立，消，整理得：， ， 所以 （当且仅当，即时等号成立）， 所以面积的最大值为，此时直线l的方程为 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆位置关系及三角形面积问题，关键是合理表示三角形面积并利用基本不等式求最值. 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由已知可得，即可求出实数的值； （2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，可得出关于实数的不等式，通过构造函数，结合函数的单调性可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 在直线方程中，令，可得， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 解：因为函数的定义域为，. 当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值； 当时，由，可得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 故函数的极大值为， 整理可得， 令，其中，则，故函数在上单调递增， 且，由可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期高二5月联考 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分: 150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 已知在四面体中，为的中点，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ） A. 24种 B. 60种 C. 96种 D. 240种 5. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 60 D. 6. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列是递增的等差数列，前项和为，满足则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 时，的最小值为7 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若随机变量，下列说法中正确的有（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相内切，则实数a的值为__________． 13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答） 14. 已知，则_____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前n项和为，且 （1）求； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角余弦值. 17. 中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 年龄段人数成绩 31岁-40岁 4 8 13 9 6 41岁-50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. （1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； （2）将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 18. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过且与椭圆交于两点，当面积最大时，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $