精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题

黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题 命题人：霍静 刘丽丽 审题人：王洪亮 考试用时：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 5. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 10. 在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B. 若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C. 若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D. A排在B，C之前的概率为 11. 某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲､乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为，则下列说法一定正确的有（ ） A. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 B. 当时，打三局结束比赛的概率最大 C. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 D. 当时，打三局结束比赛的概率最大 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的10个，其中3个红色，7个蓝色；“红星”牌的6个，其中2个红色，4个蓝色．现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是______． 13. 已知随机变量，且，则，则二项式展开式中含的项为______ 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）若，使得有解，求实数的取值范围． 16. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值; （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 18. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题 命题人：霍静 刘丽丽 审题人：王洪亮 考试用时：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，结合导数的定义可知，即可求解. 【详解】由直线与曲线切于点， 知. 由导数的定义知，. 故选：C 2. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由于随机变量服从正态分布， 由，及，， 计算可得，故. 故选：C 4. 某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 2 4 5 6 8 30 40 70 50 60 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为6万元时，残差为（　　） A. －10 B. －5 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求得的预测值，由残差的定义可求残差. 【详解】当时，，此时残差为. 故选：B. 5. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理化简得，再利用二项式定理说明被8除得的余数为0，即可判断. 【详解】因为， 则 ， 所以， 即被8除得的余数为0，结合选项可知只有2024被8除得的余数为0， 故C正确，ABD错误. 故选：C. 7. 中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式求解. 【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率 ， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率， ∴． 故选：B． 8. 已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，分和，利用导数判断的单调性，进而可得函数与直线的交点，即可得结果. 【详解】不妨设， 因为， 若，则，可得， 可知在内单调递增，且， 即与有且仅有一个交点，且交点横坐标在内； 若，则，可得， 当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即与有且仅有一个交点，且交点横坐标为0； 综上所述：，所以. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量，若方差，则 C. 若相关系数r的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A的真假；根据二项分布的有关计算判断B的真假；根据线性相关系数的定义判断C的真假；根据线性回归方程必过样本中心点求，判断D的真假. 【详解】对A：，所以相互独立，故A正确； 对B：因为，所以或， 当时，; 当时，. 故B错误； 对C：由线性相关系数的定义可知，C正确； 对D：因为线性回归方程必过样本中心点，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 在某次太空旅行中，宇航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相邻，则不同的排序种数有240种 B. 若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种 C. 若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种 D. A排在B，C之前的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解. 【详解】对于A，若A，B相邻，则不同的排序种数有种，故A正确； 对于B，若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有种，故B错误； 对于C，若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有种，故C正确； 对于D，A排在B，C之前的概率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲､乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为，则下列说法一定正确的有（ ） A. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 B. 当时，打三局结束比赛的概率最大 C. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率 D. 当时，打三局结束比赛的概率最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】当时，则甲输的概率为， 打四局结束比赛的概率为， 打五局结束比赛的概率为， 打三局结束比赛的概率为， 所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打四局结束比赛的概率最大， 故A正确，B错误； 当时，则甲输的概率为， 打四局结束比赛的概率为， 打五局结束比赛的概率为， 打三局结束比赛的概率为， 所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打三局结束比赛的概率最大， 故CD正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的10个，其中3个红色，7个蓝色；“红星”牌的6个，其中2个红色，4个蓝色．现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出事件，求出两事件的概率，利用条件概率公式求出答案； 【详解】设取到的球是蓝色球为事件，取到的球是“红星”牌玻璃球为事件， 则，， 所以， 故答案为：. 13. 已知随机变量，且，则，则二项式展开式中含的项为______ 【答案】 【解析】 【分析】先可以根据正态分布的对称性以及得出，然后写出展开式的通项，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得展开式中含的项. 【详解】因为随机变量，且，所以， 则，其展开式， 令，解得， 故二项式展开式中含的项为. 故答案为： 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形为同构不等式，结合的单调性得在上恒成立，利用导数求出的最小值即可得解. 【详解】由，得，得． 令，因为，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，即在上恒成立． 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）若，使得有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数求出的值，由处取得极大值，求出，的值，即可确定的解析式； （2）判断在上的单调性，求出函数的最值，依题意，解得即可． 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 即，所以，所以． 由，得． 因为在上取得极大值， 所以，解得， 经检验，当时，在处取得极大值， 故． 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，， 当和时，， 即在上单调递增，在，上单调递减， 所以在取得极小值，在处取得极大值， 又因为，，，， 所以在上的最大值为，最小值为， 要使得有解，则，解得， 所以的取值范围为． 16. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差； （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列为 Y 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和； （3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值． 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0，1，2，3， 且Y服从超几何分布： ， ， ， 故所求分布列为 Y 0 1 2 3 P 可得 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值; （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】（1）； （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 【小问3详解】 从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 18. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 【答案】（1）适宜 （2） （3）99.25亿元． 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型． 【小问2详解】 由题意得：，， ， 所以． 【小问3详解】 令，估计2025年的企业利润为99.25亿元． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【答案】（1） （2）① 1 2 … … ； ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差． I．：当时，有 即． II． 当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【解析】 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【小问1详解】 对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 【小问2详解】 ①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②略 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $