精品解析：上海师范大学附属中学2026届高三下学期6月模拟数学试卷

上师大附中高三模拟数学试卷 2026.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】，得， 所以. 故不等式的解集为. 2. 设，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 3. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为： 4. 已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为3，侧面积为， 所以，解得， 因此圆柱的体积为. 5. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【详解】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 6. 已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，进而得到结合正弦定理得到结果. 【详解】，由正弦定理得. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题. 7. 已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，得到为等比数列，结合无穷等比数列的求和公式求解即可. 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. 8. 函数的驻点为__________． 【答案】， 【解析】 【详解】函数的定义域为. ， 令，得， 所以，即. 所以函数的驻点为. 9. 在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验. 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 10. 已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数小于零可知复数的虚部为零，实部小于零，结合基本不等式从而得到答案. 【详解】，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当同号时，， 即或， 所以的取值范围为. 11. 在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算结合古典概型计算求解. 【详解】因为点，，，、．， 由可得，即， 因、，则只能取等情况. 当时，可取等9种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等14种情况； 当时，可取等10种情况，故共有种情况. 由选取的点满足，即得， 当时，，则有共4种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共6种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共7种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共5种情况； 当时，，则有共1种情况； 当时，，则有共4种情况； 由上分析，满足的整点共有个， 故所求概率为. 12. 如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【解析】 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，再由双曲线定义结合图象求解即可. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及复数运算结合充分条件必要条件的定义计算判断. 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 14. 某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，） A. 接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C. 接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【解析】 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 15. 若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件推导的范围，逐一分析三个结论进行判断. 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为：，得，因此，结合得， ①平均数一定是：五个数的总和为：， 平均数，①正确； ②中位数可能是：五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为，中位数为， 符合条件，因此中位数可能是，②正确； ③方差一定不是，方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，③正确. 16. 已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（ ） A. 644个 B. 645个 C. 646个 D. 647个 【答案】D 【解析】 【分析】先求解，得到其在一个周期内的解的情况，再结合给定区间内求解即可. 【详解】由题意可得，可得，即， 令，则，因为，解得， 即，方程在每个周期内有2个解， 因为区间长度为，且， 所以该区间包含个完整周期， 通过调整的取值，区间内的解的个数可能为个，个，， 所以中元素个数不可能是647. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出， （2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】 解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为， ， ∴为等腰直角三角形，则， ∴直线和平面的夹角为， 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 由，取，可得， ∴点到平面的距离. 18. 已知（且）． （1）若，解方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解； （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； 【小问2详解】 由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 19. 某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 （1）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； （2）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 【答案】（1）； （2）①；②在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）分三种情况：三天分别卖5，5，5个；4，5，6个；3，6，6个，然后由相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可， （2）①求出店和店每日销售的蛋糕数的分布列，从而求出数学期望；②分（i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个三种情况讨论，分别求出相应的数学期望，即可判断． 【小问1详解】 店在3天共卖出15个蛋糕，共有三种情况： 三天分别卖个，个，个， 所以所求概率； 【小问2详解】 ①若分配给店4个，店6个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 2 4 6 所以， 即该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②由题意可知， 因为店、店均是最多卖个蛋糕，则有三种情况： （i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个． （i）若分配给占4个，占6个，由①可知该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； （ii）若分配店5个，店5个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 2 4 5 所以； （iii）若分配给店6个，店4个， 则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下： 3 4 5 6 2 4 所以． 因为， 所以在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个最优 20. 在平面直角坐标系中，有点，．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面，则称此时点、在空间中的距离为“点、关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹的长； （3）若在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，求的最大值． 【答案】（1）、在轴同侧，， 、在轴异侧，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠空间距离的定义计算即可得结论； （2）对点的位置关系进行分类讨论，根据求出点的轨迹方程，确定轨迹形状，即可求得其轨迹所围成区域的面积； （3）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系求得，进而求得最大值即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 从几何上说：点所在轨迹是球面与两个半平面的交线， 从代数上说： ⅰ）当、在轴同侧，即时，， ⅱ）当、在轴异侧，即时，， 所以，点所在轨迹是半圆：（）与圆：（）的组合曲线（如图），其周长是． 【小问3详解】 （*）, ，， 当且仅当，即时，取得最大值． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【答案】（1） （2） （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先推导出，设点为函数图象上的一点，的最小值，令，，结合题中定义推导出，结合的任意性以及函数奇偶性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. 【小问2详解】 要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师大附中高三模拟数学试卷 2026.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为__________． 2. 设，若，则____________． 3. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 4. 已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 5. 已知随机变量，且，则__________. 6. 已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________． 7. 已知数列满足，若，则__________． 8. 函数的驻点为__________． 9. 在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 10. 已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 11. 在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 12. 如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，） A. 接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C. 接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D. 拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 15. 若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 16. 已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（ ） A. 644个 B. 645个 C. 646个 D. 647个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 18. 已知（且）． （1）若，解方程； （2）若，求的取值范围． 19. 某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表： 3 4 5 6 2 4 6 （1）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率； （2）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店， ①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望； ②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由 20. 在平面直角坐标系中，有点，．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面，则称此时点、在空间中的距离为“点、关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，求满足的点在平面直角坐标系中的轨迹的长； （3）若在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，求的最大值． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $